MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recexsr Unicode version

Theorem recexsr 8609
Description: The reciprocal of a nonzero signed real exists. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
recexsr  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  =/=  0R )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x
)  =  1R )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem recexsr
StepHypRef Expression
1 sqgt0sr 8608 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  =/=  0R )  ->  0R  <R  ( A  .R  A ) )
2 recexsrlem 8605 . . . 4  |-  ( 0R 
<R  ( A  .R  A
)  ->  E. y  e.  R.  ( ( A  .R  A )  .R  y )  =  1R )
3 mulclsr 8586 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( A  .R  y
)  e.  R. )
4 mulasssr 8592 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .R  A )  .R  y )  =  ( A  .R  ( A  .R  y ) )
54eqeq1i 2260 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .R  A
)  .R  y )  =  1R  <->  ( A  .R  ( A  .R  y
) )  =  1R )
6 oveq2 5718 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( A  .R  y )  ->  ( A  .R  x )  =  ( A  .R  ( A  .R  y ) ) )
76eqeq1d 2261 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A  .R  y )  ->  (
( A  .R  x
)  =  1R  <->  ( A  .R  ( A  .R  y
) )  =  1R ) )
87rcla4ev 2821 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .R  y
)  e.  R.  /\  ( A  .R  ( A  .R  y ) )  =  1R )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x
)  =  1R )
95, 8sylan2b 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  .R  y
)  e.  R.  /\  ( ( A  .R  A )  .R  y
)  =  1R )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x
)  =  1R )
103, 9sylan 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( ( A  .R  A )  .R  y
)  =  1R )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x
)  =  1R )
1110exp31 590 . . . . 5  |-  ( A  e.  R.  ->  (
y  e.  R.  ->  ( ( ( A  .R  A )  .R  y
)  =  1R  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x )  =  1R ) ) )
1211rexlimdv 2628 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  ( E. y  e.  R.  ( ( A  .R  A )  .R  y
)  =  1R  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x )  =  1R ) )
132, 12syl5 30 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  ( 0R  <R  ( A  .R  A )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x )  =  1R ) )
1413imp 420 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  0R  <R  ( A  .R  A ) )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x
)  =  1R )
151, 14syldan 458 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  =/=  0R )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x
)  =  1R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   E.wrex 2510   class class class wbr 3920  (class class class)co 5710   R.cnr 8369   0Rc0r 8370   1Rc1r 8371    .R cmr 8374    <R cltr 8375
This theorem is referenced by:  axrrecex  8665
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ec 6548  df-qs 6552  df-ni 8376  df-pli 8377  df-mi 8378  df-lti 8379  df-plpq 8412  df-mpq 8413  df-ltpq 8414  df-enq 8415  df-nq 8416  df-erq 8417  df-plq 8418  df-mq 8419  df-1nq 8420  df-rq 8421  df-ltnq 8422  df-np 8485  df-1p 8486  df-plp 8487  df-mp 8488  df-ltp 8489  df-plpr 8559  df-mpr 8560  df-enr 8561  df-nr 8562  df-plr 8563  df-mr 8564  df-ltr 8565  df-0r 8566  df-1r 8567  df-m1r 8568
  Copyright terms: Public domain W3C validator