Theorem recexsr 6368

Description: The reciprocal of a nonzero signed real exists. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126.

Hypothesis

Ref	Expression
recexsr.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
recexsr	|- (A e. R. -> (-. A = 0R -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R)))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem recexsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recexsr.1	. . 3 |- A e. _V
2	1	sqgt0sr 6367	. 2 |- (A e. R. -> (-. A = 0R -> 0R <R (A .R A)))
3		oprex 4907	. . . . . . . 8 |- (A .R y) e. _V
4		eleq1 1957	. . . . . . . . 9 |- (x = (A .R y) -> (x e. R. <-> (A .R y) e. R.))
5		opreq2 4890	. . . . . . . . . 10 |- (x = (A .R y) -> (A .R x) = (A .R (A .R y)))
6	5	eqeq1d 1892	. . . . . . . . 9 |- (x = (A .R y) -> ((A .R x) = 1R <-> (A .R (A .R y)) = 1R))
7	4, 6	anbi12d 690	. . . . . . . 8 |- (x = (A .R y) -> ((x e. R. /\ (A .R x) = 1R) <-> ((A .R y) e. R. /\ (A .R (A .R y)) = 1R)))
8	3, 7	cla4ev 2371	. . . . . . 7 |- (((A .R y) e. R. /\ (A .R (A .R y)) = 1R) -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R))
9		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
10	1, 9	mulasssr 6351	. . . . . . . 8 |- ((A .R A) .R y) = (A .R (A .R y))
11	10	eqeq1i 1891	. . . . . . 7 |- (((A .R A) .R y) = 1R <-> (A .R (A .R y)) = 1R)
12	8, 11	sylan2b 501	. . . . . 6 |- (((A .R y) e. R. /\ ((A .R A) .R y) = 1R) -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R))
13		mulclsr 6345	. . . . . 6 |- ((A e. R. /\ y e. R.) -> (A .R y) e. R.)
14	12, 13	sylan 497	. . . . 5 |- (((A e. R. /\ y e. R.) /\ ((A .R A) .R y) = 1R) -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R))
15	14	expl 420	. . . 4 |- (A e. R. -> ((y e. R. /\ ((A .R A) .R y) = 1R) -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R)))
16	15	19.23adv 1584	. . 3 |- (A e. R. -> (E.y(y e. R. /\ ((A .R A) .R y) = 1R) -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R)))
17		oprex 4907	. . . 4 |- (A .R A) e. _V
18	17	recexsrlem 6364	. . 3 |- (0R <R (A .R A) -> E.y(y e. R. /\ ((A .R A) .R y) = 1R))
19	16, 18	syl5 20	. 2 |- (A e. R. -> (0R <R (A .R A) -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R)))
20	2, 19	syld 30	1 |- (A e. R. -> (-. A = 0R -> E.x(x e. R. /\ (A .R x) = 1R)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  R.cnr 6145  0Rc0r 6146  1Rc1r 6147   .R cmr 6150   <R cltr 6151

This theorem is referenced by:  axrrecex 6437

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325

Copyright terms: Public domain