MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rddif Structured version   Unicode version

Theorem rddif 12840
Description: The difference between a real number and its nearest integer is less than or equal to one half. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
rddif  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  ( ( |_
`  ( A  +  ( 1  /  2
) ) )  -  A ) )  <_ 
( 1  /  2
) )

Proof of Theorem rddif
StepHypRef Expression
1 halfcn 10553 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
212timesi 10454 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) )
3 2cn 10404 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
4 2ne0 10426 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
53, 4recidi 10074 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
62, 5eqtr3i 2465 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) )  =  1
76oveq2i 6114 . . . . 5  |-  ( ( A  -  ( 1  /  2 ) )  +  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )  =  ( ( A  -  ( 1  /  2
) )  +  1 )
8 recn 9384 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
91a1i 11 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  /  2 )  e.  CC )
108, 9, 9nppcan3d 9758 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  -  (
1  /  2 ) )  +  ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  / 
2 ) ) )  =  ( A  +  ( 1  /  2
) ) )
117, 10syl5eqr 2489 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  -  (
1  /  2 ) )  +  1 )  =  ( A  +  ( 1  /  2
) ) )
12 halfre 10552 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
13 readdcl 9377 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( A  +  ( 1  /  2
) )  e.  RR )
1412, 13mpan2 671 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
15 fllep1 11663 . . . . 5  |-  ( ( A  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR  ->  ( A  +  ( 1  /  2 ) )  <_  ( ( |_
`  ( A  +  ( 1  /  2
) ) )  +  1 ) )
1614, 15syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  ( 1  /  2 ) )  <_  ( ( |_
`  ( A  +  ( 1  /  2
) ) )  +  1 ) )
1711, 16eqbrtrd 4324 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  -  (
1  /  2 ) )  +  1 )  <_  ( ( |_
`  ( A  +  ( 1  /  2
) ) )  +  1 ) )
18 resubcl 9685 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( A  -  ( 1  /  2
) )  e.  RR )
1912, 18mpan2 671 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
20 reflcl 11658 . . . . 5  |-  ( ( A  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( A  +  ( 1  /  2
) ) )  e.  RR )
2114, 20syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  ( A  +  ( 1  /  2
) ) )  e.  RR )
22 1red 9413 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  1  e.  RR )
2319, 21, 22leadd1d 9945 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( A  -  (
1  /  2 ) )  <_  ( |_ `  ( A  +  ( 1  /  2 ) ) )  <->  ( ( A  -  ( 1  /  2 ) )  +  1 )  <_ 
( ( |_ `  ( A  +  (
1  /  2 ) ) )  +  1 ) ) )
2417, 23mpbird 232 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  ( 1  /  2 ) )  <_  ( |_ `  ( A  +  (
1  /  2 ) ) ) )
25 flle 11661 . . 3  |-  ( ( A  +  ( 1  /  2 ) )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( A  +  ( 1  /  2
) ) )  <_ 
( A  +  ( 1  /  2 ) ) )
2614, 25syl 16 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  ( A  +  ( 1  /  2
) ) )  <_ 
( A  +  ( 1  /  2 ) ) )
27 id 22 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR )
2812a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
29 absdifle 12818 . . 3  |-  ( ( ( |_ `  ( A  +  ( 1  /  2 ) ) )  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
1  /  2 )  e.  RR )  -> 
( ( abs `  (
( |_ `  ( A  +  ( 1  /  2 ) ) )  -  A ) )  <_  ( 1  /  2 )  <->  ( ( A  -  ( 1  /  2 ) )  <_  ( |_ `  ( A  +  (
1  /  2 ) ) )  /\  ( |_ `  ( A  +  ( 1  /  2
) ) )  <_ 
( A  +  ( 1  /  2 ) ) ) ) )
3021, 27, 28, 29syl3anc 1218 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( abs `  (
( |_ `  ( A  +  ( 1  /  2 ) ) )  -  A ) )  <_  ( 1  /  2 )  <->  ( ( A  -  ( 1  /  2 ) )  <_  ( |_ `  ( A  +  (
1  /  2 ) ) )  /\  ( |_ `  ( A  +  ( 1  /  2
) ) )  <_ 
( A  +  ( 1  /  2 ) ) ) ) )
3124, 26, 30mpbir2and 913 1  |-  ( A  e.  RR  ->  ( abs `  ( ( |_
`  ( A  +  ( 1  /  2
) ) )  -  A ) )  <_ 
( 1  /  2
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4304   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   RRcr 9293   1c1 9295    + caddc 9297    x. cmul 9299    <_ cle 9431    - cmin 9607    / cdiv 10005   2c2 10383   |_cfl 11652   abscabs 12735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-rp 11004  df-fl 11654  df-seq 11819  df-exp 11878  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737
This theorem is referenced by:  absrdbnd  12841  cntotbnd  28707
  Copyright terms: Public domain W3C validator