Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rearchi Structured version   Unicode version

Theorem rearchi 28271
Description: The field of the real numbers is Archimedean. See also arch 10832. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
rearchi  |- RRfld  e. Archi

Proof of Theorem rearchi
Dummy variables  x  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reofld 28269 . . 3  |- RRfld  e. oField
2 rebase 18938 . . . 4  |-  RR  =  ( Base ` RRfld )
3 eqid 2402 . . . 4  |-  ( ZRHom ` RRfld )  =  ( ZRHom ` RRfld )
4 relt 18947 . . . 4  |-  <  =  ( lt ` RRfld )
52, 3, 4isarchiofld 28246 . . 3  |-  (RRfld  e. oField  -> 
(RRfld  e. Archi  <->  A. x  e.  RR  E. n  e.  NN  x  <  ( ( ZRHom ` RRfld ) `  n )
) )
61, 5ax-mp 5 . 2  |-  (RRfld  e. Archi  <->  A. x  e.  RR  E. n  e.  NN  x  <  (
( ZRHom ` RRfld ) `  n ) )
7 arch 10832 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  x  <  n
)
8 nnz 10926 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
9 refld 18951 . . . . . . . . 9  |- RRfld  e. Field
10 isfld 17723 . . . . . . . . . 10  |-  (RRfld  e. Field  <->  (RRfld  e.  DivRing  /\ RRfld  e.  CRing ) )
1110simplbi 458 . . . . . . . . 9  |-  (RRfld  e. Field  -> RRfld  e.  DivRing )
12 drngring 17721 . . . . . . . . 9  |-  (RRfld  e.  DivRing  -> RRfld 
e.  Ring )
139, 11, 12mp2b 10 . . . . . . . 8  |- RRfld  e.  Ring
14 eqid 2402 . . . . . . . . 9  |-  (.g ` RRfld )  =  (.g ` RRfld )
15 re1r 18945 . . . . . . . . 9  |-  1  =  ( 1r ` RRfld )
163, 14, 15zrhmulg 18845 . . . . . . . 8  |-  ( (RRfld 
e.  Ring  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ZRHom ` RRfld ) `  n
)  =  ( n (.g ` RRfld ) 1 ) )
1713, 16mpan 668 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( ZRHom ` RRfld ) `  n )  =  ( n (.g ` RRfld ) 1 ) )
18 1re 9624 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
19 remulg 18939 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  1  e.  RR )  ->  ( n (.g ` RRfld ) 1 )  =  ( n  x.  1 ) )
2018, 19mpan2 669 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n (.g ` RRfld ) 1 )  =  ( n  x.  1 ) )
21 zcn 10909 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
2221mulid1d 9642 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  x.  1 )  =  n )
2317, 20, 223eqtrd 2447 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( ZRHom ` RRfld ) `  n )  =  n )
2423breq2d 4406 . . . . 5  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
x  <  ( ( ZRHom ` RRfld ) `  n
)  <->  x  <  n ) )
258, 24syl 17 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
x  <  ( ( ZRHom ` RRfld ) `  n
)  <->  x  <  n ) )
2625rexbiia 2904 . . 3  |-  ( E. n  e.  NN  x  <  ( ( ZRHom ` RRfld ) `  n )  <->  E. n  e.  NN  x  <  n )
277, 26sylibr 212 . 2  |-  ( x  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  x  <  (
( ZRHom ` RRfld ) `  n ) )
286, 27mprgbir 2767 1  |- RRfld  e. Archi
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   RRcr 9520   1c1 9522    x. cmul 9526    < clt 9657   NNcn 10575   ZZcz 10904  .gcmg 16378   Ringcrg 17516   CRingccrg 17517   DivRingcdr 17714  Fieldcfield 17715   ZRHomczrh 18835  RRfldcrefld 18936  Archicarchi 28159  oFieldcofld 28225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600  ax-mulf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-tpos 6957  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-fz 11725  df-seq 12150  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-0g 15054  df-preset 15879  df-poset 15897  df-plt 15910  df-toset 15986  df-ps 16152  df-tsr 16153  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-mhm 16288  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-mulg 16382  df-subg 16520  df-ghm 16587  df-cmn 17122  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-cring 17519  df-oppr 17590  df-dvdsr 17608  df-unit 17609  df-invr 17639  df-dvr 17650  df-rnghom 17682  df-drng 17716  df-field 17717  df-subrg 17745  df-cnfld 18739  df-zring 18807  df-zrh 18839  df-refld 18937  df-omnd 28127  df-ogrp 28128  df-inftm 28160  df-archi 28161  df-orng 28226  df-ofld 28227
This theorem is referenced by:  nn0archi  28272
  Copyright terms: Public domain W3C validator