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Theorem rankxpsuc 7762
Description: The rank of a cross product when the rank of the union of its arguments is a successor ordinal. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. See rankxplim 7759 for the limit ordinal case. (Contributed by NM, 19-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxplim.1  |-  A  e. 
_V
rankxplim.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankxpsuc  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )

Proof of Theorem rankxpsuc
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rankuni 7745 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  U. U. ( A  X.  B ) )  =  U. ( rank `  U. ( A  X.  B ) )
2 rankuni 7745 . . . . . . . . 9  |-  ( rank `  U. ( A  X.  B ) )  = 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
32unieqi 3985 . . . . . . . 8  |-  U. ( rank `  U. ( A  X.  B ) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
41, 3eqtri 2424 . . . . . . 7  |-  ( rank `  U. U. ( A  X.  B ) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
5 unixp 5361 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  U. U. ( A  X.  B )  =  ( A  u.  B
) )
65fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( rank ` 
U. U. ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
74, 6syl5reqr 2451 . . . . . 6  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
8 suc11reg 7530 . . . . . 6  |-  ( suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <-> 
( rank `  ( A  u.  B ) )  = 
U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
97, 8sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  suc  U.
U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
109adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
11 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  _V
12 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
_V 
<->  suc  C  e.  _V ) )
1311, 12mpbii 203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  suc  C  e.  _V )
14 sucexb 4748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  _V  <->  suc  C  e. 
_V )
1513, 14sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  C  e.  _V )
16 nlimsucg 4781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  _V  ->  -.  Lim  suc  C )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  -.  Lim  suc  C )
18 limeq 4553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  Lim  suc  C )
)
1917, 18mtbird 293 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  -.  Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
20 rankxplim.1 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e. 
_V
21 rankxplim.2 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e. 
_V
2220, 21rankxplim2 7760 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
2319, 22nsyl 115 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  -.  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
2420, 21xpex 4949 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  X.  B )  e. 
_V
2524rankeq0 7743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  <->  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
2625necon3abii 2597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  <->  -.  ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (/) )
27 rankon 7677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( rank `  ( A  X.  B
) )  e.  On
2827onordi 4645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Ord  ( rank `  ( A  X.  B ) )
29 ordzsl 4784 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Ord  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <-> 
( ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
3028, 29mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
31 3orass 939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )  <->  ( ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (/)  \/  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) ) )
3230, 31mpbi 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
3332ori 365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
3426, 33sylbi 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
3534ord 367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( -.  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
3635con1d 118 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( -.  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x ) )
3723, 36syl5com 28 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  (
( A  X.  B
)  =/=  (/)  ->  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x ) )
38 vex 2919 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
39 nlimsucg 4781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  _V  ->  -.  Lim  suc  x )
4038, 39ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  Lim  suc  x
41 limeq 4553 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  Lim  suc  x ) )
4240, 41mtbiri 295 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  -.  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4342rexlimivw 2786 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  -.  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4420, 21rankxplim3 7761 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4543, 44sylnib 296 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  -.  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4637, 45syl6com 33 . . . . . . 7  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  -.  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
47 unixp0 5362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  <->  U. ( A  X.  B )  =  (/) )
4824uniex 4664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( A  X.  B )  e. 
_V
4948rankeq0 7743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. ( A  X.  B
)  =  (/)  <->  ( rank ` 
U. ( A  X.  B ) )  =  (/) )
502eqeq1i 2411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
rank `  U. ( A  X.  B ) )  =  (/)  <->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
5147, 49, 503bitri 263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  <->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
5251necon3abii 2597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  <->  -.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
53 onuni 4732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  e.  On  ->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  e.  On )
5427, 53ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  e.  On
5554onordi 4645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Ord  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
56 ordzsl 4784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Ord  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <-> 
( U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (/)  \/ 
E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/ 
Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
5755, 56mpbi 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  suc  x  \/  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
58 3orass 939 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  suc  x  \/  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )  <-> 
( U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (/)  \/  ( E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  suc  x  \/  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) ) )
5957, 58mpbi 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  ( E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  suc  x  \/  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6059ori 365 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6152, 60sylbi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  \/  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6261ord 367 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( -.  E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6362con1d 118 . . . . . . 7  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( -.  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x ) )
6446, 63syld 42 . . . . . 6  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  C  ->  E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  suc  x ) )
6564impcom 420 . . . . 5  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x )
66 onsucuni2 4773 . . . . . . 7  |-  ( ( U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  e.  On  /\  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x )  ->  suc  U. U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
6754, 66mpan 652 . . . . . 6  |-  ( U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  suc  U.
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  U. ( rank `  ( A  X.  B
) ) )
6867rexlimivw 2786 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  On  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  suc  U.
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  U. ( rank `  ( A  X.  B
) ) )
6965, 68syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  suc  U. U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7010, 69eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
71 suc11reg 7530 . . 3  |-  ( suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7270, 71sylibr 204 . 2  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7337imp 419 . . 3  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x )
74 onsucuni2 4773 . . . . 5  |-  ( ( ( rank `  ( A  X.  B ) )  e.  On  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x )  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7527, 74mpan 652 . . . 4  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7675rexlimivw 2786 . . 3  |-  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  x  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7773, 76syl 16 . 2  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7872, 77eqtr2d 2437 1  |-  ( ( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  C  /\  ( A  X.  B
)  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    \/ w3o 935    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    u. cun 3278   (/)c0 3588   U.cuni 3975   Ord word 4540   Oncon0 4541   Lim wlim 4542   suc csuc 4543    X. cxp 4835   ` cfv 5413   rankcrnk 7645
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-reg 7516  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-r1 7646  df-rank 7647
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