MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recdiv Structured version   Unicode version

Theorem recdiv 10149
Description: The reciprocal of a ratio. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
recdiv  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  ( A  /  B ) )  =  ( B  /  A ) )

Proof of Theorem recdiv
StepHypRef Expression
1 1div1e1 10136 . . . 4  |-  ( 1  /  1 )  =  1
21oveq1i 6211 . . 3  |-  ( ( 1  /  1 )  /  ( A  /  B ) )  =  ( 1  /  ( A  /  B ) )
3 ax-1cn 9452 . . . 4  |-  1  e.  CC
4 ax-1ne0 9463 . . . . 5  |-  1  =/=  0
53, 4pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 )
6 divdivdiv 10144 . . . 4  |-  ( ( ( 1  e.  CC  /\  ( 1  e.  CC  /\  1  =/=  0 ) )  /\  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) ) )  ->  (
( 1  /  1
)  /  ( A  /  B ) )  =  ( ( 1  x.  B )  / 
( 1  x.  A
) ) )
73, 5, 6mpanl12 682 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  / 
1 )  /  ( A  /  B ) )  =  ( ( 1  x.  B )  / 
( 1  x.  A
) ) )
82, 7syl5eqr 2509 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  ( A  /  B ) )  =  ( ( 1  x.  B )  / 
( 1  x.  A
) ) )
9 mulid2 9496 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
1  x.  B )  =  B )
10 mulid2 9496 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
1  x.  A )  =  A )
119, 10oveqan12rd 6221 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  x.  B )  /  (
1  x.  A ) )  =  ( B  /  A ) )
1211ad2ant2r 746 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( ( 1  x.  B )  /  (
1  x.  A ) )  =  ( B  /  A ) )
138, 12eqtrd 2495 1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  ( A  /  B ) )  =  ( B  /  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648  (class class class)co 6201   CCcc 9392   0cc0 9394   1c1 9395    x. cmul 9399    / cdiv 10105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106
This theorem is referenced by:  divcan6  10150  recdivd  10236  ledivdiv  10333  ege2le3  13494  ang180lem1  22339  log2tlbnd  22474  basellem5  22556  chebbnd1  22855  chebbnd2  22860  dchrisum0lem2a  22900  mulogsumlem  22914  blocnilem  24357  minvecolem3  24430  nmcexi  25583  wallispi  30014  reccot  31422  rectan  31423
  Copyright terms: Public domain W3C validator