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Theorem rankxpsuc 8296
Description: The rank of a Cartesian product when the rank of the union of its arguments is a successor ordinal. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. See rankxplim 8293 for the limit ordinal case. (Contributed by NM, 19-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxplim.1  |-  A  e. 
_V
rankxplim.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankxpsuc  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )

Proof of Theorem rankxpsuc
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rankuni 8277 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  U. U. ( A  X.  B ) )  =  U. ( rank `  U. ( A  X.  B ) )
2 rankuni 8277 . . . . . . . . 9  |-  ( rank `  U. ( A  X.  B ) )  = 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
32unieqi 4254 . . . . . . . 8  |-  U. ( rank `  U. ( A  X.  B ) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
41, 3eqtri 2496 . . . . . . 7  |-  ( rank `  U. U. ( A  X.  B ) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
5 unixp 5538 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  U. U. ( A  X.  B )  =  ( A  u.  B
) )
65fveq2d 5868 . . . . . . 7  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( rank ` 
U. U. ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
74, 6syl5reqr 2523 . . . . . 6  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
8 suc11reg 8032 . . . . . 6  |-  ( suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <-> 
( rank `  ( A  u.  B ) )  = 
U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
97, 8sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  suc  U.
U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
109adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
11 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  _V
12 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
_V 
<->  suc  C  e.  _V ) )
1311, 12mpbii 211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  suc  C  e.  _V )
14 sucexb 6622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  _V  <->  suc  C  e. 
_V )
1513, 14sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  C  e.  _V )
16 nlimsucg 6655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  _V  ->  -.  Lim  suc  C )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  -.  Lim  suc  C )
18 limeq 4890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  Lim  suc  C )
)
1917, 18mtbird 301 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  -.  Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
20 rankxplim.1 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e. 
_V
21 rankxplim.2 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e. 
_V
2220, 21rankxplim2 8294 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
2319, 22nsyl 121 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  -.  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
2420, 21xpex 6711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  X.  B )  e. 
_V
2524rankeq0 8275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  <->  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
2625necon3abii 2727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  <->  -.  ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (/) )
27 rankon 8209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( rank `  ( A  X.  B
) )  e.  On
2827onordi 4982 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Ord  ( rank `  ( A  X.  B ) )
29 ordzsl 6658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Ord  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <-> 
( ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
3028, 29mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
31 3orass 976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )  <->  ( ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (/)  \/  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) ) )
3230, 31mpbi 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
3332ori 375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
3426, 33sylbi 195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
3534ord 377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( -.  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
3635con1d 124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( -.  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x ) )
3723, 36syl5com 30 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  (
( A  X.  B
)  =/=  (/)  ->  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x ) )
38 vex 3116 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
39 nlimsucg 6655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  _V  ->  -.  Lim  suc  x )
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  Lim  suc  x
41 limeq 4890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  Lim  suc  x ) )
4240, 41mtbiri 303 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  -.  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4342rexlimivw 2952 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  -.  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4420, 21rankxplim3 8295 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4543, 44sylnib 304 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  -.  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4637, 45syl6com 35 . . . . . . 7  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  -.  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
47 unixp0 5539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  <->  U. ( A  X.  B )  =  (/) )
4824uniex 6578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( A  X.  B )  e. 
_V
4948rankeq0 8275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. ( A  X.  B
)  =  (/)  <->  ( rank ` 
U. ( A  X.  B ) )  =  (/) )
502eqeq1i 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
rank `  U. ( A  X.  B ) )  =  (/)  <->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
5147, 49, 503bitri 271 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  <->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
5251necon3abii 2727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  <->  -.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
53 onuni 6606 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  e.  On  ->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  e.  On )
5427, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  e.  On
5554onordi 4982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Ord  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
56 ordzsl 6658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <-> 
( U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (/)  \/ 
E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/ 
Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
5755, 56mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  suc  x  \/  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
58 3orass 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  suc  x  \/  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )  <-> 
( U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (/)  \/  ( E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  suc  x  \/  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) ) )
5957, 58mpbi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  ( E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  suc  x  \/  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6059ori 375 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6152, 60sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6261ord 377 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( -.  E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6362con1d 124 . . . . . . 7  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( -.  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x ) )
6446, 63syld 44 . . . . . 6  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  suc  x ) )
6564impcom 430 . . . . 5  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x )
66 onsucuni2 6647 . . . . . . 7  |-  ( ( U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  e.  On  /\  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x )  ->  suc  U. U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
6754, 66mpan 670 . . . . . 6  |-  ( U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  suc  U.
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  U. ( rank `  ( A  X.  B
) ) )
6867rexlimivw 2952 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  suc  U.
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  U. ( rank `  ( A  X.  B
) ) )
6965, 68syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  suc  U. U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7010, 69eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
71 suc11reg 8032 . . 3  |-  ( suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7270, 71sylibr 212 . 2  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7337imp 429 . . 3  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x )
74 onsucuni2 6647 . . . . 5  |-  ( ( ( rank `  ( A  X.  B ) )  e.  On  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x )  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7527, 74mpan 670 . . . 4  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7675rexlimivw 2952 . . 3  |-  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7773, 76syl 16 . 2  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7872, 77eqtr2d 2509 1  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 972    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    u. cun 3474   (/)c0 3785   U.cuni 4245   Ord word 4877   Oncon0 4878   Lim wlim 4879   suc csuc 4880    X. cxp 4997   ` cfv 5586   rankcrnk 8177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-reg 8014  ax-inf2 8054
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-r1 8178  df-rank 8179
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