HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem recextlem2 6875
Description: Lemma for recex 6876.
Assertion
Ref Expression
recextlem2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ (A + (_i x. B)) =/= 0) -> ((A x. A) + (B x. B)) =/= 0)
Proof of Theorem recextlem2
StepHypRef Expression
1 readdcl 6455 . . . 4 |- (((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR) -> ((A x. A) + (B x. B)) e. RR)
2 remulcl 6457 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ A e. RR) -> (A x. A) e. RR)
32anidms 480 . . . 4 |- (A e. RR -> (A x. A) e. RR)
4 remulcl 6457 . . . . 5 |- ((B e. RR /\ B e. RR) -> (B x. B) e. RR)
54anidms 480 . . . 4 |- (B e. RR -> (B x. B) e. RR)
61, 3, 5syl2an 503 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A x. A) + (B x. B)) e. RR)
763adant3 896 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ (A + (_i x. B)) =/= 0) -> ((A x. A) + (B x. B)) e. RR)
83, 5anim12i 360 . . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR))
98adantr 425 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ A =/= 0) -> ((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR))
10 msqgt0 6797 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ A =/= 0) -> 0 < (A x. A))
11 msqge0 6798 . . . . . . . 8 |- (B e. RR -> 0 <_ (B x. B))
1210, 11anim12i 360 . . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ A =/= 0) /\ B e. RR) -> (0 < (A x. A) /\ 0 <_ (B x. B)))
1312an1rs 547 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ A =/= 0) -> (0 < (A x. A) /\ 0 <_ (B x. B)))
14 addgtge0 6835 . . . . . 6 |- ((((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR) /\ (0 < (A x. A) /\ 0 <_ (B x. B))) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
159, 13, 14syl11anc 524 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ A =/= 0) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
168adantr 425 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ B =/= 0) -> ((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR))
17 msqge0 6798 . . . . . . . 8 |- (A e. RR -> 0 <_ (A x. A))
18 msqgt0 6797 . . . . . . . 8 |- ((B e. RR /\ B =/= 0) -> 0 < (B x. B))
1917, 18anim12i 360 . . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ (B e. RR /\ B =/= 0)) -> (0 <_ (A x. A) /\ 0 < (B x. B)))
2019anassrs 489 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ B =/= 0) -> (0 <_ (A x. A) /\ 0 < (B x. B)))
21 addgegt0 6833 . . . . . 6 |- ((((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR) /\ (0 <_ (A x. A) /\ 0 < (B x. B))) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
2216, 20, 21syl11anc 524 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ B =/= 0) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
2315, 22jaodan 471 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (A =/= 0 \/ B =/= 0)) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
24 opreq12 4891 . . . . . . . 8 |- ((A = 0 /\ (_i x. B) = 0) -> (A + (_i x. B)) = (0 + 0))
25 opreq2 4890 . . . . . . . . 9 |- (B = 0 -> (_i x. B) = (_i x. 0))
26 axicn 6423 . . . . . . . . . 10 |- _i e. CC
2726mul01i 6594 . . . . . . . . 9 |- (_i x. 0) = 0
2825, 27syl6eq 1944 . . . . . . . 8 |- (B = 0 -> (_i x. B) = 0)
2924, 28sylan2 500 . . . . . . 7 |- ((A = 0 /\ B = 0) -> (A + (_i x. B)) = (0 + 0))
30 0cn 6481 . . . . . . . 8 |- 0 e. CC
3130addid1i 6483 . . . . . . 7 |- (0 + 0) = 0
3229, 31syl6eq 1944 . . . . . 6 |- ((A = 0 /\ B = 0) -> (A + (_i x. B)) = 0)
3332necon3ai 2043 . . . . 5 |- ((A + (_i x. B)) =/= 0 -> -. (A = 0 /\ B = 0))
34 neorian 2098 . . . . 5 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) <-> -. (A = 0 /\ B = 0))
3533, 34sylibr 217 . . . 4 |- ((A + (_i x. B)) =/= 0 -> (A =/= 0 \/ B =/= 0))
3623, 35sylan2 500 . . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (A + (_i x. B)) =/= 0) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
37363impa 1062 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ (A + (_i x. B)) =/= 0) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
38 gt0ne0 6800 . 2 |- ((((A x. A) + (B x. B)) e. RR /\ 0 < ((A x. A) + (B x. B))) -> ((A x. A) + (B x. B)) =/= 0)
397, 37, 38syl11anc 524 1 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ (A + (_i x. B)) =/= 0) -> ((A x. A) + (B x. B)) =/= 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386  _ici 6388   + caddc 6389   x. cmul 6391   <_ cle 6448   < clt 6653
This theorem is referenced by:  recex 6876
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658
Copyright terms: Public domain