MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankval2 Unicode version

Theorem rankval2 7700
Description: Value of an alternate definition of the rank function. Definition of [BellMachover] p. 478. (Contributed by NM, 8-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
rankval2  |-  ( A  e.  B  ->  ( rank `  A )  = 
|^| { x  e.  On  |  A  C_  ( R1
`  x ) } )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem rankval2
StepHypRef Expression
1 rankvalg 7699 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  ( rank `  A )  = 
|^| { x  e.  On  |  A  e.  ( R1 `  suc  x ) } )
2 r1suc 7652 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  ( R1 `  suc  x )  =  ~P ( R1
`  x ) )
32eleq2d 2471 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  ( A  e.  ( R1 ` 
suc  x )  <->  A  e.  ~P ( R1 `  x
) ) )
4 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( R1
`  x )  e. 
_V
54elpw2 4324 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~P ( R1
`  x )  <->  A  C_  ( R1 `  x ) )
63, 5syl6bb 253 . . . 4  |-  ( x  e.  On  ->  ( A  e.  ( R1 ` 
suc  x )  <->  A  C_  ( R1 `  x ) ) )
76rabbiia 2906 . . 3  |-  { x  e.  On  |  A  e.  ( R1 `  suc  x ) }  =  { x  e.  On  |  A  C_  ( R1
`  x ) }
87inteqi 4014 . 2  |-  |^| { x  e.  On  |  A  e.  ( R1 `  suc  x ) }  =  |^| { x  e.  On  |  A  C_  ( R1
`  x ) }
91, 8syl6eq 2452 1  |-  ( A  e.  B  ->  ( rank `  A )  = 
|^| { x  e.  On  |  A  C_  ( R1
`  x ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   {crab 2670    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   |^|cint 4010   Oncon0 4541   suc csuc 4543   ` cfv 5413   R1cr1 7644   rankcrnk 7645
This theorem is referenced by:  rankval4  7749
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-reg 7516  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-r1 7646  df-rank 7647
  Copyright terms: Public domain W3C validator