Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rearchi Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rearchi 28617
Description: The field of the real numbers is Archimedean. See also arch 10873. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
rearchi  |- RRfld  e. Archi

Proof of Theorem rearchi
Dummy variables  x  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reofld 28615 . . 3  |- RRfld  e. oField
2 rebase 19186 . . . 4  |-  RR  =  ( Base ` RRfld )
3 eqid 2453 . . . 4  |-  ( ZRHom ` RRfld )  =  ( ZRHom ` RRfld )
4 relt 19195 . . . 4  |-  <  =  ( lt ` RRfld )
52, 3, 4isarchiofld 28592 . . 3  |-  (RRfld  e. oField  -> 
(RRfld  e. Archi  <->  A. x  e.  RR  E. n  e.  NN  x  <  ( ( ZRHom ` RRfld ) `  n )
) )
61, 5ax-mp 5 . 2  |-  (RRfld  e. Archi  <->  A. x  e.  RR  E. n  e.  NN  x  <  (
( ZRHom ` RRfld ) `  n ) )
7 arch 10873 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  x  <  n
)
8 nnz 10966 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
9 refld 19199 . . . . . . . . 9  |- RRfld  e. Field
10 isfld 17996 . . . . . . . . . 10  |-  (RRfld  e. Field  <->  (RRfld  e.  DivRing  /\ RRfld  e.  CRing ) )
1110simplbi 462 . . . . . . . . 9  |-  (RRfld  e. Field  -> RRfld  e.  DivRing )
12 drngring 17994 . . . . . . . . 9  |-  (RRfld  e.  DivRing  -> RRfld 
e.  Ring )
139, 11, 12mp2b 10 . . . . . . . 8  |- RRfld  e.  Ring
14 eqid 2453 . . . . . . . . 9  |-  (.g ` RRfld )  =  (.g ` RRfld )
15 re1r 19193 . . . . . . . . 9  |-  1  =  ( 1r ` RRfld )
163, 14, 15zrhmulg 19093 . . . . . . . 8  |-  ( (RRfld 
e.  Ring  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ZRHom ` RRfld ) `  n
)  =  ( n (.g ` RRfld ) 1 ) )
1713, 16mpan 677 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( ZRHom ` RRfld ) `  n )  =  ( n (.g ` RRfld ) 1 ) )
18 1re 9647 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
19 remulg 19187 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  1  e.  RR )  ->  ( n (.g ` RRfld ) 1 )  =  ( n  x.  1 ) )
2018, 19mpan2 678 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n (.g ` RRfld ) 1 )  =  ( n  x.  1 ) )
21 zcn 10949 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
2221mulid1d 9665 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  x.  1 )  =  n )
2317, 20, 223eqtrd 2491 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( ZRHom ` RRfld ) `  n )  =  n )
2423breq2d 4417 . . . . 5  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
x  <  ( ( ZRHom ` RRfld ) `  n
)  <->  x  <  n ) )
258, 24syl 17 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
x  <  ( ( ZRHom ` RRfld ) `  n
)  <->  x  <  n ) )
2625rexbiia 2890 . . 3  |-  ( E. n  e.  NN  x  <  ( ( ZRHom ` RRfld ) `  n )  <->  E. n  e.  NN  x  <  n )
277, 26sylibr 216 . 2  |-  ( x  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  x  <  (
( ZRHom ` RRfld ) `  n ) )
286, 27mprgbir 2754 1  |- RRfld  e. Archi
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    = wceq 1446    e. wcel 1889   A.wral 2739   E.wrex 2740   class class class wbr 4405   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   RRcr 9543   1c1 9545    x. cmul 9549    < clt 9680   NNcn 10616   ZZcz 10944  .gcmg 16684   Ringcrg 17792   CRingccrg 17793   DivRingcdr 17987  Fieldcfield 17988   ZRHomczrh 19083  RRfldcrefld 19184  Archicarchi 28506  oFieldcofld 28571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6978  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-fz 11792  df-seq 12221  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-0g 15352  df-preset 16185  df-poset 16203  df-plt 16216  df-toset 16292  df-ps 16458  df-tsr 16459  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-mhm 16594  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-mulg 16688  df-subg 16826  df-ghm 16893  df-cmn 17444  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-cring 17795  df-oppr 17863  df-dvdsr 17881  df-unit 17882  df-invr 17912  df-dvr 17923  df-rnghom 17955  df-drng 17989  df-field 17990  df-subrg 18018  df-cnfld 18983  df-zring 19052  df-zrh 19087  df-refld 19185  df-omnd 28474  df-ogrp 28475  df-inftm 28507  df-archi 28508  df-orng 28572  df-ofld 28573
This theorem is referenced by:  nn0archi  28618
  Copyright terms: Public domain W3C validator