MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  readdsubgo Structured version   Unicode version

Theorem readdsubgo 25769
Description: The real numbers under addition comprise a subgroup of the complex numbers under addition. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
readdsubgo  |-  (  +  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  (
SubGrpOp `  +  )

Proof of Theorem readdsubgo
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnaddablo 25766 . . 3  |-  +  e.  AbelOp
2 ablogrpo 25700 . . 3  |-  (  +  e.  AbelOp  ->  +  e.  GrpOp )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  +  e.  GrpOp
4 ax-addf 9601 . . . 4  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
54fdmi 5719 . . 3  |-  dom  +  =  ( CC  X.  CC )
63, 5grporn 25628 . 2  |-  CC  =  ran  +
7 cnid 25767 . 2  |-  0  =  (GId `  +  )
8 eqid 2402 . 2  |-  ( inv `  +  )  =  ( inv `  +  )
9 ax-resscn 9579 . 2  |-  RR  C_  CC
10 eqid 2402 . 2  |-  (  +  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  (  +  |`  ( RR  X.  RR ) )
11 readdcl 9605 . 2  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
12 0re 9626 . 2  |-  0  e.  RR
13 recn 9612 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
14 addinv 25768 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( inv `  +  ) `  x )  =  -u x )
1513, 14syl 17 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( inv `  +  ) `  x )  =  -u x )
16 renegcl 9918 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  -u x  e.  RR )
1715, 16eqeltrd 2490 . 2  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( inv `  +  ) `  x )  e.  RR )
183, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 17issubgoi 25726 1  |-  (  +  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  (
SubGrpOp `  +  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1405    e. wcel 1842    X. cxp 4821    |` cres 4825   ` cfv 5569   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522    + caddc 9525   -ucneg 9842   GrpOpcgr 25602   invcgn 25604   AbelOpcablo 25697   SubGrpOpcsubgo 25717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-addf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-ltxr 9663  df-sub 9843  df-neg 9844  df-grpo 25607  df-gid 25608  df-ginv 25609  df-ablo 25698  df-subgo 25718
This theorem is referenced by:  circgrpOLD  25790
  Copyright terms: Public domain W3C validator