MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankxpu Structured version   Unicode version

Theorem rankxpu 8326
Description: An upper bound on the rank of a Cartesian product. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxpl.1  |-  A  e. 
_V
rankxpl.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankxpu  |-  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)

Proof of Theorem rankxpu
StepHypRef Expression
1 xpsspw 4937 . . 3  |-  ( A  X.  B )  C_  ~P ~P ( A  u.  B )
2 rankxpl.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
3 rankxpl.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
42, 3unex 6580 . . . . . 6  |-  ( A  u.  B )  e. 
_V
54pwex 4577 . . . . 5  |-  ~P ( A  u.  B )  e.  _V
65pwex 4577 . . . 4  |-  ~P ~P ( A  u.  B
)  e.  _V
76rankss 8299 . . 3  |-  ( ( A  X.  B ) 
C_  ~P ~P ( A  u.  B )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  C_  ( rank `  ~P ~P ( A  u.  B )
) )
81, 7ax-mp 5 . 2  |-  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  ( rank `  ~P ~P ( A  u.  B )
)
95rankpw 8293 . . 3  |-  ( rank `  ~P ~P ( A  u.  B ) )  =  suc  ( rank `  ~P ( A  u.  B ) )
104rankpw 8293 . . . 4  |-  ( rank `  ~P ( A  u.  B ) )  =  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)
11 suceq 5475 . . . 4  |-  ( (
rank `  ~P ( A  u.  B )
)  =  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  ->  suc  ( rank `  ~P ( A  u.  B
) )  =  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
1210, 11ax-mp 5 . . 3  |-  suc  ( rank `  ~P ( A  u.  B ) )  =  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )
139, 12eqtri 2431 . 2  |-  ( rank `  ~P ~P ( A  u.  B ) )  =  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )
148, 13sseqtri 3474 1  |-  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3059    u. cun 3412    C_ wss 3414   ~Pcpw 3955    X. cxp 4821   suc csuc 5412   ` cfv 5569   rankcrnk 8213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-reg 8052  ax-inf2 8091
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-r1 8214  df-rank 8215
This theorem is referenced by:  rankfu  8327  rankmapu  8328  rankxplim3  8331
  Copyright terms: Public domain W3C validator