MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  readdsubgo Structured version   Unicode version

Theorem readdsubgo 23859
Description: The real numbers under addition comprise a subgroup of the complex numbers under addition. (Contributed by Paul Chapman, 25-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
readdsubgo  |-  (  +  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  (
SubGrpOp `  +  )

Proof of Theorem readdsubgo
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnaddablo 23856 . . 3  |-  +  e.  AbelOp
2 ablogrpo 23790 . . 3  |-  (  +  e.  AbelOp  ->  +  e.  GrpOp )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  +  e.  GrpOp
4 ax-addf 9380 . . . 4  |-  +  :
( CC  X.  CC )
--> CC
54fdmi 5583 . . 3  |-  dom  +  =  ( CC  X.  CC )
63, 5grporn 23718 . 2  |-  CC  =  ran  +
7 cnid 23857 . 2  |-  0  =  (GId `  +  )
8 eqid 2443 . 2  |-  ( inv `  +  )  =  ( inv `  +  )
9 ax-resscn 9358 . 2  |-  RR  C_  CC
10 eqid 2443 . 2  |-  (  +  |`  ( RR  X.  RR ) )  =  (  +  |`  ( RR  X.  RR ) )
11 readdcl 9384 . 2  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  +  y )  e.  RR )
12 0re 9405 . 2  |-  0  e.  RR
13 recn 9391 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  CC )
14 addinv 23858 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( inv `  +  ) `  x )  =  -u x )
1513, 14syl 16 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( inv `  +  ) `  x )  =  -u x )
16 renegcl 9691 . . 3  |-  ( x  e.  RR  ->  -u x  e.  RR )
1715, 16eqeltrd 2517 . 2  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( inv `  +  ) `  x )  e.  RR )
183, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 17issubgoi 23816 1  |-  (  +  |`  ( RR  X.  RR ) )  e.  (
SubGrpOp `  +  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756    X. cxp 4857    |` cres 4861   ` cfv 5437   CCcc 9299   RRcr 9300   0cc0 9301    + caddc 9304   -ucneg 9615   GrpOpcgr 23692   invcgn 23694   AbelOpcablo 23787   SubGrpOpcsubgo 23807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-addf 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-op 3903  df-uni 4111  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-er 7120  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-ltxr 9442  df-sub 9616  df-neg 9617  df-grpo 23697  df-gid 23698  df-ginv 23699  df-ablo 23788  df-subgo 23808
This theorem is referenced by:  circgrp  23880
  Copyright terms: Public domain W3C validator