MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recexpr Structured version   Unicode version

Theorem recexpr 9340
Description: The reciprocal of a positive real exists. Part of Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
recexpr  |-  ( A  e.  P.  ->  E. x  e.  P.  ( A  .P.  x )  =  1P )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem recexpr
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4370 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  (
z  <Q  y  <->  w  <Q  y ) )
21anbi1d 702 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
)  <->  ( w  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A ) ) )
32exbidv 1722 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  ( E. y ( z  <Q 
y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A )  <->  E. y
( w  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) ) )
43cbvabv 2525 . . 3  |-  { z  |  E. y ( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y
)  e.  A ) }  =  { w  |  E. y ( w 
<Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) }
54reclem2pr 9337 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  { z  |  E. y ( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y
)  e.  A ) }  e.  P. )
64reclem4pr 9339 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  .P.  { z  |  E. y ( z 
<Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) } )  =  1P )
7 oveq2 6204 . . . 4  |-  ( x  =  { z  |  E. y ( z 
<Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) }  ->  ( A  .P.  x )  =  ( A  .P.  { z  |  E. y
( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) } ) )
87eqeq1d 2384 . . 3  |-  ( x  =  { z  |  E. y ( z 
<Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) }  ->  ( ( A  .P.  x
)  =  1P  <->  ( A  .P.  { z  |  E. y ( z  <Q 
y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) } )  =  1P ) )
98rspcev 3135 . 2  |-  ( ( { z  |  E. y ( z  <Q 
y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) }  e.  P.  /\  ( A  .P.  { z  |  E. y
( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) } )  =  1P )  ->  E. x  e.  P.  ( A  .P.  x )  =  1P )
105, 6, 9syl2anc 659 1  |-  ( A  e.  P.  ->  E. x  e.  P.  ( A  .P.  x )  =  1P )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399   E.wex 1620    e. wcel 1826   {cab 2367   E.wrex 2733   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   *Qcrq 9146    <Q cltq 9147   P.cnp 9148   1Pc1p 9149    .P. cmp 9151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-omul 7053  df-er 7229  df-ni 9161  df-pli 9162  df-mi 9163  df-lti 9164  df-plpq 9197  df-mpq 9198  df-ltpq 9199  df-enq 9200  df-nq 9201  df-erq 9202  df-plq 9203  df-mq 9204  df-1nq 9205  df-rq 9206  df-ltnq 9207  df-np 9270  df-1p 9271  df-mp 9273
This theorem is referenced by:  recexsrlem  9391
  Copyright terms: Public domain W3C validator