MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recexsr Unicode version

Theorem recexsr 8938
Description: The reciprocal of a nonzero signed real exists. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
recexsr  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  =/=  0R )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x
)  =  1R )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem recexsr
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqgt0sr 8937 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  =/=  0R )  ->  0R  <R  ( A  .R  A ) )
2 recexsrlem 8934 . . . 4  |-  ( 0R 
<R  ( A  .R  A
)  ->  E. y  e.  R.  ( ( A  .R  A )  .R  y )  =  1R )
3 mulclsr 8915 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( A  .R  y
)  e.  R. )
4 mulasssr 8921 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .R  A )  .R  y )  =  ( A  .R  ( A  .R  y ) )
54eqeq1i 2411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .R  A
)  .R  y )  =  1R  <->  ( A  .R  ( A  .R  y
) )  =  1R )
6 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( A  .R  y )  ->  ( A  .R  x )  =  ( A  .R  ( A  .R  y ) ) )
76eqeq1d 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A  .R  y )  ->  (
( A  .R  x
)  =  1R  <->  ( A  .R  ( A  .R  y
) )  =  1R ) )
87rspcev 3012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .R  y
)  e.  R.  /\  ( A  .R  ( A  .R  y ) )  =  1R )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x
)  =  1R )
95, 8sylan2b 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  .R  y
)  e.  R.  /\  ( ( A  .R  A )  .R  y
)  =  1R )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x
)  =  1R )
103, 9sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( ( A  .R  A )  .R  y
)  =  1R )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x
)  =  1R )
1110exp31 588 . . . . 5  |-  ( A  e.  R.  ->  (
y  e.  R.  ->  ( ( ( A  .R  A )  .R  y
)  =  1R  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x )  =  1R ) ) )
1211rexlimdv 2789 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  ( E. y  e.  R.  ( ( A  .R  A )  .R  y
)  =  1R  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x )  =  1R ) )
132, 12syl5 30 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  ( 0R  <R  ( A  .R  A )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x )  =  1R ) )
1413imp 419 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  0R  <R  ( A  .R  A ) )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x
)  =  1R )
151, 14syldan 457 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  =/=  0R )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x
)  =  1R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   R.cnr 8698   0Rc0r 8699   1Rc1r 8700    .R cmr 8703    <R cltr 8704
This theorem is referenced by:  axrrecex  8994
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-ni 8705  df-pli 8706  df-mi 8707  df-lti 8708  df-plpq 8741  df-mpq 8742  df-ltpq 8743  df-enq 8744  df-nq 8745  df-erq 8746  df-plq 8747  df-mq 8748  df-1nq 8749  df-rq 8750  df-ltnq 8751  df-np 8814  df-1p 8815  df-plp 8816  df-mp 8817  df-ltp 8818  df-plpr 8888  df-mpr 8889  df-enr 8890  df-nr 8891  df-plr 8892  df-mr 8893  df-ltr 8894  df-0r 8895  df-1r 8896  df-m1r 8897
  Copyright terms: Public domain W3C validator