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Theorem rankuni2b 8323
Description: The value of the rank function expressed recursively: the rank of a set is the smallest ordinal number containing the ranks of all members of the set. Proposition 9.17 of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
rankuni2b  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  U. A )  =  U_ x  e.  A  ( rank `  x
) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem rankuni2b
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniwf 8289 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  <->  U. A  e. 
U. ( R1 " On ) )
2 rankval3b 8296 . . . 4  |-  ( U. A  e.  U. ( R1 " On )  -> 
( rank `  U. A )  =  |^| { z  e.  On  |  A. y  e.  U. A (
rank `  y )  e.  z } )
31, 2sylbi 198 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  U. A )  =  |^| { z  e.  On  |  A. y  e.  U. A (
rank `  y )  e.  z } )
4 iuneq1 4316 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  U_ x  e.  y  ( rank `  x )  =  U_ x  e.  A  ( rank `  x ) )
54eleq1d 2498 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( U_ x  e.  y 
( rank `  x )  e.  On  <->  U_ x  e.  A  ( rank `  x )  e.  On ) )
6 vex 3090 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
7 rankon 8265 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  x )  e.  On
87rgenw 2793 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  y  ( rank `  x )  e.  On
9 iunon 7065 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  _V  /\  A. x  e.  y  (
rank `  x )  e.  On )  ->  U_ x  e.  y  ( rank `  x )  e.  On )
106, 8, 9mp2an 676 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  y  ( rank `  x )  e.  On
115, 10vtoclg 3145 . . . . 5  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  U_ x  e.  A  ( rank `  x )  e.  On )
12 eluni2 4226 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U. A  <->  E. x  e.  A  y  e.  x )
13 nfv 1754 . . . . . . . 8  |-  F/ x  A  e.  U. ( R1 " On )
14 nfiu1 4332 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x U_ x  e.  A  ( rank `  x )
1514nfel2 2609 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( rank `  y )  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x )
16 r1elssi 8275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  C_  U. ( R1
" On ) )
1716sseld 3469 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  A  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) ) )
18 rankelb 8294 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( y  e.  x  ->  ( rank `  y
)  e.  ( rank `  x ) ) )
1917, 18syl6 34 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  A  ->  ( y  e.  x  ->  ( rank `  y
)  e.  ( rank `  x ) ) ) )
20 ssiun2 4345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  ( rank `  x )  C_  U_ x  e.  A  (
rank `  x )
)
2120sseld 3469 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  (
( rank `  y )  e.  ( rank `  x
)  ->  ( rank `  y )  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x ) ) )
2221a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  A  ->  ( ( rank `  y
)  e.  ( rank `  x )  ->  ( rank `  y )  e. 
U_ x  e.  A  ( rank `  x )
) ) )
2319, 22syldd 68 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  A  ->  ( y  e.  x  ->  ( rank `  y
)  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x ) ) ) )
2413, 15, 23rexlimd 2916 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( E. x  e.  A  y  e.  x  ->  ( rank `  y
)  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x ) ) )
2512, 24syl5bi 220 . . . . . 6  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( y  e.  U. A  ->  ( rank `  y
)  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x ) ) )
2625ralrimiv 2844 . . . . 5  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A. y  e.  U. A
( rank `  y )  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x )
)
27 eleq2 2502 . . . . . . 7  |-  ( z  =  U_ x  e.  A  ( rank `  x
)  ->  ( ( rank `  y )  e.  z  <->  ( rank `  y
)  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x ) ) )
2827ralbidv 2871 . . . . . 6  |-  ( z  =  U_ x  e.  A  ( rank `  x
)  ->  ( A. y  e.  U. A (
rank `  y )  e.  z  <->  A. y  e.  U. A ( rank `  y
)  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x ) ) )
2928elrab 3235 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  A  ( rank `  x )  e. 
{ z  e.  On  |  A. y  e.  U. A ( rank `  y
)  e.  z }  <-> 
( U_ x  e.  A  ( rank `  x )  e.  On  /\  A. y  e.  U. A ( rank `  y )  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x ) ) )
3011, 26, 29sylanbrc 668 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  U_ x  e.  A  ( rank `  x )  e.  { z  e.  On  |  A. y  e.  U. A ( rank `  y
)  e.  z } )
31 intss1 4273 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  A  ( rank `  x )  e. 
{ z  e.  On  |  A. y  e.  U. A ( rank `  y
)  e.  z }  ->  |^| { z  e.  On  |  A. y  e.  U. A ( rank `  y )  e.  z }  C_  U_ x  e.  A  ( rank `  x
) )
3230, 31syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  |^| { z  e.  On  |  A. y  e.  U. A ( rank `  y
)  e.  z } 
C_  U_ x  e.  A  ( rank `  x )
)
333, 32eqsstrd 3504 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  U. A ) 
C_  U_ x  e.  A  ( rank `  x )
)
341biimpi 197 . . . . 5  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  U. A  e.  U. ( R1 " On ) )
35 elssuni 4251 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  x  C_ 
U. A )
36 rankssb 8318 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  U. ( R1 " On )  -> 
( x  C_  U. A  ->  ( rank `  x
)  C_  ( rank ` 
U. A ) ) )
3734, 35, 36syl2im 39 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  A  ->  ( rank `  x
)  C_  ( rank ` 
U. A ) ) )
3837ralrimiv 2844 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A. x  e.  A  ( rank `  x )  C_  ( rank `  U. A ) )
39 iunss 4343 . . 3  |-  ( U_ x  e.  A  ( rank `  x )  C_  ( rank `  U. A )  <->  A. x  e.  A  ( rank `  x )  C_  ( rank `  U. A ) )
4038, 39sylibr 215 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  U_ x  e.  A  ( rank `  x )  C_  ( rank `  U. A ) )
4133, 40eqssd 3487 1  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  U. A )  =  U_ x  e.  A  ( rank `  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786   _Vcvv 3087    C_ wss 3442   U.cuni 4222   |^|cint 4258   U_ciun 4302   "cima 4857   Oncon0 5442   ` cfv 5601   R1cr1 8232   rankcrnk 8233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-r1 8234  df-rank 8235
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