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Theorem rankxplim3 8192
Description: The rank of a Cartesian product is a limit ordinal iff its union is. (Contributed by NM, 19-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxplim.1  |-  A  e. 
_V
rankxplim.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankxplim3  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )

Proof of Theorem rankxplim3
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limuni2 4881 . 2  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
2 0ellim 4882 . . . 4  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  (/)  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
3 n0i 3743 . . . 4  |-  ( (/)  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  -.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
4 unieq 4200 . . . . . 6  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  U. (/) )
5 uni0 4219 . . . . . 6  |-  U. (/)  =  (/)
64, 5syl6eq 2508 . . . . 5  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
76con3i 135 . . . 4  |-  ( -. 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
82, 3, 73syl 20 . . 3  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  -.  ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (/) )
9 rankon 8106 . . . . . . . . . 10  |-  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  On
109onsuci 6552 . . . . . . . . 9  |-  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e.  On
1110onsuci 6552 . . . . . . . 8  |-  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e.  On
1211elexi 3081 . . . . . . 7  |-  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
_V
1312sucid 4899 . . . . . 6  |-  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )
1411onsuci 6552 . . . . . . . 8  |-  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  On
15 ontri1 4854 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  On  /\ 
suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  On )  ->  ( suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  -.  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) ) ) )
1614, 11, 15mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( suc 
suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  -.  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
1716con2bii 332 . . . . . 6  |-  ( suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  -.  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
1813, 17mpbi 208 . . . . 5  |-  -.  suc  suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )
19 rankxplim.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
20 rankxplim.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
2119, 20rankxpu 8187 . . . . . 6  |-  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)
22 sstr 3465 . . . . . 6  |-  ( ( suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) )  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
) )  ->  suc  suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
2321, 22mpan2 671 . . . . 5  |-  ( suc 
suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  ( rank `  ( A  X.  B
) )  ->  suc  suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
2418, 23mto 176 . . . 4  |-  -.  suc  suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  ( rank `  ( A  X.  B
) )
25 reeanv 2987 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  On  E. y  e.  On  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  <->  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )
26 simprl 755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  x
)
27 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x )  -> 
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x )
28 rankuni 8174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( rank `  U. U. ( A  X.  B ) )  =  U. ( rank `  U. ( A  X.  B ) )
29 rankuni 8174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( rank `  U. ( A  X.  B ) )  = 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
3029unieqi 4201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  U. ( rank `  U. ( A  X.  B ) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
3128, 30eqtri 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( rank `  U. U. ( A  X.  B ) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
32 df-ne 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  <->  -.  ( A  X.  B )  =  (/) )
3319, 20xpex 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A  X.  B )  e. 
_V
3433rankeq0 8172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  <->  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
3534notbii 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  ( A  X.  B
)  =  (/)  <->  -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
3632, 35bitr2i 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  <->  ( A  X.  B )  =/=  (/) )
378, 36sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( A  X.  B )  =/=  (/) )
38 unixp 5471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  U. U. ( A  X.  B )  =  ( A  u.  B
) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  U. U. ( A  X.  B )  =  ( A  u.  B
) )
4039fveq2d 5796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( rank `  U. U. ( A  X.  B
) )  =  (
rank `  ( A  u.  B ) ) )
4131, 40syl5reqr 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
42 eqimss 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  = 
U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x )  -> 
( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  U.
U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4527, 44eqsstr3d 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x )  ->  suc  x  C_  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4645adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  x  C_  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
47 limuni 4880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4946, 48sseqtr4d 3494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  x  C_  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
50 vex 3074 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
51 rankon 8106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( rank `  ( A  X.  B
) )  e.  On
5251onordi 4924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Ord  ( rank `  ( A  X.  B ) )
53 orduni 6508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Ord  ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  Ord  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Ord  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
55 ordelsuc 6534 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Ord  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )  ->  ( x  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  x  C_  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
5650, 54, 55mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  <->  suc  x  C_  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
5749, 56sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  x  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
58 limsuc 6563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( x  e. 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  x  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  ( x  e. 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  x  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6057, 59mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  x  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
6126, 60eqeltrd 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
62 limsuc 6563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6362adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  ( ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6461, 63mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
65 ordsucelsuc 6536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6654, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
6764, 66sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
68 onsucuni2 6548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( rank `  ( A  X.  B ) )  e.  On  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
6951, 68mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7069ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7167, 70eleqtrd 2541 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  (
rank `  ( A  X.  B ) ) )
7211, 51onsucssi 6555 . . . . . . . . 9  |-  ( suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  ( rank `  ( A  X.  B
) )  <->  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7371, 72sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7473ex 434 . . . . . . 7  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
7574a1d 25 . . . . . 6  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) ) )
7675rexlimdvv 2946 . . . . 5  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( E. x  e.  On  E. y  e.  On  ( ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
7725, 76syl5bir 218 . . . 4  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
7824, 77mtoi 178 . . 3  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  -.  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )
79 ianor 488 . . . . . 6  |-  ( -.  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  <->  ( -.  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  \/  -.  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )
80 un00 3815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  =  (/)  /\  B  =  (/) )  <->  ( A  u.  B )  =  (/) )
81 olc 384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) )
8281adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  =  (/)  /\  B  =  (/) )  ->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) )
8380, 82sylbir 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  u.  B )  =  (/)  ->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) )
84 xpeq0 5359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  <->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) )
8583, 84sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  u.  B )  =  (/)  ->  ( A  X.  B )  =  (/) )
8685con3i 135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( A  X.  B
)  =  (/)  ->  -.  ( A  u.  B
)  =  (/) )
8735, 86sylbir 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  -.  ( A  u.  B )  =  (/) )
8819, 20unex 6481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  u.  B )  e. 
_V
8988rankeq0 8172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  u.  B )  =  (/)  <->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  (/) )
9089notbii 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( A  u.  B
)  =  (/)  <->  -.  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  (/) )
9187, 90sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  -.  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  (/) )
929onordi 4924 . . . . . . . . . . 11  |-  Ord  ( rank `  ( A  u.  B ) )
93 ordzsl 6559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  ( ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  (/)  \/ 
E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  \/  Lim  ( rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
9492, 93mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  (/)  \/  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  x  \/  Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
95943ori 1279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  (/)  /\  -.  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x )  ->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
9691, 95sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  /\  -.  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x )  ->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
9796ex 434 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( -. 
E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  ->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
98 ordzsl 6559 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <-> 
( ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
9952, 98mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
100993ori 1279 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  /\  -.  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
101100ex 434 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( -. 
E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
10297, 101orim12d 834 . . . . . 6  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( ( -.  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  x  \/  -.  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B ) )  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) ) )
10379, 102syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( -.  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  -> 
( Lim  ( rank `  ( A  u.  B
) )  \/  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) ) )
104103imp 429 . . . 4  |-  ( ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  /\  -.  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B ) )  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
105 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
10634necon3abii 2708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  <->  -.  ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (/) )
10719, 20rankxplim 8190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( A  X.  B )  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
108106, 107sylan2br 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )  ->  ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (
rank `  ( A  u.  B ) ) )
109 limeq 4832 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B
) ) ) )
110108, 109syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
) ) )
111105, 110mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
112111expcom 435 . . . . . 6  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B
) ) ) )
113 idd 24 . . . . . 6  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B
) ) ) )
114112, 113jaod 380 . . . . 5  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  \/  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B
) ) ) )
115114adantr 465 . . . 4  |-  ( ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  /\  -.  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  \/  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B
) ) ) )
116104, 115mpd 15 . . 3  |-  ( ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  /\  -.  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B
) ) )
1178, 78, 116syl2anc 661 . 2  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B
) ) )
1181, 117impbii 188 1  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 964    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   E.wrex 2796   _Vcvv 3071    u. cun 3427    C_ wss 3429   (/)c0 3738   U.cuni 4192   Ord word 4819   Oncon0 4820   Lim wlim 4821   suc csuc 4822    X. cxp 4939   ` cfv 5519   rankcrnk 8074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-reg 7911  ax-inf2 7951
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-om 6580  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-r1 8075  df-rank 8076
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