MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reasinsin Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem reasinsin 23901
Description: The arcsine function composed with  sin is equal to the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
reasinsin  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
(arcsin `  ( sin `  A ) )  =  A )

Proof of Theorem reasinsin
StepHypRef Expression
1 neghalfpire 23499 . . . . . 6  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
21rexri 9711 . . . . 5  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
3 halfpire 23498 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
43rexri 9711 . . . . 5  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
5 pirp 23495 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR+
6 rphalfcl 11350 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR+
8 rpgt0 11336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  0  < 
( pi  /  2
) )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( pi  /  2
)
10 lt0neg2 10142 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
0  <  ( pi  /  2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 ) )
113, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <  ( pi  / 
2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 )
129, 11mpbi 213 . . . . . . 7  |-  -u (
pi  /  2 )  <  0
13 0re 9661 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
141, 13, 3lttri 9778 . . . . . . 7  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  <  0  /\  0  <  ( pi 
/  2 ) )  ->  -u ( pi  / 
2 )  <  (
pi  /  2 ) )
1512, 9, 14mp2an 686 . . . . . 6  |-  -u (
pi  /  2 )  <  ( pi  / 
2 )
161, 3, 15ltleii 9775 . . . . 5  |-  -u (
pi  /  2 )  <_  ( pi  / 
2 )
17 prunioo 11787 . . . . 5  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR*  /\  -u (
pi  /  2 )  <_  ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  u. 
{ -u ( pi  / 
2 ) ,  ( pi  /  2 ) } )  =  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) )
182, 4, 16, 17mp3an 1390 . . . 4  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  u.  { -u ( pi  /  2
) ,  ( pi 
/  2 ) } )  =  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) )
1918eleq2i 2541 . . 3  |-  ( A  e.  ( ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  u.  { -u (
pi  /  2 ) ,  ( pi  / 
2 ) } )  <-> 
A  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
20 elun 3565 . . 3  |-  ( A  e.  ( ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  u.  { -u (
pi  /  2 ) ,  ( pi  / 
2 ) } )  <-> 
( A  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  \/  A  e. 
{ -u ( pi  / 
2 ) ,  ( pi  /  2 ) } ) )
2119, 20bitr3i 259 . 2  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  <->  ( A  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  \/  A  e.  { -u ( pi 
/  2 ) ,  ( pi  /  2
) } ) )
22 elioore 11691 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  A  e.  RR )
2322recnd 9687 . . . 4  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  A  e.  CC )
2422rered 13364 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( Re `  A
)  =  A )
25 id 22 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )
2624, 25eqeltrd 2549 . . . 4  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
27 asinsin 23897 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arcsin `  ( sin `  A ) )  =  A )
2823, 26, 27syl2anc 673 . . 3  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
(arcsin `  ( sin `  A ) )  =  A )
29 elpri 3976 . . . 4  |-  ( A  e.  { -u (
pi  /  2 ) ,  ( pi  / 
2 ) }  ->  ( A  =  -u (
pi  /  2 )  \/  A  =  ( pi  /  2 ) ) )
30 ax-1cn 9615 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
31 asinneg 23891 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  CC  ->  (arcsin `  -u 1 )  = 
-u (arcsin `  1 )
)
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  (arcsin `  -u 1 )  =  -u (arcsin `  1 )
33 asin1 23899 . . . . . . . 8  |-  (arcsin ` 
1 )  =  ( pi  /  2 )
3433negeqi 9888 . . . . . . 7  |-  -u (arcsin `  1 )  =  -u ( pi  /  2
)
3532, 34eqtri 2493 . . . . . 6  |-  (arcsin `  -u 1 )  =  -u ( pi  /  2
)
36 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  -u ( pi  / 
2 )  ->  ( sin `  A )  =  ( sin `  -u (
pi  /  2 ) ) )
373recni 9673 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
38 sinneg 14277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  -u ( pi  / 
2 ) )  = 
-u ( sin `  (
pi  /  2 ) ) )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  -u ( pi  / 
2 ) )  = 
-u ( sin `  (
pi  /  2 ) )
40 sinhalfpi 23502 . . . . . . . . . 10  |-  ( sin `  ( pi  /  2
) )  =  1
4140negeqi 9888 . . . . . . . . 9  |-  -u ( sin `  ( pi  / 
2 ) )  = 
-u 1
4239, 41eqtri 2493 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  -u ( pi  / 
2 ) )  = 
-u 1
4336, 42syl6eq 2521 . . . . . . 7  |-  ( A  =  -u ( pi  / 
2 )  ->  ( sin `  A )  = 
-u 1 )
4443fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( A  =  -u ( pi  / 
2 )  ->  (arcsin `  ( sin `  A
) )  =  (arcsin `  -u 1 ) )
45 id 22 . . . . . 6  |-  ( A  =  -u ( pi  / 
2 )  ->  A  =  -u ( pi  / 
2 ) )
4635, 44, 453eqtr4a 2531 . . . . 5  |-  ( A  =  -u ( pi  / 
2 )  ->  (arcsin `  ( sin `  A
) )  =  A )
47 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( pi  / 
2 )  ->  ( sin `  A )  =  ( sin `  (
pi  /  2 ) ) )
4847, 40syl6eq 2521 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( pi  / 
2 )  ->  ( sin `  A )  =  1 )
4948fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( pi  / 
2 )  ->  (arcsin `  ( sin `  A
) )  =  (arcsin `  1 ) )
50 id 22 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( pi  / 
2 )  ->  A  =  ( pi  / 
2 ) )
5133, 49, 503eqtr4a 2531 . . . . 5  |-  ( A  =  ( pi  / 
2 )  ->  (arcsin `  ( sin `  A
) )  =  A )
5246, 51jaoi 386 . . . 4  |-  ( ( A  =  -u (
pi  /  2 )  \/  A  =  ( pi  /  2 ) )  ->  (arcsin `  ( sin `  A ) )  =  A )
5329, 52syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  { -u (
pi  /  2 ) ,  ( pi  / 
2 ) }  ->  (arcsin `  ( sin `  A
) )  =  A )
5428, 53jaoi 386 . 2  |-  ( ( A  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  \/  A  e.  { -u ( pi  /  2
) ,  ( pi 
/  2 ) } )  ->  (arcsin `  ( sin `  A ) )  =  A )
5521, 54sylbi 200 1  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
(arcsin `  ( sin `  A ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    = wceq 1452    e. wcel 1904    u. cun 3388   {cpr 3961   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   -ucneg 9881    / cdiv 10291   2c2 10681   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   [,]cicc 11663   Recre 13237   sincsin 14193   picpi 14196  arcsincasin 23867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-asin 23870
This theorem is referenced by:  asinrebnd  23906
  Copyright terms: Public domain W3C validator