Theorem rcfpfil 14934

Description: Relative complements of the finite parts of an infinite set is a filter. When A = NN the set of the relative complements is called Frechet's filter and is used to define the concept of limit of a sequence.

Assertion

Ref	Expression
rcfpfil	|- ((A e. B /\ -. A e. Fin) -> {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} e. Fil)

Distinct variable groups:   A,b,x   B,b,x

Proof of Theorem rcfpfil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rcfpfillem2 14929	. . . . 5 |- (-. A e. Fin -> -. (/) e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))})
2	1	adantl 424	. . . 4 |- ((A e. B /\ -. A e. Fin) -> -. (/) e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))})
3		rcfpfillem3 14930	. . . . . 6 |- (A e. B -> U.{x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} = A)
4		rcfpfillem5 14932	. . . . . 6 |- (A e. B -> A e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))})
5	3, 4	eqeltrd 1971	. . . . 5 |- (A e. B -> U.{x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))})
6	5	adantr 425	. . . 4 |- ((A e. B /\ -. A e. Fin) -> U.{x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))})
7	2, 6	jca 310	. . 3 |- ((A e. B /\ -. A e. Fin) -> (-. (/) e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} /\ U.{x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))}))
8		rcfpfillem6 14933	. . . . . 6 |- ((u e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} /\ v C_ A /\ u C_ v) -> v e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))})
9		unissb 3208	. . . . . . . 8 |- (U.{x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} C_ A <-> A.y e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))}y C_ A)
10		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
11		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = y -> (x = (A \ b) <-> y = (A \ b)))
12	11	3anbi3d 1174	. . . . . . . . . . 11 |- (x = y -> ((b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b)) <-> (b C_ A /\ b e. Fin /\ y = (A \ b))))
13	12	exbidv 1657	. . . . . . . . . 10 |- (x = y -> (E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b)) <-> E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ y = (A \ b))))
14	10, 13	elab 2403	. . . . . . . . 9 |- (y e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} <-> E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ y = (A \ b)))
15		difss 2735	. . . . . . . . . . . 12 |- (A \ b) C_ A
16		sseq1 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = (A \ b) -> (y C_ A <-> (A \ b) C_ A))
17	15, 16	mpbiri 211	. . . . . . . . . . 11 |- (y = (A \ b) -> y C_ A)
18	17	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . 10 |- ((b C_ A /\ b e. Fin /\ y = (A \ b)) -> y C_ A)
19	18	19.23aiv 1674	. . . . . . . . 9 |- (E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ y = (A \ b)) -> y C_ A)
20	14, 19	sylbi 216	. . . . . . . 8 |- (y e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} -> y C_ A)
21	9, 20	mprgbir 2163	. . . . . . 7 |- U.{x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} C_ A
22		sstr2 2623	. . . . . . 7 |- (v C_ U.{x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} -> (U.{x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} C_ A -> v C_ A))
23	21, 22	mpi 55	. . . . . 6 |- (v C_ U.{x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} -> v C_ A)
24	8, 23	syl3an2 1131	. . . . 5 |- ((u e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} /\ v C_ U.{x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} /\ u C_ v) -> v e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))})
25	24	a1i 8	. . . 4 |- ((A e. B /\ -. A e. Fin) -> ((u e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} /\ v C_ U.{x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} /\ u C_ v) -> v e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))}))
26	25	19.21aivv 1665	. . 3 |- ((A e. B /\ -. A e. Fin) -> A.uA.v((u e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} /\ v C_ U.{x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} /\ u C_ v) -> v e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))}))
27		rcfpfillem4 14931	. . . 4 |- (A e. B -> A.u e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))}A.v e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} (u i^i v) e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))})
28	27	adantr 425	. . 3 |- ((A e. B /\ -. A e. Fin) -> A.u e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))}A.v e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} (u i^i v) e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))})
29	7, 26, 28	3jca 1050	. 2 |- ((A e. B /\ -. A e. Fin) -> ((-. (/) e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} /\ U.{x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))}) /\ A.uA.v((u e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} /\ v C_ U.{x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} /\ u C_ v) -> v e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))}) /\ A.u e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))}A.v e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} (u i^i v) e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))}))
30		elpw2g 3463	. . . . . . . . . 10 |- (A e. B -> (b e. ~PA <-> b C_ A))
31	30	bicomd 580	. . . . . . . . 9 |- (A e. B -> (b C_ A <-> b e. ~PA))
32	31	3anbi1d 1172	. . . . . . . 8 |- (A e. B -> ((b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b)) <-> (b e. ~PA /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))))
33	32	opabbidv 3401	. . . . . . 7 |- (A e. B -> {<.b, x>. | (b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} = {<.b, x>. | (b e. ~PA /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))})
34		pwexg 3489	. . . . . . . . . 10 |- (A e. B -> ~PA e. _V)
35		opabex2g 4540	. . . . . . . . . 10 |- (~PA e. _V -> {<.b, x>. | (b e. ~PA /\ x = (A \ b))} e. _V)
36	34, 35	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (A e. B -> {<.b, x>. | (b e. ~PA /\ x = (A \ b))} e. _V)
37		3simpb 873	. . . . . . . . . 10 |- ((b e. ~PA /\ b e. Fin /\ x = (A \ b)) -> (b e. ~PA /\ x = (A \ b)))
38	37	ssopab2i 3574	. . . . . . . . 9 |- {<.b, x>. | (b e. ~PA /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} C_ {<.b, x>. | (b e. ~PA /\ x = (A \ b))}
39	36, 38	jctil 316	. . . . . . . 8 |- (A e. B -> ({<.b, x>. | (b e. ~PA /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} C_ {<.b, x>. | (b e. ~PA /\ x = (A \ b))} /\ {<.b, x>. | (b e. ~PA /\ x = (A \ b))} e. _V))
40		ssexg 3457	. . . . . . . 8 |- (({<.b, x>. | (b e. ~PA /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} C_ {<.b, x>. | (b e. ~PA /\ x = (A \ b))} /\ {<.b, x>. | (b e. ~PA /\ x = (A \ b))} e. _V) -> {<.b, x>. | (b e. ~PA /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} e. _V)
41	39, 40	syl 12	. . . . . . 7 |- (A e. B -> {<.b, x>. | (b e. ~PA /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} e. _V)
42	33, 41	eqeltrd 1971	. . . . . 6 |- (A e. B -> {<.b, x>. | (b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} e. _V)
43		rnexg 4207	. . . . . 6 |- ({<.b, x>. | (b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} e. _V -> ran {<.b, x>. | (b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} e. _V)
44	42, 43	syl 12	. . . . 5 |- (A e. B -> ran {<.b, x>. | (b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} e. _V)
45		rnopab 4201	. . . . 5 |- ran {<.b, x>. | (b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} = {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))}
46	44, 45	syl5eqelr 1976	. . . 4 |- (A e. B -> {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} e. _V)
47		eqid 1884	. . . . 5 |- U.{x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} = U.{x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))}
48	47	isfil 10266	. . . 4 |- ({x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} e. _V -> ({x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} e. Fil <-> ((-. (/) e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} /\ U.{x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))}) /\ A.uA.v((u e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} /\ v C_ U.{x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} /\ u C_ v) -> v e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))}) /\ A.u e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))}A.v e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} (u i^i v) e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))})))
49	46, 48	syl 12	. . 3 |- (A e. B -> ({x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} e. Fil <-> ((-. (/) e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} /\ U.{x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))}) /\ A.uA.v((u e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} /\ v C_ U.{x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} /\ u C_ v) -> v e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))}) /\ A.u e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))}A.v e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} (u i^i v) e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))})))
50	49	adantr 425	. 2 |- ((A e. B /\ -. A e. Fin) -> ({x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} e. Fil <-> ((-. (/) e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} /\ U.{x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))}) /\ A.uA.v((u e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} /\ v C_ U.{x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} /\ u C_ v) -> v e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))}) /\ A.u e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))}A.v e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} (u i^i v) e. {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))})))
51	29, 50	mpbird 213	1 |- ((A e. B /\ -. A e. Fin) -> {x | E.b(b C_ A /\ b e. Fin /\ x = (A \ b))} e. Fil)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  A.wral 2105  _Vcvv 2292   \ cdif 2590   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  ~Pcpw 3032  U.cuni 3177  {copab 3395  ran crn 3987  Fincfn 5426  Filcfil 10264

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-oadd 5179  df-er 5318  df-en 5427  df-fin 5430  df-fil 10265

Copyright terms: Public domain