MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankval3b Structured version   Unicode version

Theorem rankval3b 8256
Description: The value of the rank function expressed recursively: the rank of a set is the smallest ordinal number containing the ranks of all members of the set. Proposition 9.17 of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankval3b  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x } )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem rankval3b
StepHypRef Expression
1 rankon 8225 . . . . . . . . . 10  |-  ( rank `  A )  e.  On
2 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  ->  x  e.  On )
3 ontri1 4918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( rank `  A
)  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( rank `  A
)  C_  x  <->  -.  x  e.  ( rank `  A
) ) )
41, 2, 3sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  -> 
( ( rank `  A
)  C_  x  <->  -.  x  e.  ( rank `  A
) ) )
54con2bid 329 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  -> 
( x  e.  (
rank `  A )  <->  -.  ( rank `  A
)  C_  x )
)
6 r1elssi 8235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  C_  U. ( R1
" On ) )
76adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  ( rank `  A ) )  ->  A  C_  U. ( R1
" On ) )
87sselda 3509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  U. ( R1 " On ) )
9 rankdmr1 8231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( rank `  A )  e.  dom  R1
10 r1funlim 8196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
1110simpri 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Lim  dom  R1
12 limord 4943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  Ord  dom  R1 )
13 ordtr1 4927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord 
dom  R1  ->  ( ( x  e.  ( rank `  A )  /\  ( rank `  A )  e. 
dom  R1 )  ->  x  e.  dom  R1 ) )
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( rank `  A )  /\  ( rank `  A )  e. 
dom  R1 )  ->  x  e.  dom  R1 )
159, 14mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( rank `  A
)  ->  x  e.  dom  R1 )
1615ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  dom  R1 )
17 rankr1ag 8232 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  ( y  e.  ( R1 `  x
)  <->  ( rank `  y
)  e.  x ) )
188, 16, 17syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  ( R1
`  x )  <->  ( rank `  y )  e.  x
) )
1918ralbidva 2903 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  ( rank `  A ) )  -> 
( A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  x )  <->  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )
2019biimpar 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x
)  ->  A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  x ) )
2120an32s 802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  x ) )
22 dfss3 3499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  ( R1 `  x )  <->  A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  x ) )
2321, 22sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  A  C_  ( R1 `  x ) )
24 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  A  e.  U. ( R1 " On ) )
2515adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  x  e.  dom  R1 )
26 rankr1bg 8233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  ( A  C_  ( R1 `  x )  <-> 
( rank `  A )  C_  x ) )
2724, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  ( A  C_  ( R1 `  x
)  <->  ( rank `  A
)  C_  x )
)
2823, 27mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  ( rank `  A )  C_  x
)
2928ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  (
rank `  y )  e.  x )  ->  (
x  e.  ( rank `  A )  ->  ( rank `  A )  C_  x ) )
3029adantrl 715 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  -> 
( x  e.  (
rank `  A )  ->  ( rank `  A
)  C_  x )
)
315, 30sylbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  -> 
( -.  ( rank `  A )  C_  x  ->  ( rank `  A
)  C_  x )
)
3231pm2.18d 111 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  -> 
( rank `  A )  C_  x )
3332ex 434 . . . . 5  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x
)  ->  ( rank `  A )  C_  x
) )
3433alrimiv 1695 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A. x ( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x )  ->  ( rank `  A )  C_  x ) )
35 ssintab 4305 . . . 4  |-  ( (
rank `  A )  C_ 
|^| { x  |  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  (
rank `  y )  e.  x ) }  <->  A. x
( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x
)  ->  ( rank `  A )  C_  x
) )
3634, 35sylibr 212 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  C_ 
|^| { x  |  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  (
rank `  y )  e.  x ) } )
37 df-rab 2826 . . . 4  |-  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x }  =  { x  |  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x
) }
3837inteqi 4292 . . 3  |-  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x }  =  |^| { x  |  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x
) }
3936, 38syl6sseqr 3556 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  C_ 
|^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x } )
40 rankelb 8254 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( y  e.  A  ->  ( rank `  y
)  e.  ( rank `  A ) ) )
4140ralrimiv 2879 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  ( rank `  A
) )
42 eleq2 2540 . . . . 5  |-  ( x  =  ( rank `  A
)  ->  ( ( rank `  y )  e.  x  <->  ( rank `  y
)  e.  ( rank `  A ) ) )
4342ralbidv 2906 . . . 4  |-  ( x  =  ( rank `  A
)  ->  ( A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x  <->  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  ( rank `  A
) ) )
4443onintss 4934 . . 3  |-  ( (
rank `  A )  e.  On  ->  ( A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  ( rank `  A
)  ->  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x }  C_  ( rank `  A
) ) )
451, 41, 44mpsyl 63 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x }  C_  ( rank `  A ) )
4639, 45eqssd 3526 1  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2817   {crab 2821    C_ wss 3481   U.cuni 4251   |^|cint 4288   Ord word 4883   Oncon0 4884   Lim wlim 4885   dom cdm 5005   "cima 5008   Fun wfun 5588   ` cfv 5594   R1cr1 8192   rankcrnk 8193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6696  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-r1 8194  df-rank 8195
This theorem is referenced by:  ranksnb  8257  rankonidlem  8258  rankval3  8270  rankunb  8280  rankuni2b  8283  tcrank  8314
  Copyright terms: Public domain W3C validator