MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reccl Structured version   Unicode version

Theorem reccl 10115
Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
reccl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  CC )

Proof of Theorem reccl
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9454 . 2  |-  1  e.  CC
2 divcl 10114 . 2  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  (
1  /  A )  e.  CC )
31, 2mp3an1 1302 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758    =/= wne 2648  (class class class)co 6203   CCcc 9394   0cc0 9396   1c1 9397    / cdiv 10107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108
This theorem is referenced by:  divrec  10124  divrec2  10125  divass  10126  divdir  10131  divneg  10140  recrec  10142  rec11  10143  divdiv32  10153  conjmul  10162  recclzi  10170  reccld  10214  expclzlem  12009  exprec  12025  expdiv  12034  rlimdiv  13244  geoisumr  13459  cndrng  17973  divcn  20579  divccn  20584  divccncf  20617  dvexp3  21586  quotlem  21902  quotcl2  21904  quotdgr  21905  aareccl  21928  logtayllem  22240  logtayl  22241  cxpeq  22331  logrec  22351  dchrisum0lem2a  22902  dchrisum0lem2  22903  mulogsum  22917  pntlemr  22987  axcontlem2  23383  ablomul  24014  nvmul0or  24204  hvmul0or  24599  h1datomi  25156  nmopleid  25715
  Copyright terms: Public domain W3C validator