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Theorem rankxplim3 8316
Description: The rank of a Cartesian product is a limit ordinal iff its union is. (Contributed by NM, 19-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxplim.1  |-  A  e. 
_V
rankxplim.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankxplim3  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )

Proof of Theorem rankxplim3
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limuni2 4948 . 2  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
2 0ellim 4949 . . . 4  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  (/)  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
3 n0i 3798 . . . 4  |-  ( (/)  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  -.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
4 unieq 4259 . . . . . 6  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  U. (/) )
5 uni0 4278 . . . . . 6  |-  U. (/)  =  (/)
64, 5syl6eq 2514 . . . . 5  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
76con3i 135 . . . 4  |-  ( -. 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
82, 3, 73syl 20 . . 3  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  -.  ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (/) )
9 rankon 8230 . . . . . . . . . 10  |-  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  On
109onsuci 6672 . . . . . . . . 9  |-  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e.  On
1110onsuci 6672 . . . . . . . 8  |-  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e.  On
1211elexi 3119 . . . . . . 7  |-  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
_V
1312sucid 4966 . . . . . 6  |-  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )
1411onsuci 6672 . . . . . . . 8  |-  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  On
15 ontri1 4921 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  On  /\ 
suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  On )  ->  ( suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  -.  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) ) ) )
1614, 11, 15mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( suc 
suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  -.  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
1716con2bii 332 . . . . . 6  |-  ( suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  -.  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
1813, 17mpbi 208 . . . . 5  |-  -.  suc  suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )
19 rankxplim.1 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
20 rankxplim.2 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
2119, 20rankxpu 8311 . . . . . 6  |-  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)
22 sstr 3507 . . . . . 6  |-  ( ( suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) )  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
) )  ->  suc  suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
2321, 22mpan2 671 . . . . 5  |-  ( suc 
suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  ( rank `  ( A  X.  B
) )  ->  suc  suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
2418, 23mto 176 . . . 4  |-  -.  suc  suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  ( rank `  ( A  X.  B
) )
25 reeanv 3025 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  On  E. y  e.  On  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  <->  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )
26 simprl 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  x
)
27 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x )  -> 
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x )
28 rankuni 8298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( rank `  U. U. ( A  X.  B ) )  =  U. ( rank `  U. ( A  X.  B ) )
29 rankuni 8298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( rank `  U. ( A  X.  B ) )  = 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
3029unieqi 4260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  U. ( rank `  U. ( A  X.  B ) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
3128, 30eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( rank `  U. U. ( A  X.  B ) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
32 df-ne 2654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  <->  -.  ( A  X.  B )  =  (/) )
3319, 20xpex 6603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A  X.  B )  e. 
_V
3433rankeq0 8296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  <->  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
3534notbii 296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  ( A  X.  B
)  =  (/)  <->  -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )
3632, 35bitr2i 250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  <->  ( A  X.  B )  =/=  (/) )
378, 36sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( A  X.  B )  =/=  (/) )
38 unixp 5546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  U. U. ( A  X.  B )  =  ( A  u.  B
) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  U. U. ( A  X.  B )  =  ( A  u.  B
) )
4039fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( rank `  U. U. ( A  X.  B
) )  =  (
rank `  ( A  u.  B ) ) )
4131, 40syl5reqr 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
42 eqimss 3551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  = 
U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x )  -> 
( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  U.
U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4527, 44eqsstr3d 3534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x )  ->  suc  x  C_  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4645adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  x  C_  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
47 limuni 4947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  U. U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
4946, 48sseqtr4d 3536 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  x  C_  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
50 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
51 rankon 8230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( rank `  ( A  X.  B
) )  e.  On
5251onordi 4991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Ord  ( rank `  ( A  X.  B ) )
53 orduni 6628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Ord  ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  Ord  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Ord  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )
55 ordelsuc 6654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Ord  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )  ->  ( x  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  x  C_  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
5650, 54, 55mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  <->  suc  x  C_  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
5749, 56sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  x  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
58 limsuc 6683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( x  e. 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  x  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  ( x  e. 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  x  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6057, 59mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  x  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
6126, 60eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
62 limsuc 6683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6362adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  ( ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6461, 63mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
65 ordsucelsuc 6656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Ord  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
6654, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e. 
suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
6764, 66sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
68 onsucuni2 6668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( rank `  ( A  X.  B ) )  e.  On  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
6951, 68mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7069ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7167, 70eleqtrd 2547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  (
rank `  ( A  X.  B ) ) )
7211, 51onsucssi 6675 . . . . . . . . 9  |-  ( suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  e.  ( rank `  ( A  X.  B
) )  <->  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7371, 72sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B
) )  /\  (
( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
7473ex 434 . . . . . . 7  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
7574a1d 25 . . . . . 6  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  (
( ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) ) )
7675rexlimdvv 2955 . . . . 5  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( E. x  e.  On  E. y  e.  On  ( ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  suc  x  /\  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
7725, 76syl5bir 218 . . . 4  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  ( ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
7824, 77mtoi 178 . . 3  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  -.  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )
79 ianor 488 . . . . . 6  |-  ( -.  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  <->  ( -.  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  \/  -.  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )
80 un00 3865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  =  (/)  /\  B  =  (/) )  <->  ( A  u.  B )  =  (/) )
81 olc 384 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  (/)  ->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) )
8281adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  =  (/)  /\  B  =  (/) )  ->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) )
8380, 82sylbir 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  u.  B )  =  (/)  ->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) )
84 xpeq0 5434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  X.  B )  =  (/)  <->  ( A  =  (/)  \/  B  =  (/) ) )
8583, 84sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  u.  B )  =  (/)  ->  ( A  X.  B )  =  (/) )
8685con3i 135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( A  X.  B
)  =  (/)  ->  -.  ( A  u.  B
)  =  (/) )
8735, 86sylbir 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  -.  ( A  u.  B )  =  (/) )
8819, 20unex 6597 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  u.  B )  e. 
_V
8988rankeq0 8296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  u.  B )  =  (/)  <->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  (/) )
9089notbii 296 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( A  u.  B
)  =  (/)  <->  -.  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  (/) )
9187, 90sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  -.  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  (/) )
929onordi 4991 . . . . . . . . . . 11  |-  Ord  ( rank `  ( A  u.  B ) )
93 ordzsl 6679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  ( ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  (/)  \/ 
E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  \/  Lim  ( rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
9492, 93mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
rank `  ( A  u.  B ) )  =  (/)  \/  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  x  \/  Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
95943ori 1288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  (/)  /\  -.  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x )  ->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
9691, 95sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  /\  -.  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x )  ->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
9796ex 434 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( -. 
E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  ->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
98 ordzsl 6679 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <-> 
( ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
9952, 98mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  \/  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
100993ori 1288 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  /\  -.  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
101100ex 434 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( -. 
E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
10297, 101orim12d 838 . . . . . 6  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( ( -.  E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  x  \/  -.  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B ) )  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) ) )
10379, 102syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( -.  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y )  -> 
( Lim  ( rank `  ( A  u.  B
) )  \/  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) ) )
104103imp 429 . . . 4  |-  ( ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  /\  -.  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B ) )  \/ 
Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) ) )
105 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
10634necon3abii 2717 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  <->  -.  ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (/) )
10719, 20rankxplim 8314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( A  X.  B )  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
108106, 107sylan2br 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )  ->  ( rank `  ( A  X.  B
) )  =  (
rank `  ( A  u.  B ) ) )
109 limeq 4899 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B
) ) ) )
110108, 109syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
) ) )
111105, 110mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
112111expcom 435 . . . . . 6  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B
) ) ) )
113 idd 24 . . . . . 6  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B
) ) ) )
114112, 113jaod 380 . . . . 5  |-  ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  ->  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  \/  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B
) ) ) )
115114adantr 465 . . . 4  |-  ( ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  /\  -.  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  \/  Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B
) ) ) )
116104, 115mpd 15 . . 3  |-  ( ( -.  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  (/)  /\  -.  ( E. x  e.  On  ( rank `  ( A  u.  B ) )  =  suc  x  /\  E. y  e.  On  ( rank `  ( A  X.  B ) )  =  suc  y ) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B
) ) )
1178, 78, 116syl2anc 661 . 2  |-  ( Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) )  ->  Lim  ( rank `  ( A  X.  B
) ) )
1181, 117impbii 188 1  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  X.  B ) )  <->  Lim  U. ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 972    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    u. cun 3469    C_ wss 3471   (/)c0 3793   U.cuni 4251   Ord word 4886   Oncon0 4887   Lim wlim 4888   suc csuc 4889    X. cxp 5006   ` cfv 5594   rankcrnk 8198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-reg 8036  ax-inf2 8075
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-r1 8199  df-rank 8200
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