Theorem rcla42ev 2385

Description: 2-variable restricted existential specialization, using implicit substitution.

Hypotheses

Ref	Expression
rcla42v.1	|- (x = A -> (ph <-> ch))
rcla42v.2	|- (y = B -> (ch <-> ps))

Assertion

Ref	Expression
rcla42ev	|- ((A e. C /\ B e. D /\ ps) -> E.x e. C E.y e. D ph)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,C   x,D   y,B   y,D   ch,x   ps,y

Proof of Theorem rcla42ev

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rcla42v.2	. . . . 5 |- (y = B -> (ch <-> ps))
2	1	rcla4ev 2381	. . . 4 |- ((B e. D /\ ps) -> E.y e. D ch)
3	2	anim2i 362	. . 3 |- ((A e. C /\ (B e. D /\ ps)) -> (A e. C /\ E.y e. D ch))
4	3	3impb 1063	. 2 |- ((A e. C /\ B e. D /\ ps) -> (A e. C /\ E.y e. D ch))
5		rcla42v.1	. . . 4 |- (x = A -> (ph <-> ch))
6	5	rexbidv 2124	. . 3 |- (x = A -> (E.y e. D ph <-> E.y e. D ch))
7	6	rcla4ev 2381	. 2 |- ((A e. C /\ E.y e. D ch) -> E.x e. C E.y e. D ph)
8	4, 7	syl 12	1 |- ((A e. C /\ B e. D /\ ps) -> E.x e. C E.y e. D ph)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106

This theorem is referenced by:  rcla4eopr 4915  2dom 5486  hartoglem 5692  unxpdomlem 5995  retopbas 8925  txbas 8933  txuni 8935  blelrn 9125  methausi 9159  blssioo 9191  hausnei2 10222  tx1cn 10223  tx2cn 10224  subtopmet 10256  altopelaltxp 14099  dtt2 14951  altretop 14997  elfiun 15369  fictblem 15370  hartoglemOLD 15383  reconnlem1 15446  filnetlem1 15640  filnetlem3 15642  filnetlem4 15643  filnetlem5 15644  eroprv 15734  txsubsp 15912  txopn 15913  txmet 15925  smprngpr 16200  islinei 17221  psubspi2 17229  elpaddri 17263

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-rex 2110  df-v 2294

Copyright terms: Public domain