Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankwflemb Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rankwflemb 8282
 Description: Two ways of saying a set is well-founded. (Contributed by NM, 11-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankwflemb
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem rankwflemb
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluni 4193 . . 3
2 r1funlim 8255 . . . . . . . 8
32simpli 465 . . . . . . 7
4 fvelima 5931 . . . . . . 7
53, 4mpan 684 . . . . . 6
6 eleq2 2538 . . . . . . . . 9
76biimprcd 233 . . . . . . . 8
8 r1tr 8265 . . . . . . . . . . . 12
9 trss 4499 . . . . . . . . . . . 12
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
11 elpwg 3950 . . . . . . . . . . 11
1210, 11mpbird 240 . . . . . . . . . 10
13 elfvdm 5905 . . . . . . . . . . 11
14 r1sucg 8258 . . . . . . . . . . 11
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10
1612, 15eleqtrrd 2552 . . . . . . . . 9
1716a1i 11 . . . . . . . 8
187, 17syl9 72 . . . . . . 7
1918reximdvai 2856 . . . . . 6
205, 19syl5 32 . . . . 5
2120imp 436 . . . 4
2221exlimiv 1784 . . 3
231, 22sylbi 200 . 2
24 elfvdm 5905 . . . . . 6
25 fvelrn 6030 . . . . . 6
263, 24, 25sylancr 676 . . . . 5
27 df-ima 4852 . . . . . 6
28 funrel 5606 . . . . . . . . 9
293, 28ax-mp 5 . . . . . . . 8
302simpri 469 . . . . . . . . 9
31 limord 5489 . . . . . . . . 9
32 ordsson 6635 . . . . . . . . 9
3330, 31, 32mp2b 10 . . . . . . . 8
34 relssres 5148 . . . . . . . 8
3529, 33, 34mp2an 686 . . . . . . 7
3635rneqi 5067 . . . . . 6
3727, 36eqtri 2493 . . . . 5
3826, 37syl6eleqr 2560 . . . 4
39 elunii 4195 . . . 4
4038, 39mpdan 681 . . 3
4140rexlimivw 2869 . 2
4223, 41impbii 192 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904  wrex 2757   wss 3390  cpw 3942  cuni 4190   wtr 4490   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  cima 4842   wrel 4844   word 5429  con0 5430   wlim 5431   csuc 5432   wfun 5583  cfv 5589  cr1 8251 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-r1 8253 This theorem is referenced by:  rankf  8283  r1elwf  8285  rankvalb  8286  rankidb  8289  rankwflem  8304  tcrank  8373  dfac12r  8594
 Copyright terms: Public domain W3C validator