MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  re2ndc Unicode version

Theorem re2ndc 18785
Description: The standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
re2ndc  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  2ndc

Proof of Theorem re2ndc
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . 3  |-  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  =  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
21tgqioo 18784 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
3 qtopbas 18746 . . 3  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  e.  TopBases
4 omelon 7557 . . . . . 6  |-  om  e.  On
5 qnnen 12768 . . . . . . . . 9  |-  QQ  ~~  NN
6 xpen 7229 . . . . . . . . 9  |-  ( ( QQ  ~~  NN  /\  QQ  ~~  NN )  -> 
( QQ  X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN ) )
75, 5, 6mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN )
8 xpnnen 12763 . . . . . . . 8  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
97, 8entri 7120 . . . . . . 7  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  NN
10 nnenom 11274 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
119, 10entr2i 7121 . . . . . 6  |-  om  ~~  ( QQ  X.  QQ )
12 isnumi 7789 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( QQ  X.  QQ )  e. 
dom  card )
134, 11, 12mp2an 654 . . . . 5  |-  ( QQ 
X.  QQ )  e. 
dom  card
14 ioof 10958 . . . . . . 7  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
15 ffun 5552 . . . . . . 7  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  Fun  (,) )
1614, 15ax-mp 8 . . . . . 6  |-  Fun  (,)
17 qssre 10540 . . . . . . . . 9  |-  QQ  C_  RR
18 ressxr 9085 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  RR*
1917, 18sstri 3317 . . . . . . . 8  |-  QQ  C_  RR*
20 xpss12 4940 . . . . . . . 8  |-  ( ( QQ  C_  RR*  /\  QQ  C_ 
RR* )  ->  ( QQ  X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
2119, 19, 20mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
2214fdmi 5555 . . . . . . 7  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
2321, 22sseqtr4i 3341 . . . . . 6  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  dom  (,)
24 fores 5621 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  (,)  /\  ( QQ  X.  QQ )  C_  dom  (,) )  ->  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
2516, 23, 24mp2an 654 . . . . 5  |-  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )
26 fodomnum 7894 . . . . 5  |-  ( ( QQ  X.  QQ )  e.  dom  card  ->  ( ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ ) -onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ  X.  QQ ) ) )
2713, 25, 26mp2 9 . . . 4  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ 
X.  QQ )
289, 10entri 7120 . . . 4  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  om
29 domentr 7125 . . . 4  |-  ( ( ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ  X.  QQ )  /\  ( QQ  X.  QQ )  ~~  om )  ->  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  om )
3027, 28, 29mp2an 654 . . 3  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  om
31 2ndci 17464 . . 3  |-  ( ( ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  e.  TopBases  /\  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  om )  ->  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  e. 
2ndc )
323, 30, 31mp2an 654 . 2  |-  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  e.  2ndc
332, 32eqeltri 2474 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  2ndc
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1721    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   class class class wbr 4172   Oncon0 4541   omcom 4804    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838    |` cres 4839   "cima 4840   Fun wfun 5407   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413    ~~ cen 7065    ~<_ cdom 7066   cardccrd 7778   RRcr 8945   RR*cxr 9075   NNcn 9956   QQcq 10530   (,)cioo 10872   topGenctg 13620   TopBasesctb 16917   2ndcc2ndc 17454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-ioo 10876  df-topgen 13622  df-bases 16920  df-2ndc 17456
  Copyright terms: Public domain W3C validator