Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rearchi Structured version   Unicode version

Theorem rearchi 27481
Description: The field of the real numbers is Archimedean. See also arch 10781. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
rearchi  |- RRfld  e. Archi

Proof of Theorem rearchi
Dummy variables  x  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 arch 10781 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  x  <  n
)
2 nnz 10875 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
3 refld 18415 . . . . . . . . . 10  |- RRfld  e. Field
4 isfld 17181 . . . . . . . . . . 11  |-  (RRfld  e. Field  <->  (RRfld  e.  DivRing  /\ RRfld  e.  CRing ) )
54simplbi 460 . . . . . . . . . 10  |-  (RRfld  e. Field  -> RRfld  e.  DivRing )
6 drngrng 17179 . . . . . . . . . 10  |-  (RRfld  e.  DivRing  -> RRfld 
e.  Ring )
73, 5, 6mp2b 10 . . . . . . . . 9  |- RRfld  e.  Ring
8 eqid 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZRHom ` RRfld )  =  ( ZRHom ` RRfld )
9 eqid 2460 . . . . . . . . . 10  |-  (.g ` RRfld )  =  (.g ` RRfld )
10 re1r 18409 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 1r ` RRfld )
118, 9, 10zrhmulg 18307 . . . . . . . . 9  |-  ( (RRfld 
e.  Ring  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ZRHom ` RRfld ) `  n
)  =  ( n (.g ` RRfld ) 1 ) )
127, 11mpan 670 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( ZRHom ` RRfld ) `  n )  =  ( n (.g ` RRfld ) 1 ) )
13 1re 9584 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
14 remulg 18403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  1  e.  RR )  ->  ( n (.g ` RRfld ) 1 )  =  ( n  x.  1 ) )
1513, 14mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n (.g ` RRfld ) 1 )  =  ( n  x.  1 ) )
16 zcn 10858 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
1716mulid1d 9602 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  x.  1 )  =  n )
1812, 15, 173eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( ZRHom ` RRfld ) `  n )  =  n )
1918breq2d 4452 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
x  <  ( ( ZRHom ` RRfld ) `  n
)  <->  x  <  n ) )
202, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
x  <  ( ( ZRHom ` RRfld ) `  n
)  <->  x  <  n ) )
2120rexbiia 2957 . . . 4  |-  ( E. n  e.  NN  x  <  ( ( ZRHom ` RRfld ) `  n )  <->  E. n  e.  NN  x  <  n )
221, 21sylibr 212 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  x  <  (
( ZRHom ` RRfld ) `  n ) )
2322rgen 2817 . 2  |-  A. x  e.  RR  E. n  e.  NN  x  <  (
( ZRHom ` RRfld ) `  n )
24 reofld 27479 . . 3  |- RRfld  e. oField
25 rebase 18402 . . . 4  |-  RR  =  ( Base ` RRfld )
26 relt 18411 . . . 4  |-  <  =  ( lt ` RRfld )
2725, 8, 26isarchiofld 27456 . . 3  |-  (RRfld  e. oField  -> 
(RRfld  e. Archi  <->  A. x  e.  RR  E. n  e.  NN  x  <  ( ( ZRHom ` RRfld ) `  n )
) )
2824, 27ax-mp 5 . 2  |-  (RRfld  e. Archi  <->  A. x  e.  RR  E. n  e.  NN  x  <  (
( ZRHom ` RRfld ) `  n ) )
2923, 28mpbir 209 1  |- RRfld  e. Archi
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   RRcr 9480   1c1 9482    x. cmul 9486    < clt 9617   NNcn 10525   ZZcz 10853  .gcmg 15720   Ringcrg 16979   CRingccrg 16980   DivRingcdr 17172  Fieldcfield 17173   ZRHomczrh 18297  RRfldcrefld 18400  Archicarchi 27369  oFieldcofld 27435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-fz 11662  df-seq 12064  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-0g 14686  df-poset 15422  df-plt 15434  df-toset 15510  df-ps 15676  df-tsr 15677  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-mulg 15854  df-subg 15986  df-ghm 16053  df-cmn 16589  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-cring 16982  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-dvr 17109  df-rnghom 17141  df-drng 17174  df-field 17175  df-subrg 17203  df-cnfld 18185  df-zring 18250  df-zrh 18301  df-refld 18401  df-omnd 27337  df-ogrp 27338  df-inftm 27370  df-archi 27371  df-orng 27436  df-ofld 27437
This theorem is referenced by:  nn0archi  27482
  Copyright terms: Public domain W3C validator