HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem recextlem2 5748
Description: Lemma for recex 5749.
Assertion
Ref Expression
recextlem2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ (A + (i x. B)) =/= 0) -> ((A x. A) + (B x. B)) =/= 0)
Proof of Theorem recextlem2
StepHypRef Expression
1 gt0ne0 5683 . 2 |- ((((A x. A) + (B x. B)) e. RR /\ 0 < ((A x. A) + (B x. B))) -> ((A x. A) + (B x. B)) =/= 0)
2 readdcl 5367 . . . 4 |- (((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR) -> ((A x. A) + (B x. B)) e. RR)
3 remulcl 5369 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ A e. RR) -> (A x. A) e. RR)
43anidms 444 . . . 4 |- (A e. RR -> (A x. A) e. RR)
5 remulcl 5369 . . . . 5 |- ((B e. RR /\ B e. RR) -> (B x. B) e. RR)
65anidms 444 . . . 4 |- (B e. RR -> (B x. B) e. RR)
72, 4, 6syl2an 465 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A x. A) + (B x. B)) e. RR)
873adant3 811 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ (A + (i x. B)) =/= 0) -> ((A x. A) + (B x. B)) e. RR)
9 addgtge0 5714 . . . . . 6 |- ((((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR) /\ (0 < (A x. A) /\ 0 <_ (B x. B))) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
104, 6anim12i 340 . . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR))
1110adantr 398 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ A =/= 0) -> ((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR))
12 msqgt0 5680 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ A =/= 0) -> 0 < (A x. A))
13 msqge0 5681 . . . . . . . 8 |- (B e. RR -> 0 <_ (B x. B))
1412, 13anim12i 340 . . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ A =/= 0) /\ B e. RR) -> (0 < (A x. A) /\ 0 <_ (B x. B)))
1514an1rs 500 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ A =/= 0) -> (0 < (A x. A) /\ 0 <_ (B x. B)))
169, 11, 15sylanc 482 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ A =/= 0) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
17 addgegt0 5713 . . . . . 6 |- ((((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR) /\ (0 <_ (A x. A) /\ 0 < (B x. B))) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
1810adantr 398 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ B =/= 0) -> ((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR))
19 msqge0 5681 . . . . . . . 8 |- (A e. RR -> 0 <_ (A x. A))
20 msqgt0 5680 . . . . . . . 8 |- ((B e. RR /\ B =/= 0) -> 0 < (B x. B))
2119, 20anim12i 340 . . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ (B e. RR /\ B =/= 0)) -> (0 <_ (A x. A) /\ 0 < (B x. B)))
2221anassrs 452 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ B =/= 0) -> (0 <_ (A x. A) /\ 0 < (B x. B)))
2317, 18, 22sylanc 482 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ B =/= 0) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
2416, 23jaodan 435 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (A =/= 0 \/ B =/= 0)) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
25 opreq12 4028 . . . . . . . 8 |- ((A = 0 /\ (i x. B) = 0) -> (A + (i x. B)) = (0 + 0))
26 opreq2 4027 . . . . . . . . 9 |- (B = 0 -> (i x. B) = (i x. 0))
27 axicn 5335 . . . . . . . . . 10 |- i e. CC
2827mul01i 5496 . . . . . . . . 9 |- (i x. 0) = 0
2926, 28syl6eq 1570 . . . . . . . 8 |- (B = 0 -> (i x. B) = 0)
3025, 29sylan2 462 . . . . . . 7 |- ((A = 0 /\ B = 0) -> (A + (i x. B)) = (0 + 0))
31 0cn 5393 . . . . . . . 8 |- 0 e. CC
3231addid1i 5395 . . . . . . 7 |- (0 + 0) = 0
3330, 32syl6eq 1570 . . . . . 6 |- ((A = 0 /\ B = 0) -> (A + (i x. B)) = 0)
3433necon3ai 1653 . . . . 5 |- ((A + (i x. B)) =/= 0 -> -. (A = 0 /\ B = 0))
35 neorian 1687 . . . . 5 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) <-> -. (A = 0 /\ B = 0))
3634, 35sylibr 207 . . . 4 |- ((A + (i x. B)) =/= 0 -> (A =/= 0 \/ B =/= 0))
3724, 36sylan2 462 . . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (A + (i x. B)) =/= 0) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
38373impa 840 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ (A + (i x. B)) =/= 0) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
391, 8, 38sylanc 482 1 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ (A + (i x. B)) =/= 0) -> ((A x. A) + (B x. B)) =/= 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 229   /\ wa 230   /\ w3a 787   = wceq 997   e. wcel 999   =/= wne 1632   class class class wbr 2674  (class class class)co 4021  RRcr 5298  0cc0 5299  ici 5301   + caddc 5302   x. cmul 5304   <_ cle 5360   < clt 5551
This theorem is referenced by:  recex 5749
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687
This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-nel 1635  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-f1 3252  df-fo 3253  df-f1o 3254  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-en 4429  df-dom 4430  df-sdom 4431  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238  df-c 5305  df-0 5306  df-1 5307  df-i 5308  df-r 5309  df-plus 5310  df-mul 5311  df-lt 5312  df-sub 5421  df-neg 5423  df-pnf 5552  df-mnf 5553  df-xr 5554  df-ltxr 5555  df-le 5556
Copyright terms: Public domain