MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankxpu Structured version   Unicode version

Theorem rankxpu 8283
Description: An upper bound on the rank of a Cartesian product. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxpl.1  |-  A  e. 
_V
rankxpl.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankxpu  |-  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)

Proof of Theorem rankxpu
StepHypRef Expression
1 xpsspw 5107 . . 3  |-  ( A  X.  B )  C_  ~P ~P ( A  u.  B )
2 rankxpl.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
3 rankxpl.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
42, 3unex 6573 . . . . . 6  |-  ( A  u.  B )  e. 
_V
54pwex 4623 . . . . 5  |-  ~P ( A  u.  B )  e.  _V
65pwex 4623 . . . 4  |-  ~P ~P ( A  u.  B
)  e.  _V
76rankss 8256 . . 3  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ~P ~P ( A  u.  B )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  C_  ( rank `  ~P ~P ( A  u.  B )
) )
81, 7ax-mp 5 . 2  |-  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  ( rank `  ~P ~P ( A  u.  B )
)
95rankpw 8250 . . 3  |-  ( rank `  ~P ~P ( A  u.  B ) )  =  suc  ( rank `  ~P ( A  u.  B ) )
104rankpw 8250 . . . 4  |-  ( rank `  ~P ( A  u.  B ) )  =  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)
11 suceq 4936 . . . 4  |-  ( (
rank `  ~P ( A  u.  B )
)  =  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  ->  suc  ( rank `  ~P ( A  u.  B
) )  =  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
1210, 11ax-mp 5 . . 3  |-  suc  ( rank `  ~P ( A  u.  B ) )  =  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )
139, 12eqtri 2489 . 2  |-  ( rank `  ~P ~P ( A  u.  B ) )  =  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )
148, 13sseqtri 3529 1  |-  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106    u. cun 3467    C_ wss 3469   ~Pcpw 4003   suc csuc 4873    X. cxp 4990   ` cfv 5579   rankcrnk 8170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-reg 8007  ax-inf2 8047
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-r1 8171  df-rank 8172
This theorem is referenced by:  rankfu  8284  rankmapu  8285  rankxplim3  8288
  Copyright terms: Public domain W3C validator