MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reccl Structured version   Unicode version

Theorem reccl 10213
Description: Closure law for reciprocal. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
reccl  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  CC )

Proof of Theorem reccl
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9549 . 2  |-  1  e.  CC
2 divcl 10212 . 2  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  (
1  /  A )  e.  CC )
31, 2mp3an1 1311 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( 1  /  A
)  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767    =/= wne 2662  (class class class)co 6283   CCcc 9489   0cc0 9491   1c1 9492    / cdiv 10205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206
This theorem is referenced by:  divrec  10222  divrec2  10223  divass  10224  divdir  10229  divneg  10238  recrec  10240  rec11  10241  divdiv32  10251  conjmul  10260  recclzi  10268  reccld  10312  expclzlem  12157  exprec  12174  expdiv  12183  rlimdiv  13430  geoisumr  13649  cndrng  18234  divcn  21123  divccn  21128  divccncf  21161  dvexp3  22130  quotlem  22446  quotcl2  22448  quotdgr  22449  aareccl  22472  logtayllem  22784  logtayl  22785  cxpeq  22875  logrec  22895  dchrisum0lem2a  23446  dchrisum0lem2  23447  mulogsum  23461  pntlemr  23531  axcontlem2  23960  ablomul  25049  nvmul0or  25239  hvmul0or  25634  h1datomi  26191  nmopleid  26750
  Copyright terms: Public domain W3C validator