MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  re2ndc Structured version   Unicode version

Theorem re2ndc 21069
Description: The standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
re2ndc  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  2ndc

Proof of Theorem re2ndc
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  =  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
21tgqioo 21068 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
3 qtopbas 21029 . . 3  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  e.  TopBases
4 omelon 8063 . . . . . 6  |-  om  e.  On
5 qnnen 13808 . . . . . . . . 9  |-  QQ  ~~  NN
6 xpen 7680 . . . . . . . . 9  |-  ( ( QQ  ~~  NN  /\  QQ  ~~  NN )  -> 
( QQ  X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN ) )
75, 5, 6mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN )
8 xpnnen 13803 . . . . . . . 8  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
97, 8entri 7569 . . . . . . 7  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  NN
10 nnenom 12058 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
119, 10entr2i 7570 . . . . . 6  |-  om  ~~  ( QQ  X.  QQ )
12 isnumi 8327 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( QQ  X.  QQ )  e. 
dom  card )
134, 11, 12mp2an 672 . . . . 5  |-  ( QQ 
X.  QQ )  e. 
dom  card
14 ioof 11622 . . . . . . 7  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
15 ffun 5733 . . . . . . 7  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  Fun  (,) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Fun  (,)
17 qssre 11192 . . . . . . . . 9  |-  QQ  C_  RR
18 ressxr 9637 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  RR*
1917, 18sstri 3513 . . . . . . . 8  |-  QQ  C_  RR*
20 xpss12 5108 . . . . . . . 8  |-  ( ( QQ  C_  RR*  /\  QQ  C_ 
RR* )  ->  ( QQ  X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
2119, 19, 20mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
2214fdmi 5736 . . . . . . 7  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
2321, 22sseqtr4i 3537 . . . . . 6  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  dom  (,)
24 fores 5804 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  (,)  /\  ( QQ  X.  QQ )  C_  dom  (,) )  ->  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
2516, 23, 24mp2an 672 . . . . 5  |-  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )
26 fodomnum 8438 . . . . 5  |-  ( ( QQ  X.  QQ )  e.  dom  card  ->  ( ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ ) -onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ  X.  QQ ) ) )
2713, 25, 26mp2 9 . . . 4  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ 
X.  QQ )
289, 10entri 7569 . . . 4  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  om
29 domentr 7574 . . . 4  |-  ( ( ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ  X.  QQ )  /\  ( QQ  X.  QQ )  ~~  om )  ->  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  om )
3027, 28, 29mp2an 672 . . 3  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  om
31 2ndci 19743 . . 3  |-  ( ( ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  e.  TopBases  /\  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  om )  ->  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  e. 
2ndc )
323, 30, 31mp2an 672 . 2  |-  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  e.  2ndc
332, 32eqeltri 2551 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  2ndc
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   class class class wbr 4447   Oncon0 4878    X. cxp 4997   dom cdm 4999   ran crn 5000    |` cres 5001   "cima 5002   Fun wfun 5582   -->wf 5584   -onto->wfo 5586   ` cfv 5588   omcom 6684    ~~ cen 7513    ~<_ cdom 7514   cardccrd 8316   RRcr 9491   RR*cxr 9627   NNcn 10536   QQcq 11182   (,)cioo 11529   topGenctg 14693   TopBasesctb 19193   2ndcc2ndc 19733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-ioo 11533  df-topgen 14699  df-bases 19196  df-2ndc 19735
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator