MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reccld Structured version   Unicode version

Theorem reccld 10309
Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
reccld.2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
reccld  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  CC )

Proof of Theorem reccld
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 reccld.2 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
3 reccl 10210 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  CC )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767    =/= wne 2662  (class class class)co 6282   CCcc 9486   0cc0 9488   1c1 9489    / cdiv 10202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203
This theorem is referenced by:  recgt0  10382  expmulz  12176  rlimdiv  13427  rlimno1  13435  isumdivc  13538  fsumdivc  13560  geolim  13638  georeclim  13640  dvmptdivc  22103  dvexp3  22114  logtayl  22769  cxpeq  22859  ang180lem1  22869  ang180lem2  22870  ang180lem3  22871  isosctrlem2  22881  dvatan  22994  efrlim  23027  amgm  23048  dchrinvcl  23256  dchrabs  23263  dchrmusumlem  23435  vmalogdivsum2  23451  pntrlog2bndlem2  23491  pntrlog2bndlem6  23496  nmlno0lem  25384  nmlnop0iALT  26590  branmfn  26700  leopmul  26729  logbrec  27661  lgamgulmlem2  28212  lgamgulmlem3  28213  igamf  28233  igamcl  28234  lgam1  28246  clim2div  28600  prodfdiv  28607  dvtan  29642  dvcncxp1  29677  dvasin  29680  areacirclem1  29684  areacirclem4  29687  pell14qrdich  30409  rmxyneg  30460  mpaaeu  30704  areaquad  30789  hashnzfzclim  30827  oddfl  31036  climrec  31145  climdivf  31154  reclimc  31195  divlimc  31198  dvmptdiv  31247  ioodvbdlimc1lem2  31262  ioodvbdlimc2lem  31264  stoweidlem7  31307  stoweidlem37  31337  wallispilem4  31368  wallispi  31370  wallispi2lem1  31371  stirlinglem1  31374  stirlinglem3  31376  stirlinglem4  31377  stirlinglem5  31378  stirlinglem7  31380  stirlinglem10  31383  stirlinglem11  31384  stirlinglem12  31385  stirlinglem15  31388  dirkertrigeq  31401  dirkercncflem2  31404  fourierdlem30  31437  fourierdlem83  31490  fourierdlem95  31502  seccl  32225  csccl  32226
  Copyright terms: Public domain W3C validator