Theorem recclpq 6224

Description: Closure law for positive fraction reciprocal.

Assertion

Ref	Expression
recclpq	|- (A e. Q. -> (*Q` A) e. Q.)

Proof of Theorem recclpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recidpq 6223	. . 3 |- (A e. Q. -> (A .Q (*Q` A)) = 1Q)
2		1q 6209	. . 3 |- 1Q e. Q.
3	1, 2	syl6eqel 1979	. 2 |- (A e. Q. -> (A .Q (*Q` A)) e. Q.)
4		fvex 4689	. . . 4 |- (*Q` A) e. _V
5		dmmulpq 6213	. . . 4 |- dom .Q = (Q. X. Q.)
6		0npq 6202	. . . 4 |- -. (/) e. Q.
7	4, 5, 6	ndmoprrcl 4979	. . 3 |- ((A .Q (*Q` A)) e. Q. -> (A e. Q. /\ (*Q` A) e. Q.))
8	7	simprd 352	. 2 |- ((A .Q (*Q` A)) e. Q. -> (*Q` A) e. Q.)
9	3, 8	syl 12	1 |- (A e. Q. -> (*Q` A) e. Q.)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 1300  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Q.cnq 6131  1Qc1q 6132   .Q cmq 6134  *Qcrq 6135

This theorem is referenced by:  recrecpq 6225  ltrpq 6237  1pr 6269  mulclprlem 6273  prlem936a 6305  reclem1pr 6308  reclem3pr 6310  reclem4pr 6311

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-mi 6154  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-mq 6192  df-rq 6193  df-1q 6195

Copyright terms: Public domain