Theorem rankxpl 5821

Description: A lower bound on the rank of a cross product.

Hypotheses

Ref	Expression
rankxpl.1	|- A e. _V
rankxpl.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
rankxpl	|- ((A X. B) =/= (/) -> (rank` (A u. B)) C_ (rank` (A X. B)))

Proof of Theorem rankxpl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unixp 4422	. . 3 |- ((A X. B) =/= (/) -> U.U.(A X. B) = (A u. B))
2	1	fveq2d 4685	. 2 |- ((A X. B) =/= (/) -> (rank` U.U.(A X. B)) = (rank` (A u. B)))
3		rankxpl.1	. . . . . . 7 |- A e. _V
4		rankxpl.2	. . . . . . 7 |- B e. _V
5	3, 4	xpex 4096	. . . . . 6 |- (A X. B) e. _V
6	5	uniex 3794	. . . . 5 |- U.(A X. B) e. _V
7	6	rankuniss 5812	. . . 4 |- (rank` U.U.(A X. B)) C_ (rank` U.(A X. B))
8	5	rankuniss 5812	. . . 4 |- (rank` U.(A X. B)) C_ (rank` (A X. B))
9	7, 8	sstri 2626	. . 3 |- (rank` U.U.(A X. B)) C_ (rank` (A X. B))
10	9	a1i 8	. 2 |- ((A X. B) =/= (/) -> (rank` U.U.(A X. B)) C_ (rank` (A X. B)))
11	2, 10	eqsstr3d 2652	1 |- ((A X. B) =/= (/) -> (rank` (A u. B)) C_ (rank` (A X. B)))

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 1300   =/= wne 2017  _Vcvv 2292   u. cun 2591   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U.cuni 3177   X. cxp 3984  ` cfv 3998  rankcrnk 5749

This theorem is referenced by:  rankxplim 5823

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-rdg 5140  df-r1 5750  df-rank 5751

Copyright terms: Public domain