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Theorem rankxpsuc 8361
Description: The rank of a Cartesian product when the rank of the union of its arguments is a successor ordinal. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. See rankxplim 8358 for the limit ordinal case. (Contributed by NM, 19-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxplim.1  |-  A  e. 
_V
rankxplim.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankxpsuc  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )

Proof of Theorem rankxpsuc
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rankuni 8342 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  U. U. ( A  X.  B ) )  =  U. ( rank `  U. ( A  X.  B ) )
2 rankuni 8342 . . . . . . . . 9  |-  ( rank `  U. ( A  X.  B ) )  = 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
32unieqi 4228 . . . . . . . 8  |-  U. ( rank `  U. ( A  X.  B ) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
41, 3eqtri 2451 . . . . . . 7  |-  ( rank `  U. U. ( A  X.  B ) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
5 unixp 5388 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  U. U. ( A  X.  B )  =  ( A  u.  B
) )
65fveq2d 5885 . . . . . . 7  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( rank ` 
U. U. ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
74, 6syl5reqr 2478 . . . . . 6  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
8 suc11reg 8133 . . . . . 6  |-  ( suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <-> 
( rank `  ( A  u.  B ) )  = 
U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
97, 8sylibr 215 . . . . 5  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  suc  U.
U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
109adantl 467 . . . 4  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
11 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  _V
12 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
_V 
<->  suc  C  e.  _V ) )
1311, 12mpbii 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  suc  C  e.  _V )
14 sucexb 6650 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  _V  <->  suc  C  e. 
_V )
1513, 14sylibr 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  C  e.  _V )
16 nlimsucg 6683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  _V  ->  -.  Lim  suc  C )
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  -.  Lim  suc  C )
18 limeq 5454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  Lim  suc  C )
)
1917, 18mtbird 302 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  -.  Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
20 rankxplim.1 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e. 
_V
21 rankxplim.2 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e. 
_V
2220, 21rankxplim2 8359 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
2319, 22nsyl 124 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  -.  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
2420, 21xpex 6609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  X.  B )  e. 
_V
2524rankeq0 8340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  <->  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
2625necon3abii 2680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  <->  -.  ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (/) )
27 rankon 8274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( rank `  ( A  X.  B
) )  e.  On
2827onordi 5546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Ord  ( rank `  ( A  X.  B ) )
29 ordzsl 6686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Ord  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <-> 
( ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
3028, 29mpbi 211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
31 3orass 985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )  <->  ( ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (/)  \/  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) ) )
3230, 31mpbi 211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
3332ori 376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
3426, 33sylbi 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
3534ord 378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( -.  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
3635con1d 127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( -.  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x ) )
3723, 36syl5com 31 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  (
( A  X.  B
)  =/=  (/)  ->  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x ) )
38 vex 3083 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
39 nlimsucg 6683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  _V  ->  -.  Lim  suc  x )
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  Lim  suc  x
41 limeq 5454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  Lim  suc  x ) )
4240, 41mtbiri 304 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  -.  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4342rexlimivw 2911 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  -.  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4420, 21rankxplim3 8360 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4543, 44sylnib 305 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  -.  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4637, 45syl6com 36 . . . . . . 7  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  -.  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
47 unixp0 5389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  <->  U. ( A  X.  B )  =  (/) )
4824uniex 6601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( A  X.  B )  e. 
_V
4948rankeq0 8340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. ( A  X.  B
)  =  (/)  <->  ( rank ` 
U. ( A  X.  B ) )  =  (/) )
502eqeq1i 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
rank `  U. ( A  X.  B ) )  =  (/)  <->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
5147, 49, 503bitri 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  <->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
5251necon3abii 2680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  <->  -.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
53 onuni 6634 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  e.  On  ->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  e.  On )
5427, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  e.  On
5554onordi 5546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Ord  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
56 ordzsl 6686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <-> 
( U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (/)  \/ 
E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/ 
Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
5755, 56mpbi 211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  suc  x  \/  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
58 3orass 985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  suc  x  \/  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )  <-> 
( U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (/)  \/  ( E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  suc  x  \/  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) ) )
5957, 58mpbi 211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  ( E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  suc  x  \/  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6059ori 376 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6152, 60sylbi 198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6261ord 378 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( -.  E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6362con1d 127 . . . . . . 7  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( -.  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x ) )
6446, 63syld 45 . . . . . 6  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  suc  x ) )
6564impcom 431 . . . . 5  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x )
66 onsucuni2 6675 . . . . . . 7  |-  ( ( U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  e.  On  /\  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x )  ->  suc  U. U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
6754, 66mpan 674 . . . . . 6  |-  ( U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  suc  U.
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  U. ( rank `  ( A  X.  B
) ) )
6867rexlimivw 2911 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  suc  U.
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  U. ( rank `  ( A  X.  B
) ) )
6965, 68syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  suc  U. U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7010, 69eqtrd 2463 . . 3  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
71 suc11reg 8133 . . 3  |-  ( suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7270, 71sylibr 215 . 2  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7337imp 430 . . 3  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x )
74 onsucuni2 6675 . . . . 5  |-  ( ( ( rank `  ( A  X.  B ) )  e.  On  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x )  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7527, 74mpan 674 . . . 4  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7675rexlimivw 2911 . . 3  |-  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7773, 76syl 17 . 2  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7872, 77eqtr2d 2464 1  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 369    /\ wa 370    \/ w3o 981    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   E.wrex 2772   _Vcvv 3080    u. cun 3434   (/)c0 3761   U.cuni 4219    X. cxp 4851   Ord word 5441   Oncon0 5442   Lim wlim 5443   suc csuc 5444   ` cfv 5601   rankcrnk 8242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-reg 8116  ax-inf2 8155
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-om 6707  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-r1 8243  df-rank 8244
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