MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rdg0 Structured version   Unicode version

Theorem rdg0 6963
Description: The initial value of the recursive definition generator. (Contributed by NM, 23-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rdg.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rdg0  |-  ( rec ( F ,  A
) `  (/) )  =  A

Proof of Theorem rdg0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rdgdmlim 6959 . . . 4  |-  Lim  dom  rec ( F ,  A
)
2 limomss 6567 . . . 4  |-  ( Lim 
dom  rec ( F ,  A )  ->  om  C_  dom  rec ( F ,  A
) )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  om  C_  dom  rec ( F ,  A
)
4 peano1 6581 . . 3  |-  (/)  e.  om
53, 4sselii 3437 . 2  |-  (/)  e.  dom  rec ( F ,  A
)
6 eqid 2450 . . 3  |-  ( x  e.  _V  |->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( F `  ( x `  U. dom  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  _V  |->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( F `  ( x `
 U. dom  x
) ) ) ) )
7 rdgvalg 6961 . . 3  |-  ( y  e.  dom  rec ( F ,  A )  ->  ( rec ( F ,  A ) `  y )  =  ( ( x  e.  _V  |->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( F `  ( x `
 U. dom  x
) ) ) ) ) `  ( rec ( F ,  A
)  |`  y ) ) )
8 rdg.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
96, 7, 8tz7.44-1 6948 . 2  |-  ( (/)  e.  dom  rec ( F ,  A )  -> 
( rec ( F ,  A ) `  (/) )  =  A )
105, 9ax-mp 5 1  |-  ( rec ( F ,  A
) `  (/) )  =  A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1757   _Vcvv 3054    C_ wss 3412   (/)c0 3721   ifcif 3875   U.cuni 4175    |-> cmpt 4434   Lim wlim 4804   dom cdm 4924   ran crn 4925   ` cfv 5502   omcom 6562   reccrdg 6951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-om 6563  df-recs 6918  df-rdg 6952
This theorem is referenced by:  rdg0g  6969  seqomlem1  6991  seqomlem3  6993  om0  7043  oe0  7048  oev2  7049  r10  8062  aleph0  8323  ackbij2lem2  8496  ackbij2lem3  8497  rdgprc  27728
  Copyright terms: Public domain W3C validator