Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankuni2b Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rankuni2b 8321
 Description: The value of the rank function expressed recursively: the rank of a set is the smallest ordinal number containing the ranks of all members of the set. Proposition 9.17 of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
rankuni2b
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem rankuni2b
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniwf 8287 . . . 4
2 rankval3b 8294 . . . 4
31, 2sylbi 199 . . 3
4 iuneq1 4291 . . . . . . 7
54eleq1d 2512 . . . . . 6
6 vex 3047 . . . . . . 7
7 rankon 8263 . . . . . . . 8
87rgenw 2748 . . . . . . 7
9 iunon 7054 . . . . . . 7
106, 8, 9mp2an 677 . . . . . 6
115, 10vtoclg 3106 . . . . 5
12 eluni2 4201 . . . . . . 7
13 nfv 1760 . . . . . . . 8
14 nfiu1 4307 . . . . . . . . 9
1514nfel2 2607 . . . . . . . 8
16 r1elssi 8273 . . . . . . . . . . 11
1716sseld 3430 . . . . . . . . . 10
18 rankelb 8292 . . . . . . . . . 10
1917, 18syl6 34 . . . . . . . . 9
20 ssiun2 4320 . . . . . . . . . . 11
2120sseld 3430 . . . . . . . . . 10
2221a1i 11 . . . . . . . . 9
2319, 22syldd 68 . . . . . . . 8
2413, 15, 23rexlimd 2870 . . . . . . 7
2512, 24syl5bi 221 . . . . . 6
2625ralrimiv 2799 . . . . 5
27 eleq2 2517 . . . . . . 7
2827ralbidv 2826 . . . . . 6
2928elrab 3195 . . . . 5
3011, 26, 29sylanbrc 669 . . . 4
31 intss1 4248 . . . 4
3230, 31syl 17 . . 3
333, 32eqsstrd 3465 . 2
341biimpi 198 . . . . 5
35 elssuni 4226 . . . . 5
36 rankssb 8316 . . . . 5
3734, 35, 36syl2im 39 . . . 4
3837ralrimiv 2799 . . 3
39 iunss 4318 . . 3
4038, 39sylibr 216 . 2
4133, 40eqssd 3448 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1443   wcel 1886  wral 2736  wrex 2737  crab 2740  cvv 3044   wss 3403  cuni 4197  cint 4233  ciun 4277  cima 4836  con0 5422  cfv 5581  cr1 8230  crnk 8231 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-om 6690  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-r1 8232  df-rank 8233 This theorem is referenced by:  rankuni2  8323  rankcf  9199
 Copyright terms: Public domain W3C validator