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Theorem rankval3b 8032
Description: The value of the rank function expressed recursively: the rank of a set is the smallest ordinal number containing the ranks of all members of the set. Proposition 9.17 of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankval3b  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x } )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem rankval3b
StepHypRef Expression
1 rankon 8001 . . . . . . . . . 10  |-  ( rank `  A )  e.  On
2 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  ->  x  e.  On )
3 ontri1 4752 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( rank `  A
)  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( rank `  A
)  C_  x  <->  -.  x  e.  ( rank `  A
) ) )
41, 2, 3sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  -> 
( ( rank `  A
)  C_  x  <->  -.  x  e.  ( rank `  A
) ) )
54con2bid 329 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  -> 
( x  e.  (
rank `  A )  <->  -.  ( rank `  A
)  C_  x )
)
6 r1elssi 8011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  C_  U. ( R1
" On ) )
76adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  ( rank `  A ) )  ->  A  C_  U. ( R1
" On ) )
87sselda 3355 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  U. ( R1 " On ) )
9 rankdmr1 8007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( rank `  A )  e.  dom  R1
10 r1funlim 7972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
1110simpri 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Lim  dom  R1
12 limord 4777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  Ord  dom  R1 )
13 ordtr1 4761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord 
dom  R1  ->  ( ( x  e.  ( rank `  A )  /\  ( rank `  A )  e. 
dom  R1 )  ->  x  e.  dom  R1 ) )
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( rank `  A )  /\  ( rank `  A )  e. 
dom  R1 )  ->  x  e.  dom  R1 )
159, 14mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( rank `  A
)  ->  x  e.  dom  R1 )
1615ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  dom  R1 )
17 rankr1ag 8008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  ( y  e.  ( R1 `  x
)  <->  ( rank `  y
)  e.  x ) )
188, 16, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  ( R1
`  x )  <->  ( rank `  y )  e.  x
) )
1918ralbidva 2730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  ( rank `  A ) )  -> 
( A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  x )  <->  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )
2019biimpar 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x
)  ->  A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  x ) )
2120an32s 802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  x ) )
22 dfss3 3345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  ( R1 `  x )  <->  A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  x ) )
2321, 22sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  A  C_  ( R1 `  x ) )
24 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  A  e.  U. ( R1 " On ) )
2515adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  x  e.  dom  R1 )
26 rankr1bg 8009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  ( A  C_  ( R1 `  x )  <-> 
( rank `  A )  C_  x ) )
2724, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  ( A  C_  ( R1 `  x
)  <->  ( rank `  A
)  C_  x )
)
2823, 27mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  ( rank `  A )  C_  x
)
2928ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  (
rank `  y )  e.  x )  ->  (
x  e.  ( rank `  A )  ->  ( rank `  A )  C_  x ) )
3029adantrl 715 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  -> 
( x  e.  (
rank `  A )  ->  ( rank `  A
)  C_  x )
)
315, 30sylbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  -> 
( -.  ( rank `  A )  C_  x  ->  ( rank `  A
)  C_  x )
)
3231pm2.18d 111 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  -> 
( rank `  A )  C_  x )
3332ex 434 . . . . 5  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x
)  ->  ( rank `  A )  C_  x
) )
3433alrimiv 1685 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A. x ( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x )  ->  ( rank `  A )  C_  x ) )
35 ssintab 4144 . . . 4  |-  ( (
rank `  A )  C_ 
|^| { x  |  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  (
rank `  y )  e.  x ) }  <->  A. x
( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x
)  ->  ( rank `  A )  C_  x
) )
3634, 35sylibr 212 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  C_ 
|^| { x  |  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  (
rank `  y )  e.  x ) } )
37 df-rab 2723 . . . 4  |-  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x }  =  { x  |  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x
) }
3837inteqi 4131 . . 3  |-  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x }  =  |^| { x  |  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x
) }
3936, 38syl6sseqr 3402 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  C_ 
|^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x } )
40 rankelb 8030 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( y  e.  A  ->  ( rank `  y
)  e.  ( rank `  A ) ) )
4140ralrimiv 2797 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  ( rank `  A
) )
42 eleq2 2503 . . . . 5  |-  ( x  =  ( rank `  A
)  ->  ( ( rank `  y )  e.  x  <->  ( rank `  y
)  e.  ( rank `  A ) ) )
4342ralbidv 2734 . . . 4  |-  ( x  =  ( rank `  A
)  ->  ( A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x  <->  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  ( rank `  A
) ) )
4443onintss 4768 . . 3  |-  ( (
rank `  A )  e.  On  ->  ( A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  ( rank `  A
)  ->  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x }  C_  ( rank `  A
) ) )
451, 41, 44mpsyl 63 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x }  C_  ( rank `  A ) )
4639, 45eqssd 3372 1  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2428   A.wral 2714   {crab 2718    C_ wss 3327   U.cuni 4090   |^|cint 4127   Ord word 4717   Oncon0 4718   Lim wlim 4719   dom cdm 4839   "cima 4842   Fun wfun 5411   ` cfv 5417   R1cr1 7968   rankcrnk 7969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-om 6476  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-r1 7970  df-rank 7971
This theorem is referenced by:  ranksnb  8033  rankonidlem  8034  rankval3  8046  rankunb  8056  rankuni2b  8059  tcrank  8090
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