MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  re2ndc Structured version   Unicode version

Theorem re2ndc 21172
Description: The standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
re2ndc  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  2ndc

Proof of Theorem re2ndc
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . 3  |-  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  =  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
21tgqioo 21171 . 2  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
3 qtopbas 21132 . . 3  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  e.  TopBases
4 omelon 8061 . . . . . 6  |-  om  e.  On
5 qnnen 13819 . . . . . . . . 9  |-  QQ  ~~  NN
6 xpen 7678 . . . . . . . . 9  |-  ( ( QQ  ~~  NN  /\  QQ  ~~  NN )  -> 
( QQ  X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN ) )
75, 5, 6mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  ( NN  X.  NN )
8 xpnnen 13814 . . . . . . . 8  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
97, 8entri 7567 . . . . . . 7  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  NN
10 nnenom 12064 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
119, 10entr2i 7568 . . . . . 6  |-  om  ~~  ( QQ  X.  QQ )
12 isnumi 8325 . . . . . 6  |-  ( ( om  e.  On  /\  om 
~~  ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( QQ  X.  QQ )  e. 
dom  card )
134, 11, 12mp2an 672 . . . . 5  |-  ( QQ 
X.  QQ )  e. 
dom  card
14 ioof 11626 . . . . . . 7  |-  (,) :
( RR*  X.  RR* ) --> ~P RR
15 ffun 5719 . . . . . . 7  |-  ( (,)
: ( RR*  X.  RR* )
--> ~P RR  ->  Fun  (,) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Fun  (,)
17 qssre 11196 . . . . . . . . 9  |-  QQ  C_  RR
18 ressxr 9635 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  RR*
1917, 18sstri 3495 . . . . . . . 8  |-  QQ  C_  RR*
20 xpss12 5094 . . . . . . . 8  |-  ( ( QQ  C_  RR*  /\  QQ  C_ 
RR* )  ->  ( QQ  X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
)
2119, 19, 20mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  ( RR*  X.  RR* )
2214fdmi 5722 . . . . . . 7  |-  dom  (,)  =  ( RR*  X.  RR* )
2321, 22sseqtr4i 3519 . . . . . 6  |-  ( QQ 
X.  QQ )  C_  dom  (,)
24 fores 5790 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  (,)  /\  ( QQ  X.  QQ )  C_  dom  (,) )  ->  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )
2516, 23, 24mp2an 672 . . . . 5  |-  ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ )
-onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )
26 fodomnum 8436 . . . . 5  |-  ( ( QQ  X.  QQ )  e.  dom  card  ->  ( ( (,)  |`  ( QQ  X.  QQ ) ) : ( QQ  X.  QQ ) -onto-> ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ->  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ  X.  QQ ) ) )
2713, 25, 26mp2 9 . . . 4  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ 
X.  QQ )
289, 10entri 7567 . . . 4  |-  ( QQ 
X.  QQ )  ~~  om
29 domentr 7572 . . . 4  |-  ( ( ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  ( QQ  X.  QQ )  /\  ( QQ  X.  QQ )  ~~  om )  ->  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  om )
3027, 28, 29mp2an 672 . . 3  |-  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  om
31 2ndci 19815 . . 3  |-  ( ( ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  e.  TopBases  /\  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) )  ~<_  om )  ->  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  e. 
2ndc )
323, 30, 31mp2an 672 . 2  |-  ( topGen `  ( (,) " ( QQ  X.  QQ ) ) )  e.  2ndc
332, 32eqeltri 2525 1  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  2ndc
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1802    C_ wss 3458   ~Pcpw 3993   class class class wbr 4433   Oncon0 4864    X. cxp 4983   dom cdm 4985   ran crn 4986    |` cres 4987   "cima 4988   Fun wfun 5568   -->wf 5570   -onto->wfo 5572   ` cfv 5574   omcom 6681    ~~ cen 7511    ~<_ cdom 7512   cardccrd 8314   RRcr 9489   RR*cxr 9625   NNcn 10537   QQcq 11186   (,)cioo 11533   topGenctg 14707   TopBasesctb 19265   2ndcc2ndc 19805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-omul 7133  df-er 7309  df-map 7420  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-acn 8321  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-q 11187  df-ioo 11537  df-topgen 14713  df-bases 19268  df-2ndc 19807
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator