MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reasinsin Structured version   Unicode version

Theorem reasinsin 23442
Description: The arcsine function composed with  sin is equal to the identity. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
reasinsin  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
(arcsin `  ( sin `  A ) )  =  A )

Proof of Theorem reasinsin
StepHypRef Expression
1 neghalfpire 23040 . . . . . 6  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR
21rexri 9594 . . . . 5  |-  -u (
pi  /  2 )  e.  RR*
3 halfpire 23039 . . . . . 6  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR
43rexri 9594 . . . . 5  |-  ( pi 
/  2 )  e. 
RR*
5 pirp 23036 . . . . . . . . . 10  |-  pi  e.  RR+
6 rphalfcl 11206 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi  e.  RR+  ->  ( pi 
/  2 )  e.  RR+ )
75, 6ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( pi 
/  2 )  e.  RR+
8 rpgt0 11192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR+  ->  0  < 
( pi  /  2
) )
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( pi  /  2
)
10 lt0neg2 10018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  RR  ->  (
0  <  ( pi  /  2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 ) )
113, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <  ( pi  / 
2 )  <->  -u ( pi 
/  2 )  <  0 )
129, 11mpbi 208 . . . . . . 7  |-  -u (
pi  /  2 )  <  0
13 0re 9544 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
141, 13, 3lttri 9660 . . . . . . 7  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  <  0  /\  0  <  ( pi 
/  2 ) )  ->  -u ( pi  / 
2 )  <  (
pi  /  2 ) )
1512, 9, 14mp2an 670 . . . . . 6  |-  -u (
pi  /  2 )  <  ( pi  / 
2 )
161, 3, 15ltleii 9657 . . . . 5  |-  -u (
pi  /  2 )  <_  ( pi  / 
2 )
17 prunioo 11618 . . . . 5  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 )  e.  RR*  /\  ( pi  /  2
)  e.  RR*  /\  -u (
pi  /  2 )  <_  ( pi  / 
2 ) )  -> 
( ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  u. 
{ -u ( pi  / 
2 ) ,  ( pi  /  2 ) } )  =  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) )
182, 4, 16, 17mp3an 1324 . . . 4  |-  ( (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  u.  { -u ( pi  /  2
) ,  ( pi 
/  2 ) } )  =  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) )
1918eleq2i 2478 . . 3  |-  ( A  e.  ( ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  u.  { -u (
pi  /  2 ) ,  ( pi  / 
2 ) } )  <-> 
A  e.  ( -u ( pi  /  2
) [,] ( pi 
/  2 ) ) )
20 elun 3581 . . 3  |-  ( A  e.  ( ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  u.  { -u (
pi  /  2 ) ,  ( pi  / 
2 ) } )  <-> 
( A  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) (,) (
pi  /  2 ) )  \/  A  e. 
{ -u ( pi  / 
2 ) ,  ( pi  /  2 ) } ) )
2119, 20bitr3i 251 . 2  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  <->  ( A  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) (,) ( pi  /  2
) )  \/  A  e.  { -u ( pi 
/  2 ) ,  ( pi  /  2
) } ) )
22 elioore 11528 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  A  e.  RR )
2322recnd 9570 . . . 4  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  A  e.  CC )
2422rered 13111 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( Re `  A
)  =  A )
25 id 22 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  ->  A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )
2624, 25eqeltrd 2488 . . . 4  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
( Re `  A
)  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) ) )
27 asinsin 23438 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Re `  A )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) ) )  ->  (arcsin `  ( sin `  A ) )  =  A )
2823, 26, 27syl2anc 659 . . 3  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) (,) ( pi  / 
2 ) )  -> 
(arcsin `  ( sin `  A ) )  =  A )
29 elpri 3989 . . . 4  |-  ( A  e.  { -u (
pi  /  2 ) ,  ( pi  / 
2 ) }  ->  ( A  =  -u (
pi  /  2 )  \/  A  =  ( pi  /  2 ) ) )
30 ax-1cn 9498 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
31 asinneg 23432 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  CC  ->  (arcsin `  -u 1 )  = 
-u (arcsin `  1 )
)
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  (arcsin `  -u 1 )  =  -u (arcsin `  1 )
33 asin1 23440 . . . . . . . 8  |-  (arcsin ` 
1 )  =  ( pi  /  2 )
3433negeqi 9767 . . . . . . 7  |-  -u (arcsin `  1 )  =  -u ( pi  /  2
)
3532, 34eqtri 2429 . . . . . 6  |-  (arcsin `  -u 1 )  =  -u ( pi  /  2
)
36 fveq2 5803 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  -u ( pi  / 
2 )  ->  ( sin `  A )  =  ( sin `  -u (
pi  /  2 ) ) )
373recni 9556 . . . . . . . . . 10  |-  ( pi 
/  2 )  e.  CC
38 sinneg 13980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( pi  /  2 )  e.  CC  ->  ( sin `  -u ( pi  / 
2 ) )  = 
-u ( sin `  (
pi  /  2 ) ) )
3937, 38ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( sin `  -u ( pi  / 
2 ) )  = 
-u ( sin `  (
pi  /  2 ) )
40 sinhalfpi 23043 . . . . . . . . . 10  |-  ( sin `  ( pi  /  2
) )  =  1
4140negeqi 9767 . . . . . . . . 9  |-  -u ( sin `  ( pi  / 
2 ) )  = 
-u 1
4239, 41eqtri 2429 . . . . . . . 8  |-  ( sin `  -u ( pi  / 
2 ) )  = 
-u 1
4336, 42syl6eq 2457 . . . . . . 7  |-  ( A  =  -u ( pi  / 
2 )  ->  ( sin `  A )  = 
-u 1 )
4443fveq2d 5807 . . . . . 6  |-  ( A  =  -u ( pi  / 
2 )  ->  (arcsin `  ( sin `  A
) )  =  (arcsin `  -u 1 ) )
45 id 22 . . . . . 6  |-  ( A  =  -u ( pi  / 
2 )  ->  A  =  -u ( pi  / 
2 ) )
4635, 44, 453eqtr4a 2467 . . . . 5  |-  ( A  =  -u ( pi  / 
2 )  ->  (arcsin `  ( sin `  A
) )  =  A )
47 fveq2 5803 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( pi  / 
2 )  ->  ( sin `  A )  =  ( sin `  (
pi  /  2 ) ) )
4847, 40syl6eq 2457 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( pi  / 
2 )  ->  ( sin `  A )  =  1 )
4948fveq2d 5807 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( pi  / 
2 )  ->  (arcsin `  ( sin `  A
) )  =  (arcsin `  1 ) )
50 id 22 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( pi  / 
2 )  ->  A  =  ( pi  / 
2 ) )
5133, 49, 503eqtr4a 2467 . . . . 5  |-  ( A  =  ( pi  / 
2 )  ->  (arcsin `  ( sin `  A
) )  =  A )
5246, 51jaoi 377 . . . 4  |-  ( ( A  =  -u (
pi  /  2 )  \/  A  =  ( pi  /  2 ) )  ->  (arcsin `  ( sin `  A ) )  =  A )
5329, 52syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  { -u (
pi  /  2 ) ,  ( pi  / 
2 ) }  ->  (arcsin `  ( sin `  A
) )  =  A )
5428, 53jaoi 377 . 2  |-  ( ( A  e.  ( -u ( pi  /  2
) (,) ( pi 
/  2 ) )  \/  A  e.  { -u ( pi  /  2
) ,  ( pi 
/  2 ) } )  ->  (arcsin `  ( sin `  A ) )  =  A )
5521, 54sylbi 195 1  |-  ( A  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) )  -> 
(arcsin `  ( sin `  A ) )  =  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    = wceq 1403    e. wcel 1840    u. cun 3409   {cpr 3971   class class class wbr 4392   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   CCcc 9438   RRcr 9439   0cc0 9440   1c1 9441   RR*cxr 9575    < clt 9576    <_ cle 9577   -ucneg 9760    / cdiv 10165   2c2 10544   RR+crp 11181   (,)cioo 11498   [,]cicc 11501   Recre 12984   sincsin 13898   picpi 13901  arcsincasin 23408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518  ax-addf 9519  ax-mulf 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-iin 4271  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-supp 6855  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-ixp 7426  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fsupp 7782  df-fi 7823  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-n0 10755  df-z 10824  df-dec 10938  df-uz 11044  df-q 11144  df-rp 11182  df-xneg 11287  df-xadd 11288  df-xmul 11289  df-ioo 11502  df-ioc 11503  df-ico 11504  df-icc 11505  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-fl 11877  df-mod 11946  df-seq 12060  df-exp 12119  df-fac 12306  df-bc 12333  df-hash 12358  df-shft 12954  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-limsup 13348  df-clim 13365  df-rlim 13366  df-sum 13563  df-ef 13902  df-sin 13904  df-cos 13905  df-pi 13907  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-starv 14814  df-sca 14815  df-vsca 14816  df-ip 14817  df-tset 14818  df-ple 14819  df-ds 14821  df-unif 14822  df-hom 14823  df-cco 14824  df-rest 14927  df-topn 14928  df-0g 14946  df-gsum 14947  df-topgen 14948  df-pt 14949  df-prds 14952  df-xrs 15006  df-qtop 15011  df-imas 15012  df-xps 15014  df-mre 15090  df-mrc 15091  df-acs 15093  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-submnd 16181  df-mulg 16274  df-cntz 16569  df-cmn 17014  df-psmet 18621  df-xmet 18622  df-met 18623  df-bl 18624  df-mopn 18625  df-fbas 18626  df-fg 18627  df-cnfld 18631  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-topsp 19585  df-cld 19702  df-ntr 19703  df-cls 19704  df-nei 19782  df-lp 19820  df-perf 19821  df-cn 19911  df-cnp 19912  df-haus 19999  df-tx 20245  df-hmeo 20438  df-fil 20529  df-fm 20621  df-flim 20622  df-flf 20623  df-xms 21005  df-ms 21006  df-tms 21007  df-cncf 21564  df-limc 22452  df-dv 22453  df-log 23126  df-asin 23411
This theorem is referenced by:  asinrebnd  23447
  Copyright terms: Public domain W3C validator