Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankxplim Structured version   Unicode version

Theorem rankxplim 8247
 Description: The rank of a Cartesian product when the rank of the union of its arguments is a limit ordinal. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. See rankxpsuc 8250 for the successor case. (Contributed by NM, 19-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxplim.1
rankxplim.2
Assertion
Ref Expression
rankxplim

Proof of Theorem rankxplim
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwuni 4619 . . . . . . . . . 10
2 vex 3059 . . . . . . . . . . . 12
3 vex 3059 . . . . . . . . . . . 12
42, 3uniop 4690 . . . . . . . . . . 11
54pweqi 3956 . . . . . . . . . 10
61, 5sseqtri 3471 . . . . . . . . 9
7 pwuni 4619 . . . . . . . . . . 11
82, 3unipr 4201 . . . . . . . . . . . 12
98pweqi 3956 . . . . . . . . . . 11
107, 9sseqtri 3471 . . . . . . . . . 10
11 sspwb 4637 . . . . . . . . . 10
1210, 11mpbi 208 . . . . . . . . 9
136, 12sstri 3448 . . . . . . . 8
142, 3unex 6534 . . . . . . . . . . 11
1514pwex 4574 . . . . . . . . . 10
1615pwex 4574 . . . . . . . . 9
1716rankss 8217 . . . . . . . 8
1813, 17ax-mp 5 . . . . . . 7
19 rankxplim.1 . . . . . . . . . . 11
2019rankel 8207 . . . . . . . . . 10
21 rankxplim.2 . . . . . . . . . . 11
2221rankel 8207 . . . . . . . . . 10
232, 3, 19, 21rankelun 8240 . . . . . . . . . 10
2420, 22, 23syl2an 475 . . . . . . . . 9
2524adantl 464 . . . . . . . 8
26 ranklim 8212 . . . . . . . . . 10
27 ranklim 8212 . . . . . . . . . 10
2826, 27bitrd 253 . . . . . . . . 9
2928adantr 463 . . . . . . . 8
3025, 29mpbid 210 . . . . . . 7
31 rankon 8163 . . . . . . . 8
32 rankon 8163 . . . . . . . 8
33 ontr2 4866 . . . . . . . 8
3431, 32, 33mp2an 670 . . . . . . 7
3518, 30, 34sylancr 661 . . . . . 6
3631, 32onsucssi 6612 . . . . . 6
3735, 36sylib 196 . . . . 5
3837ralrimivva 2822 . . . 4
39 fveq2 5803 . . . . . . . 8
40 suceq 4884 . . . . . . . 8
4139, 40syl 17 . . . . . . 7
4241sseq1d 3466 . . . . . 6
4342ralxp 5084 . . . . 5
4419, 21xpex 6540 . . . . . 6
4544rankbnd 8236 . . . . 5
4643, 45bitr3i 251 . . . 4
4738, 46sylib 196 . . 3
4847adantr 463 . 2
4919, 21rankxpl 8243 . . 3
5049adantl 464 . 2
5148, 50eqssd 3456 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1403   wcel 1840   wne 2596  wral 2751  cvv 3056   cun 3409   wss 3411  c0 3735  cpw 3952  cpr 3971  cop 3975  cuni 4188  con0 4819   wlim 4820   csuc 4821   cxp 4938  cfv 5523  crnk 8131 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-reg 7970  ax-inf2 8009 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-om 6637  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-r1 8132  df-rank 8133 This theorem is referenced by:  rankxplim3  8249
 Copyright terms: Public domain W3C validator