Theorem recexsr 5281

Description: The reciprocal of a nonzero signed real exists. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126.

Hypothesis

Ref	Expression
recexsr.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
recexsr	|- (A e. R. -> (-. A = 0R -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R)))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem recexsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recexsr.1	. . 3 |- A e. V
2	1	sqgt0sr 5280	. 2 |- (A e. R. -> (-. A = 0R -> 0R <R (A .R A)))
3		oprex 4041	. . . . . . . . 9 |- (A .R y) e. V
4		eleq1 1581	. . . . . . . . . 10 |- (x = (A .R y) -> (x e. R. <-> (A .R y) e. R.))
5		opreq2 4027	. . . . . . . . . . 11 |- (x = (A .R y) -> (A .R x) = (A .R (A .R y)))
6	5	eqeq1d 1530	. . . . . . . . . 10 |- (x = (A .R y) -> ((A .R x) = 1R <-> (A .R (A .R y)) = 1R))
7	4, 6	anbi12d 639	. . . . . . . . 9 |- (x = (A .R y) -> ((x e. R. /\ (A .R x) = 1R) <-> ((A .R y) e. R. /\ (A .R (A .R y)) = 1R)))
8	3, 7	cla4ev 1916	. . . . . . . 8 |- (((A .R y) e. R. /\ (A .R (A .R y)) = 1R) -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R))
9		visset 1860	. . . . . . . . . 10 |- y e. V
10	1, 9	mulasssr 5264	. . . . . . . . 9 |- ((A .R A) .R y) = (A .R (A .R y))
11	10	eqeq1i 1529	. . . . . . . 8 |- (((A .R A) .R y) = 1R <-> (A .R (A .R y)) = 1R)
12	8, 11	sylan2b 463	. . . . . . 7 |- (((A .R y) e. R. /\ ((A .R A) .R y) = 1R) -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R))
13		mulclsr 5258	. . . . . . 7 |- ((A e. R. /\ y e. R.) -> (A .R y) e. R.)
14	12, 13	sylan 459	. . . . . 6 |- (((A e. R. /\ y e. R.) /\ ((A .R A) .R y) = 1R) -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R))
15	14	exp31 385	. . . . 5 |- (A e. R. -> (y e. R. -> (((A .R A) .R y) = 1R -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R))))
16	15	imp3a 368	. . . 4 |- (A e. R. -> ((y e. R. /\ ((A .R A) .R y) = 1R) -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R)))
17	16	19.23adv 1256	. . 3 |- (A e. R. -> (E.y(y e. R. /\ ((A .R A) .R y) = 1R) -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R)))
18		oprex 4041	. . . 4 |- (A .R A) e. V
19	18	recexsrlem 5277	. . 3 |- (0R <R (A .R A) -> E.y(y e. R. /\ ((A .R A) .R y) = 1R))
20	17, 19	syl5 21	. 2 |- (A e. R. -> (0R <R (A .R A) -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R)))
21	2, 20	syld 27	1 |- (A e. R. -> (-. A = 0R -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  E.wex 1021  Vcvv 1858   class class class wbr 2674  (class class class)co 4021  R.cnr 5058  0Rc0r 5059  1Rc1r 5060   .R cmr 5063   <R cltr 5064

This theorem is referenced by:  axrrecex 5349

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922  ax-inf2 4687

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-reu 1698  df-rab 1699  df-v 1859  df-sbc 1989  df-csb 2052  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2414  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-int 2588  df-iun 2622  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-id 2891  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009  df-lim 3010  df-suc 3011  df-om 3189  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fn 3250  df-f 3251  df-fv 3255  df-rdg 3990  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4137  df-2nd 4138  df-1o 4191  df-oadd 4193  df-omul 4194  df-er 4319  df-ec 4321  df-qs 4324  df-ni 5065  df-pli 5066  df-mi 5067  df-lti 5068  df-plpq 5100  df-mpq 5101  df-enq 5102  df-nq 5103  df-plq 5104  df-mq 5105  df-rq 5106  df-ltq 5107  df-1q 5108  df-np 5151  df-1p 5152  df-plp 5153  df-mp 5154  df-ltp 5155  df-plpr 5229  df-mpr 5230  df-enr 5231  df-nr 5232  df-plr 5233  df-mr 5234  df-ltr 5235  df-0r 5236  df-1r 5237  df-m1r 5238

Copyright terms: Public domain