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Theorem rankuni2b 8072
Description: The value of the rank function expressed recursively: the rank of a set is the smallest ordinal number containing the ranks of all members of the set. Proposition 9.17 of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
rankuni2b  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  U. A )  =  U_ x  e.  A  ( rank `  x
) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem rankuni2b
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniwf 8038 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  <->  U. A  e. 
U. ( R1 " On ) )
2 rankval3b 8045 . . . 4  |-  ( U. A  e.  U. ( R1 " On )  -> 
( rank `  U. A )  =  |^| { z  e.  On  |  A. y  e.  U. A (
rank `  y )  e.  z } )
31, 2sylbi 195 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  U. A )  =  |^| { z  e.  On  |  A. y  e.  U. A (
rank `  y )  e.  z } )
4 iuneq1 4196 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  U_ x  e.  y  ( rank `  x )  =  U_ x  e.  A  ( rank `  x ) )
54eleq1d 2509 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( U_ x  e.  y 
( rank `  x )  e.  On  <->  U_ x  e.  A  ( rank `  x )  e.  On ) )
6 vex 2987 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
7 rankon 8014 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  x )  e.  On
87rgenw 2795 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  y  ( rank `  x )  e.  On
9 iunon 6811 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  _V  /\  A. x  e.  y  (
rank `  x )  e.  On )  ->  U_ x  e.  y  ( rank `  x )  e.  On )
106, 8, 9mp2an 672 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  y  ( rank `  x )  e.  On
115, 10vtoclg 3042 . . . . 5  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  U_ x  e.  A  ( rank `  x )  e.  On )
12 eluni2 4107 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U. A  <->  E. x  e.  A  y  e.  x )
13 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ x  A  e.  U. ( R1 " On )
14 nfiu1 4212 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x U_ x  e.  A  ( rank `  x )
1514nfel2 2606 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( rank `  y )  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x )
16 r1elssi 8024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  C_  U. ( R1
" On ) )
1716sseld 3367 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  A  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) ) )
18 rankelb 8043 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( y  e.  x  ->  ( rank `  y
)  e.  ( rank `  x ) ) )
1917, 18syl6 33 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  A  ->  ( y  e.  x  ->  ( rank `  y
)  e.  ( rank `  x ) ) ) )
20 ssiun2 4225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  ( rank `  x )  C_  U_ x  e.  A  (
rank `  x )
)
2120sseld 3367 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  (
( rank `  y )  e.  ( rank `  x
)  ->  ( rank `  y )  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x ) ) )
2221a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  A  ->  ( ( rank `  y
)  e.  ( rank `  x )  ->  ( rank `  y )  e. 
U_ x  e.  A  ( rank `  x )
) ) )
2319, 22syldd 66 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  A  ->  ( y  e.  x  ->  ( rank `  y
)  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x ) ) ) )
2413, 15, 23rexlimd 2850 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( E. x  e.  A  y  e.  x  ->  ( rank `  y
)  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x ) ) )
2512, 24syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( y  e.  U. A  ->  ( rank `  y
)  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x ) ) )
2625ralrimiv 2810 . . . . 5  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A. y  e.  U. A
( rank `  y )  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x )
)
27 eleq2 2504 . . . . . . 7  |-  ( z  =  U_ x  e.  A  ( rank `  x
)  ->  ( ( rank `  y )  e.  z  <->  ( rank `  y
)  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x ) ) )
2827ralbidv 2747 . . . . . 6  |-  ( z  =  U_ x  e.  A  ( rank `  x
)  ->  ( A. y  e.  U. A (
rank `  y )  e.  z  <->  A. y  e.  U. A ( rank `  y
)  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x ) ) )
2928elrab 3129 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  A  ( rank `  x )  e. 
{ z  e.  On  |  A. y  e.  U. A ( rank `  y
)  e.  z }  <-> 
( U_ x  e.  A  ( rank `  x )  e.  On  /\  A. y  e.  U. A ( rank `  y )  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x ) ) )
3011, 26, 29sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  U_ x  e.  A  ( rank `  x )  e.  { z  e.  On  |  A. y  e.  U. A ( rank `  y
)  e.  z } )
31 intss1 4155 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  A  ( rank `  x )  e. 
{ z  e.  On  |  A. y  e.  U. A ( rank `  y
)  e.  z }  ->  |^| { z  e.  On  |  A. y  e.  U. A ( rank `  y )  e.  z }  C_  U_ x  e.  A  ( rank `  x
) )
3230, 31syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  |^| { z  e.  On  |  A. y  e.  U. A ( rank `  y
)  e.  z } 
C_  U_ x  e.  A  ( rank `  x )
)
333, 32eqsstrd 3402 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  U. A ) 
C_  U_ x  e.  A  ( rank `  x )
)
341biimpi 194 . . . . 5  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  U. A  e.  U. ( R1 " On ) )
35 elssuni 4133 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  x  C_ 
U. A )
36 rankssb 8067 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  U. ( R1 " On )  -> 
( x  C_  U. A  ->  ( rank `  x
)  C_  ( rank ` 
U. A ) ) )
3734, 35, 36syl2im 38 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  A  ->  ( rank `  x
)  C_  ( rank ` 
U. A ) ) )
3837ralrimiv 2810 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A. x  e.  A  ( rank `  x )  C_  ( rank `  U. A ) )
39 iunss 4223 . . 3  |-  ( U_ x  e.  A  ( rank `  x )  C_  ( rank `  U. A )  <->  A. x  e.  A  ( rank `  x )  C_  ( rank `  U. A ) )
4038, 39sylibr 212 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  U_ x  e.  A  ( rank `  x )  C_  ( rank `  U. A ) )
4133, 40eqssd 3385 1  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  U. A )  =  U_ x  e.  A  ( rank `  x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   E.wrex 2728   {crab 2731   _Vcvv 2984    C_ wss 3340   U.cuni 4103   |^|cint 4140   U_ciun 4183   Oncon0 4731   "cima 4855   ` cfv 5430   R1cr1 7981   rankcrnk 7982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-om 6489  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-r1 7983  df-rank 7984
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