MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankval3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rankval3 8336
Description: The value of the rank function expressed recursively: the rank of a set is the smallest ordinal number containing the ranks of all members of the set. Proposition 9.17 of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 11-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rankval3.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankval3  |-  ( rank `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x }
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem rankval3
StepHypRef Expression
1 rankval3.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
2 unir1 8309 . . 3  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
31, 2eleqtrri 2538 . 2  |-  A  e. 
U. ( R1 " On )
4 rankval3b 8322 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x } )
53, 4ax-mp 5 1  |-  ( rank `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748   {crab 2752   _Vcvv 3056   U.cuni 4211   |^|cint 4247   "cima 4855   Oncon0 5441   ` cfv 5600   R1cr1 8258   rankcrnk 8259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-reg 8132  ax-inf2 8171
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-om 6719  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-r1 8260  df-rank 8261
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator