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Theorem rankxplim 8293
Description: The rank of a Cartesian product when the rank of the union of its arguments is a limit ordinal. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. See rankxpsuc 8296 for the successor case. (Contributed by NM, 19-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxplim.1  |-  A  e. 
_V
rankxplim.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankxplim  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( A  X.  B )  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
) )

Proof of Theorem rankxplim
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwuni 4678 . . . . . . . . . 10  |-  <. x ,  y >.  C_  ~P U.
<. x ,  y >.
2 vex 3116 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
3 vex 3116 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
42, 3uniop 4750 . . . . . . . . . . 11  |-  U. <. x ,  y >.  =  {
x ,  y }
54pweqi 4014 . . . . . . . . . 10  |-  ~P U. <. x ,  y >.  =  ~P { x ,  y }
61, 5sseqtri 3536 . . . . . . . . 9  |-  <. x ,  y >.  C_  ~P { x ,  y }
7 pwuni 4678 . . . . . . . . . . 11  |-  { x ,  y }  C_  ~P U. { x ,  y }
82, 3unipr 4258 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. {
x ,  y }  =  ( x  u.  y )
98pweqi 4014 . . . . . . . . . . 11  |-  ~P U. { x ,  y }  =  ~P (
x  u.  y )
107, 9sseqtri 3536 . . . . . . . . . 10  |-  { x ,  y }  C_  ~P ( x  u.  y
)
11 sspwb 4696 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x ,  y } 
C_  ~P ( x  u.  y )  <->  ~P { x ,  y }  C_  ~P ~P ( x  u.  y ) )
1210, 11mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  ~P {
x ,  y } 
C_  ~P ~P ( x  u.  y )
136, 12sstri 3513 . . . . . . . 8  |-  <. x ,  y >.  C_  ~P ~P ( x  u.  y
)
142, 3unex 6580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  u.  y )  e. 
_V
1514pwex 4630 . . . . . . . . . 10  |-  ~P (
x  u.  y )  e.  _V
1615pwex 4630 . . . . . . . . 9  |-  ~P ~P ( x  u.  y
)  e.  _V
1716rankss 8263 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  C_ 
~P ~P ( x  u.  y )  -> 
( rank `  <. x ,  y >. )  C_  ( rank `  ~P ~P (
x  u.  y ) ) )
1813, 17ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( rank `  <. x ,  y
>. )  C_  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y ) )
19 rankxplim.1 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e. 
_V
2019rankel 8253 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( rank `  x )  e.  ( rank `  A
) )
21 rankxplim.2 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e. 
_V
2221rankel 8253 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  B  ->  ( rank `  y )  e.  ( rank `  B
) )
232, 3, 19, 21rankelun 8286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( rank `  x
)  e.  ( rank `  A )  /\  ( rank `  y )  e.  ( rank `  B
) )  ->  ( rank `  ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
2420, 22, 23syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( rank `  (
x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
2524adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  -> 
( rank `  ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
26 ranklim 8258 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  ( ( rank `  ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  ( rank `  ~P ( x  u.  y
) )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
27 ranklim 8258 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  ( ( rank `  ~P ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y
) )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
2826, 27bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  ( ( rank `  ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y
) )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
2928adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( rank `  (
x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B
) )  <->  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
) ) )
3025, 29mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  -> 
( rank `  ~P ~P (
x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
31 rankon 8209 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  <. x ,  y
>. )  e.  On
32 rankon 8209 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  On
33 ontr2 4925 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rank `  <. x ,  y >. )  e.  On  /\  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  On )  ->  ( ( (
rank `  <. x ,  y >. )  C_  ( rank `  ~P ~P (
x  u.  y ) )  /\  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
) )  ->  ( rank `  <. x ,  y
>. )  e.  ( rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
3431, 32, 33mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rank `  <. x ,  y >. )  C_  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y
) )  /\  ( rank `  ~P ~P (
x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )  -> 
( rank `  <. x ,  y >. )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) ) )
3518, 30, 34sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  -> 
( rank `  <. x ,  y >. )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) ) )
3631, 32onsucssi 6654 . . . . . 6  |-  ( (
rank `  <. x ,  y >. )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) )  <->  suc  ( rank `  <. x ,  y
>. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
3735, 36sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  ->  suc  ( rank `  <. x ,  y >. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
3837ralrimivva 2885 . . . 4  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  suc  ( rank `  <. x ,  y
>. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
39 fveq2 5864 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( rank `  z
)  =  ( rank `  <. x ,  y
>. ) )
40 suceq 4943 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank `  z )  =  ( rank `  <. x ,  y >. )  ->  suc  ( rank `  z
)  =  suc  ( rank `  <. x ,  y
>. ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  suc  ( rank `  z )  =  suc  ( rank `  <. x ,  y >. ) )
4241sseq1d 3531 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( suc  ( rank `  z )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  suc  ( rank `  <. x ,  y
>. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) ) )
4342ralxp 5142 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( A  X.  B ) suc  ( rank `  z )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  suc  ( rank `  <. x ,  y
>. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
4419, 21xpex 6711 . . . . . 6  |-  ( A  X.  B )  e. 
_V
4544rankbnd 8282 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( A  X.  B ) suc  ( rank `  z )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
4643, 45bitr3i 251 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  suc  ( rank `  <. x ,  y >. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
4738, 46sylib 196 . . 3  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
4847adantr 465 . 2  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( A  X.  B )  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
4919, 21rankxpl 8289 . . 3  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( rank `  ( A  u.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
5049adantl 466 . 2  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( A  X.  B )  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
5148, 50eqssd 3521 1  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( A  X.  B )  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113    u. cun 3474    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {cpr 4029   <.cop 4033   U.cuni 4245   Oncon0 4878   Lim wlim 4879   suc csuc 4880    X. cxp 4997   ` cfv 5586   rankcrnk 8177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-reg 8014  ax-inf2 8054
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-r1 8178  df-rank 8179
This theorem is referenced by:  rankxplim3  8295
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