MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reccld Structured version   Unicode version

Theorem reccld 10319
Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
reccld.2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
reccld  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  CC )

Proof of Theorem reccld
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 reccld.2 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
3 reccl 10220 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  CC )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( 1  /  A
)  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1804    =/= wne 2638  (class class class)co 6281   CCcc 9493   0cc0 9495   1c1 9496    / cdiv 10212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213
This theorem is referenced by:  recgt0  10392  expmulz  12191  rlimdiv  13447  rlimno1  13455  isumdivc  13558  fsumdivc  13580  geolim  13658  georeclim  13660  dvmptdivc  22241  dvexp3  22252  logtayl  22913  cxpeq  23003  ang180lem1  23013  ang180lem2  23014  ang180lem3  23015  isosctrlem2  23025  dvatan  23138  efrlim  23171  amgm  23192  dchrinvcl  23400  dchrabs  23407  dchrmusumlem  23579  vmalogdivsum2  23595  pntrlog2bndlem2  23635  pntrlog2bndlem6  23640  nmlno0lem  25580  nmlnop0iALT  26786  branmfn  26896  leopmul  26925  logbrec  27894  lgamgulmlem2  28445  lgamgulmlem3  28446  igamf  28466  igamcl  28467  lgam1  28479  clim2div  28998  prodfdiv  29005  dvtan  30040  dvcncxp1  30075  dvasin  30078  areacirclem1  30082  areacirclem4  30085  pell14qrdich  30780  mpaaeu  31075  areaquad  31160  hashnzfzclim  31203  oddfl  31408  climrec  31517  climdivf  31526  reclimc  31567  divlimc  31570  dvmptdiv  31618  ioodvbdlimc1lem2  31633  ioodvbdlimc2lem  31635  stoweidlem7  31678  stoweidlem37  31708  wallispilem4  31739  wallispi  31741  wallispi2lem1  31742  stirlinglem1  31745  stirlinglem3  31747  stirlinglem4  31748  stirlinglem5  31749  stirlinglem7  31751  stirlinglem10  31754  stirlinglem11  31755  stirlinglem12  31756  stirlinglem15  31759  dirkertrigeq  31772  fourierdlem30  31808  fourierdlem83  31861  fourierdlem95  31873  seccl  32879  csccl  32880
  Copyright terms: Public domain W3C validator