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Theorem rankxplim3 8370
Description: The rank of a Cartesian product is a limit ordinal iff its union is. (Contributed by NM, 19-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxplim.1  |-  A  e. 
_V
rankxplim.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankxplim3  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )

Proof of Theorem rankxplim3
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limuni2 5491 . 2  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
2 0ellim 5492 . . . 4  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  (/)  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
3 n0i 3727 . . . 4  |-  ( (/)  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  -.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
4 unieq 4198 . . . . . 6  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  U. (/) )
5 uni0 4217 . . . . . 6  |-  U. (/)  =  (/)
64, 5syl6eq 2521 . . . . 5  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
76con3i 142 . . . 4  |-  ( -. 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
82, 3, 73syl 18 . . 3  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  -.  ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (/) )
9 rankon 8284 . . . . . . . . . 10  |-  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  On
109onsuci 6684 . . . . . . . . 9  |-  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e.  On
1110onsuci 6684 . . . . . . . 8  |-  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e.  On
1211elexi 3041 . . . . . . 7  |-  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
_V
1312sucid 5509 . . . . . 6  |-  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )
1411onsuci 6684 . . . . . . . 8  |-  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  On
15 ontri1 5464 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  On  /\ 
suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  On )  ->  ( suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  -.  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) ) ) )
1614, 11, 15mp2an 686 . . . . . . 7  |-  ( suc 
suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  -.  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
1716con2bii 339 . . . . . 6  |-  ( suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  -.  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
1813, 17mpbi 213 . . . . 5  |-  -.  suc  suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )
19 rankxplim.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
20 rankxplim.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
2119, 20rankxpu 8365 . . . . . 6  |-  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)
22 sstr 3426 . . . . . 6  |-  ( ( suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) )  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
) )  ->  suc  suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
2321, 22mpan2 685 . . . . 5  |-  ( suc 
suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  ( rank `  ( A  X.  B
) )  ->  suc  suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
2418, 23mto 181 . . . 4  |-  -.  suc  suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  ( rank `  ( A  X.  B
) )
25 reeanv 2944 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  On  E. y  e.  On  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  <->  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )
26 simprl 772 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  x
)
27 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x )  -> 
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x )
28 rankuni 8352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( rank `  U. U. ( A  X.  B ) )  =  U. ( rank `  U. ( A  X.  B ) )
29 rankuni 8352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( rank `  U. ( A  X.  B ) )  = 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
3029unieqi 4199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  U. ( rank `  U. ( A  X.  B ) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
3128, 30eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( rank `  U. U. ( A  X.  B ) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
32 df-ne 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  <->  -.  ( A  X.  B )  =  (/) )
3319, 20xpex 6614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A  X.  B )  e. 
_V
3433rankeq0 8350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  <->  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
3534notbii 303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  ( A  X.  B
)  =  (/)  <->  -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
3632, 35bitr2i 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  <->  ( A  X.  B )  =/=  (/) )
378, 36sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( A  X.  B )  =/=  (/) )
38 unixp 5376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  U. U. ( A  X.  B )  =  ( A  u.  B
) )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  U. U. ( A  X.  B )  =  ( A  u.  B
) )
4039fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( rank `  U. U. ( A  X.  B
) )  =  (
rank `  ( A  u.  B ) ) )
4131, 40syl5reqr 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
42 eqimss 3470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  = 
U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4443adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x )  -> 
( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  U.
U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4527, 44eqsstr3d 3453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x )  ->  suc  x  C_  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4645adantrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  x  C_  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
47 limuni 5490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4847adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4946, 48sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  x  C_  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
50 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
51 rankon 8284 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( rank `  ( A  X.  B
) )  e.  On
5251onordi 5534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Ord  ( rank `  ( A  X.  B ) )
53 orduni 6640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Ord  ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  Ord  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Ord  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
55 ordelsuc 6666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Ord  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )  ->  ( x  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  x  C_  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
5650, 54, 55mp2an 686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  <->  suc  x  C_  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
5749, 56sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  x  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
58 limsuc 6695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( x  e. 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  x  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
5958adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  ( x  e. 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  x  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6057, 59mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  x  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
6126, 60eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
62 limsuc 6695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6362adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  ( ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6461, 63mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
65 ordsucelsuc 6668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6654, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
6764, 66sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
68 onsucuni2 6680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( rank `  ( A  X.  B ) )  e.  On  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
6951, 68mpan 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7069ad2antll 743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7167, 70eleqtrd 2551 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  (
rank `  ( A  X.  B ) ) )
7211, 51onsucssi 6687 . . . . . . . . 9  |-  ( suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  ( rank `  ( A  X.  B
) )  <->  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7371, 72sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7473ex 441 . . . . . . 7  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
7574a1d 25 . . . . . 6  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) ) )
7675rexlimdvv 2877 . . . . 5  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( E. x  e.  On  E. y  e.  On  ( ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
7725, 76syl5bir 226 . . . 4  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
7824, 77mtoi 183 . . 3  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  -.  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )
79 ianor 496 . . . . . 6  |-  ( -.  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  <->  ( -.  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  \/  -.  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )
80 un00 3804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  =  (/)  /\  B  =  (/) )  <->  ( A  u.  B )  =  (/) )
81 olc 391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) )
8281adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  =  (/)  /\  B  =  (/) )  ->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) )
8380, 82sylbir 218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  u.  B )  =  (/)  ->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) )
84 xpeq0 5263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  <->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) )
8583, 84sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  u.  B )  =  (/)  ->  ( A  X.  B )  =  (/) )
8685con3i 142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( A  X.  B
)  =  (/)  ->  -.  ( A  u.  B
)  =  (/) )
8735, 86sylbir 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  -.  ( A  u.  B )  =  (/) )
8819, 20unex 6608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  u.  B )  e. 
_V
8988rankeq0 8350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  u.  B )  =  (/)  <->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  (/) )
9089notbii 303 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( A  u.  B
)  =  (/)  <->  -.  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  (/) )
9187, 90sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  -.  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  (/) )
929onordi 5534 . . . . . . . . . . 11  |-  Ord  ( rank `  ( A  u.  B ) )
93 ordzsl 6691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  ( ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  (/)  \/ 
E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  \/  Lim  ( rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
9492, 93mpbi 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  (/)  \/  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  x  \/  Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
95943ori 1354 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  (/)  /\  -.  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x )  ->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
9691, 95sylan 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  /\  -.  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x )  ->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
9796ex 441 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( -. 
E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  ->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
98 ordzsl 6691 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <-> 
( ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
9952, 98mpbi 213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
100993ori 1354 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  /\  -.  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
101100ex 441 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( -. 
E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
10297, 101orim12d 856 . . . . . 6  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( ( -.  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  x  \/  -.  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B ) )  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) ) )
10379, 102syl5bi 225 . . . . 5  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( -.  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  -> 
( Lim  ( rank `  ( A  u.  B
) )  \/  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) ) )
104103imp 436 . . . 4  |-  ( ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  /\  -.  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B ) )  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
105 simpl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
10634necon3abii 2689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  <->  -.  ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (/) )
10719, 20rankxplim 8368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( A  X.  B )  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
108106, 107sylan2br 484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )  ->  ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (
rank `  ( A  u.  B ) ) )
109 limeq 5442 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B
) ) ) )
110108, 109syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
) ) )
111105, 110mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
112111expcom 442 . . . . . 6  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B
) ) ) )
113 idd 24 . . . . . 6  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B
) ) ) )
114112, 113jaod 387 . . . . 5  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  \/  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B
) ) ) )
115114adantr 472 . . . 4  |-  ( ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  /\  -.  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  \/  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B
) ) ) )
116104, 115mpd 15 . . 3  |-  ( ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  /\  -.  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B
) ) )
1178, 78, 116syl2anc 673 . 2  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B
) ) )
1181, 117impbii 192 1  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    \/ w3o 1006    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    u. cun 3388    C_ wss 3390   (/)c0 3722   U.cuni 4190    X. cxp 4837   Ord word 5429   Oncon0 5430   Lim wlim 5431   suc csuc 5432   ` cfv 5589   rankcrnk 8252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-reg 8125  ax-inf2 8164
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-r1 8253  df-rank 8254
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