MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankxpu Structured version   Unicode version

Theorem rankxpu 8104
Description: An upper bound on the rank of a Cartesian product. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxpl.1  |-  A  e. 
_V
rankxpl.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankxpu  |-  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)

Proof of Theorem rankxpu
StepHypRef Expression
1 xpsspw 4974 . . 3  |-  ( A  X.  B )  C_  ~P ~P ( A  u.  B )
2 rankxpl.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
3 rankxpl.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
42, 3unex 6399 . . . . . 6  |-  ( A  u.  B )  e. 
_V
54pwex 4496 . . . . 5  |-  ~P ( A  u.  B )  e.  _V
65pwex 4496 . . . 4  |-  ~P ~P ( A  u.  B
)  e.  _V
76rankss 8077 . . 3  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ~P ~P ( A  u.  B )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  C_  ( rank `  ~P ~P ( A  u.  B )
) )
81, 7ax-mp 5 . 2  |-  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  ( rank `  ~P ~P ( A  u.  B )
)
95rankpw 8071 . . 3  |-  ( rank `  ~P ~P ( A  u.  B ) )  =  suc  ( rank `  ~P ( A  u.  B ) )
104rankpw 8071 . . . 4  |-  ( rank `  ~P ( A  u.  B ) )  =  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)
11 suceq 4805 . . . 4  |-  ( (
rank `  ~P ( A  u.  B )
)  =  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  ->  suc  ( rank `  ~P ( A  u.  B
) )  =  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
1210, 11ax-mp 5 . . 3  |-  suc  ( rank `  ~P ( A  u.  B ) )  =  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )
139, 12eqtri 2463 . 2  |-  ( rank `  ~P ~P ( A  u.  B ) )  =  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )
148, 13sseqtri 3409 1  |-  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2993    u. cun 3347    C_ wss 3349   ~Pcpw 3881   suc csuc 4742    X. cxp 4859   ` cfv 5439   rankcrnk 7991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-reg 7828  ax-inf2 7868
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-r1 7992  df-rank 7993
This theorem is referenced by:  rankfu  8105  rankmapu  8106  rankxplim3  8109
  Copyright terms: Public domain W3C validator