Theorem rdg0 5149

Description: The initial value of the recursive definition generator.

Hypothesis

Ref	Expression
rdg.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
rdg0	|- (rec(F, A)` (/)) = A

Proof of Theorem rdg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdglem2 5146	. 2 |- {<.w, z>. | ((w = (/) /\ z = A) \/ (-. (w = (/) \/ Lim dom w) /\ z = (F` (w` U.dom w))) \/ (Lim dom w /\ z = U.ran w))} = {<.g, z>. | ((g = (/) /\ z = A) \/ (-. (g = (/) \/ Lim dom g) /\ z = (F` (g` U.dom g))) \/ (Lim dom g /\ z = U.ran g))}
2		rdgfnon 5147	. 2 |- rec(F, A) Fn On
3		rdgval 5148	. 2 |- (g e. On -> (rec(F, A)` g) = ({<.w, z>. | ((w = (/) /\ z = A) \/ (-. (w = (/) \/ Lim dom w) /\ z = (F` (w` U.dom w))) \/ (Lim dom w /\ z = U.ran w))}` (rec(F, A) |` g)))
4		rdg.1	. 2 |- A e. _V
5	1, 2, 3, 4	tz7.44-1 5136	1 |- (rec(F, A)` (/)) = A

Syntax hints:  -. wn 2   \/ wo 239   /\ wa 240   \/ w3o 857   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  (/)c0 2875  U.cuni 3177  {copab 3395  Lim wlim 3658  dom cdm 3986  ran crn 3987  ` cfv 3998  reccrdg 5139

This theorem is referenced by:  rdg0g 5152  abianfplem 5170  om0 5201  oe0 5206  oev2 5207  r10 5762  aleph0 5874  neibastop2lem1 15519  neibastop2lem4 15522

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-rdg 5140

Copyright terms: Public domain