MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recgt1 Structured version   Unicode version

Theorem recgt1 10442
Description: The reciprocal of a positive number greater than 1 is less than 1. (Contributed by NM, 28-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
recgt1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( 1  <  A  <->  ( 1  /  A )  <  1 ) )

Proof of Theorem recgt1
StepHypRef Expression
1 1re 9593 . . 3  |-  1  e.  RR
2 0lt1 10076 . . 3  |-  0  <  1
3 ltrec 10427 . . 3  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )  -> 
( 1  <  A  <->  ( 1  /  A )  <  ( 1  / 
1 ) ) )
41, 2, 3mpanl12 682 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( 1  <  A  <->  ( 1  /  A )  <  ( 1  / 
1 ) ) )
5 1div1e1 10238 . . 3  |-  ( 1  /  1 )  =  1
65breq2i 4441 . 2  |-  ( ( 1  /  A )  <  ( 1  / 
1 )  <->  ( 1  /  A )  <  1 )
74, 6syl6bb 261 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
( 1  <  A  <->  ( 1  /  A )  <  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1802   class class class wbr 4433  (class class class)co 6277   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    < clt 9626    / cdiv 10207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208
This theorem is referenced by:  recgt1i  10443  recreclt  10445  recgt1d  11274  0.999...  13664  rpnnen2lem3  13822  rpnnen2lem9  13828  log2cnv  23140  rplogsumlem2  23535  rpvmasumlem  23537  pntibndlem1  23639
  Copyright terms: Public domain W3C validator