MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recexsr Structured version   Unicode version

Theorem recexsr 9375
Description: The reciprocal of a nonzero signed real exists. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
recexsr  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  =/=  0R )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x
)  =  1R )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem recexsr
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqgt0sr 9374 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  =/=  0R )  ->  0R  <R  ( A  .R  A ) )
2 recexsrlem 9371 . . . 4  |-  ( 0R 
<R  ( A  .R  A
)  ->  E. y  e.  R.  ( ( A  .R  A )  .R  y )  =  1R )
3 mulclsr 9352 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( A  .R  y
)  e.  R. )
4 mulasssr 9358 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .R  A )  .R  y )  =  ( A  .R  ( A  .R  y ) )
54eqeq1i 2458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .R  A
)  .R  y )  =  1R  <->  ( A  .R  ( A  .R  y
) )  =  1R )
6 oveq2 6198 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( A  .R  y )  ->  ( A  .R  x )  =  ( A  .R  ( A  .R  y ) ) )
76eqeq1d 2453 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A  .R  y )  ->  (
( A  .R  x
)  =  1R  <->  ( A  .R  ( A  .R  y
) )  =  1R ) )
87rspcev 3169 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .R  y
)  e.  R.  /\  ( A  .R  ( A  .R  y ) )  =  1R )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x
)  =  1R )
95, 8sylan2b 475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  .R  y
)  e.  R.  /\  ( ( A  .R  A )  .R  y
)  =  1R )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x
)  =  1R )
103, 9sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( ( A  .R  A )  .R  y
)  =  1R )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x
)  =  1R )
1110exp31 604 . . . . 5  |-  ( A  e.  R.  ->  (
y  e.  R.  ->  ( ( ( A  .R  A )  .R  y
)  =  1R  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x )  =  1R ) ) )
1211rexlimdv 2936 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  ( E. y  e.  R.  ( ( A  .R  A )  .R  y
)  =  1R  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x )  =  1R ) )
132, 12syl5 32 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  ( 0R  <R  ( A  .R  A )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x )  =  1R ) )
1413imp 429 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  0R  <R  ( A  .R  A ) )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x
)  =  1R )
151, 14syldan 470 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  =/=  0R )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x
)  =  1R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   E.wrex 2796   class class class wbr 4390  (class class class)co 6190   R.cnr 9135   0Rc0r 9136   1Rc1r 9137    .R cmr 9140    <R cltr 9141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-omul 7025  df-er 7201  df-ec 7203  df-qs 7207  df-ni 9142  df-pli 9143  df-mi 9144  df-lti 9145  df-plpq 9178  df-mpq 9179  df-ltpq 9180  df-enq 9181  df-nq 9182  df-erq 9183  df-plq 9184  df-mq 9185  df-1nq 9186  df-rq 9187  df-ltnq 9188  df-np 9251  df-1p 9252  df-plp 9253  df-mp 9254  df-ltp 9255  df-plpr 9325  df-mpr 9326  df-enr 9327  df-nr 9328  df-plr 9329  df-mr 9330  df-ltr 9331  df-0r 9332  df-1r 9333  df-m1r 9334
This theorem is referenced by:  axrrecex  9431
  Copyright terms: Public domain W3C validator