Theorem rankuni2 5801

Description: The rank of a union. Part of Theorem 15.17(iv) of [Monk1] p. 112.

Hypothesis

Ref	Expression
ranksn.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
rankuni2	|- (rank` U.A) = U_x e. A (rank` x)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem rankuni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ranksn.1	. . . . 5 |- A e. _V
2	1	uniex 3794	. . . 4 |- U.A e. _V
3	2	rankval3 5792	. . 3 |- (rank` U.A) = |^|{z e. On | A.y e. U.A(rank` y) e. z}
4		eleq2 1958	. . . . . . 7 |- (z = U_x e. A (rank` x) -> ((rank` y) e. z <-> (rank` y) e. U_x e. A (rank` x)))
5	4	ralbidv 2123	. . . . . 6 |- (z = U_x e. A (rank` x) -> (A.y e. U.A(rank` y) e. z <-> A.y e. U.A(rank` y) e. U_x e. A (rank` x)))
6	5	elrab 2414	. . . . 5 |- (U_x e. A (rank` x) e. {z e. On | A.y e. U.A(rank` y) e. z} <-> (U_x e. A (rank` x) e. On /\ A.y e. U.A(rank` y) e. U_x e. A (rank` x)))
7		fvex 4689	. . . . . . 7 |- (rank` x) e. _V
8	1, 7	iunon 5114	. . . . . 6 |- (A.x e. A (rank` x) e. On -> U_x e. A (rank` x) e. On)
9		rankon 5782	. . . . . . 7 |- (rank` x) e. On
10	9	a1i 8	. . . . . 6 |- (x e. A -> (rank` x) e. On)
11	8, 10	mprg 2162	. . . . 5 |- U_x e. A (rank` x) e. On
12		eluni2 3181	. . . . . . 7 |- (y e. U.A <-> E.x e. A y e. x)
13		ax-17 1317	. . . . . . . . 9 |- (z e. (rank` y) -> A.x z e. (rank` y))
14		hbiu1 3281	. . . . . . . . 9 |- (z e. U_x e. A (rank` x) -> A.x z e. U_x e. A (rank` x))
15	13, 14	hbel 1996	. . . . . . . 8 |- ((rank` y) e. U_x e. A (rank` x) -> A.x(rank` y) e. U_x e. A (rank` x))
16		ssiun2 3295	. . . . . . . . . 10 |- (x e. A -> (rank` x) C_ U_x e. A (rank` x))
17	16	sseld 2619	. . . . . . . . 9 |- (x e. A -> ((rank` y) e. (rank` x) -> (rank` y) e. U_x e. A (rank` x)))
18		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
19	18	rankel 5791	. . . . . . . . 9 |- (y e. x -> (rank` y) e. (rank` x))
20	17, 19	syl5 20	. . . . . . . 8 |- (x e. A -> (y e. x -> (rank` y) e. U_x e. A (rank` x)))
21	15, 20	r19.23ai 2209	. . . . . . 7 |- (E.x e. A y e. x -> (rank` y) e. U_x e. A (rank` x))
22	12, 21	sylbi 216	. . . . . 6 |- (y e. U.A -> (rank` y) e. U_x e. A (rank` x))
23	22	rgen 2159	. . . . 5 |- A.y e. U.A(rank` y) e. U_x e. A (rank` x)
24	6, 11, 23	mpbir2an 800	. . . 4 |- U_x e. A (rank` x) e. {z e. On | A.y e. U.A(rank` y) e. z}
25		intss1 3231	. . . 4 |- (U_x e. A (rank` x) e. {z e. On | A.y e. U.A(rank` y) e. z} -> |^|{z e. On | A.y e. U.A(rank` y) e. z} C_ U_x e. A (rank` x))
26	24, 25	ax-mp 7	. . 3 |- |^|{z e. On | A.y e. U.A(rank` y) e. z} C_ U_x e. A (rank` x)
27	3, 26	eqsstri 2647	. 2 |- (rank` U.A) C_ U_x e. A (rank` x)
28		iunss 3291	. . 3 |- (U_x e. A (rank` x) C_ (rank` U.A) <-> A.x e. A (rank` x) C_ (rank` U.A))
29		elssuni 3206	. . . 4 |- (x e. A -> x C_ U.A)
30	2	rankss 5799	. . . 4 |- (x C_ U.A -> (rank` x) C_ (rank` U.A))
31	29, 30	syl 12	. . 3 |- (x e. A -> (rank` x) C_ (rank` U.A))
32	28, 31	mprgbir 2163	. 2 |- U_x e. A (rank` x) C_ (rank` U.A)
33	27, 32	eqssi 2632	1 |- (rank` U.A) = U_x e. A (rank` x)

Syntax hints:   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  U.cuni 3177  |^|cint 3214  U_ciun 3255  Oncon0 3657  ` cfv 3998  rankcrnk 5749

This theorem is referenced by:  rankuni 5809  rankbnd2 5815

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-rdg 5140  df-r1 5750  df-rank 5751

Copyright terms: Public domain