Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rearchi Structured version   Unicode version

Theorem rearchi 28607
Description: The field of the real numbers is Archimedean. See also arch 10868. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
rearchi  |- RRfld  e. Archi

Proof of Theorem rearchi
Dummy variables  x  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reofld 28605 . . 3  |- RRfld  e. oField
2 rebase 19166 . . . 4  |-  RR  =  ( Base ` RRfld )
3 eqid 2423 . . . 4  |-  ( ZRHom ` RRfld )  =  ( ZRHom ` RRfld )
4 relt 19175 . . . 4  |-  <  =  ( lt ` RRfld )
52, 3, 4isarchiofld 28582 . . 3  |-  (RRfld  e. oField  -> 
(RRfld  e. Archi  <->  A. x  e.  RR  E. n  e.  NN  x  <  ( ( ZRHom ` RRfld ) `  n )
) )
61, 5ax-mp 5 . 2  |-  (RRfld  e. Archi  <->  A. x  e.  RR  E. n  e.  NN  x  <  (
( ZRHom ` RRfld ) `  n ) )
7 arch 10868 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  x  <  n
)
8 nnz 10961 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
9 refld 19179 . . . . . . . . 9  |- RRfld  e. Field
10 isfld 17977 . . . . . . . . . 10  |-  (RRfld  e. Field  <->  (RRfld  e.  DivRing  /\ RRfld  e.  CRing ) )
1110simplbi 462 . . . . . . . . 9  |-  (RRfld  e. Field  -> RRfld  e.  DivRing )
12 drngring 17975 . . . . . . . . 9  |-  (RRfld  e.  DivRing  -> RRfld 
e.  Ring )
139, 11, 12mp2b 10 . . . . . . . 8  |- RRfld  e.  Ring
14 eqid 2423 . . . . . . . . 9  |-  (.g ` RRfld )  =  (.g ` RRfld )
15 re1r 19173 . . . . . . . . 9  |-  1  =  ( 1r ` RRfld )
163, 14, 15zrhmulg 19073 . . . . . . . 8  |-  ( (RRfld 
e.  Ring  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ZRHom ` RRfld ) `  n
)  =  ( n (.g ` RRfld ) 1 ) )
1713, 16mpan 675 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( ZRHom ` RRfld ) `  n )  =  ( n (.g ` RRfld ) 1 ) )
18 1re 9644 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
19 remulg 19167 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  1  e.  RR )  ->  ( n (.g ` RRfld ) 1 )  =  ( n  x.  1 ) )
2018, 19mpan2 676 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n (.g ` RRfld ) 1 )  =  ( n  x.  1 ) )
21 zcn 10944 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
2221mulid1d 9662 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  x.  1 )  =  n )
2317, 20, 223eqtrd 2468 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( ZRHom ` RRfld ) `  n )  =  n )
2423breq2d 4433 . . . . 5  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
x  <  ( ( ZRHom ` RRfld ) `  n
)  <->  x  <  n ) )
258, 24syl 17 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  ->  (
x  <  ( ( ZRHom ` RRfld ) `  n
)  <->  x  <  n ) )
2625rexbiia 2927 . . 3  |-  ( E. n  e.  NN  x  <  ( ( ZRHom ` RRfld ) `  n )  <->  E. n  e.  NN  x  <  n )
277, 26sylibr 216 . 2  |-  ( x  e.  RR  ->  E. n  e.  NN  x  <  (
( ZRHom ` RRfld ) `  n ) )
286, 27mprgbir 2790 1  |- RRfld  e. Archi
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   E.wrex 2777   class class class wbr 4421   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   RRcr 9540   1c1 9542    x. cmul 9546    < clt 9677   NNcn 10611   ZZcz 10939  .gcmg 16665   Ringcrg 17773   CRingccrg 17774   DivRingcdr 17968  Fieldcfield 17969   ZRHomczrh 19063  RRfldcrefld 19164  Archicarchi 28495  oFieldcofld 28561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-tpos 6979  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-fz 11787  df-seq 12215  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-0g 15333  df-preset 16166  df-poset 16184  df-plt 16197  df-toset 16273  df-ps 16439  df-tsr 16440  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-mhm 16575  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-ghm 16874  df-cmn 17425  df-mgp 17717  df-ur 17729  df-ring 17775  df-cring 17776  df-oppr 17844  df-dvdsr 17862  df-unit 17863  df-invr 17893  df-dvr 17904  df-rnghom 17936  df-drng 17970  df-field 17971  df-subrg 17999  df-cnfld 18964  df-zring 19032  df-zrh 19067  df-refld 19165  df-omnd 28463  df-ogrp 28464  df-inftm 28496  df-archi 28497  df-orng 28562  df-ofld 28563
This theorem is referenced by:  nn0archi  28608
  Copyright terms: Public domain W3C validator