MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rdg0 Unicode version

Theorem rdg0 6638
Description: The initial value of the recursive definition generator. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rdg.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rdg0  |-  ( rec ( F ,  A
) `  (/) )  =  A

Proof of Theorem rdg0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rdgdmlim 6634 . . . 4  |-  Lim  dom  rec ( F ,  A
)
2 limomss 4809 . . . 4  |-  ( Lim 
dom  rec ( F ,  A )  ->  om  C_  dom  rec ( F ,  A
) )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  om  C_  dom  rec ( F ,  A
)
4 peano1 4823 . . 3  |-  (/)  e.  om
53, 4sselii 3305 . 2  |-  (/)  e.  dom  rec ( F ,  A
)
6 eqid 2404 . . 3  |-  ( x  e.  _V  |->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( F `  ( x `  U. dom  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  _V  |->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( F `  ( x `
 U. dom  x
) ) ) ) )
7 rdgvalg 6636 . . 3  |-  ( y  e.  dom  rec ( F ,  A )  ->  ( rec ( F ,  A ) `  y )  =  ( ( x  e.  _V  |->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( F `  ( x `
 U. dom  x
) ) ) ) ) `  ( rec ( F ,  A
)  |`  y ) ) )
8 rdg.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
96, 7, 8tz7.44-1 6623 . 2  |-  ( (/)  e.  dom  rec ( F ,  A )  -> 
( rec ( F ,  A ) `  (/) )  =  A )
105, 9ax-mp 8 1  |-  ( rec ( F ,  A
) `  (/) )  =  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ifcif 3699   U.cuni 3975    e. cmpt 4226   Lim wlim 4542   omcom 4804   dom cdm 4837   ran crn 4838   ` cfv 5413   reccrdg 6626
This theorem is referenced by:  rdg0g  6644  seqomlem1  6666  seqomlem3  6668  abianfplem  6674  om0  6720  oe0  6725  oev2  6726  r10  7650  aleph0  7903  ackbij2lem2  8076  ackbij2lem3  8077  rdgprc  25365
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-recs 6592  df-rdg 6627
  Copyright terms: Public domain W3C validator