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Theorem rankuni 8075
Description: The rank of a union. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. (Contributed by NM, 15-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankuni  |-  ( rank `  U. A )  = 
U. ( rank `  A
)

Proof of Theorem rankuni
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4104 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  U. x  =  U. A )
21fveq2d 5700 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( rank `  U. x )  =  ( rank `  U. A ) )
3 fveq2 5696 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( rank `  x )  =  ( rank `  A
) )
43unieqd 4106 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  U. ( rank `  x )  = 
U. ( rank `  A
) )
52, 4eqeq12d 2457 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( rank `  U. x )  =  U. ( rank `  x )  <->  ( rank ` 
U. A )  = 
U. ( rank `  A
) ) )
6 vex 2980 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
76rankuni2 8067 . . . . . 6  |-  ( rank `  U. x )  = 
U_ z  e.  x  ( rank `  z )
8 fvex 5706 . . . . . . 7  |-  ( rank `  z )  e.  _V
98dfiun2 4209 . . . . . 6  |-  U_ z  e.  x  ( rank `  z )  =  U. { y  |  E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z
) }
107, 9eqtri 2463 . . . . 5  |-  ( rank `  U. x )  = 
U. { y  |  E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z ) }
11 df-rex 2726 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z
)  <->  E. z ( z  e.  x  /\  y  =  ( rank `  z
) ) )
126rankel 8051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  x  ->  ( rank `  z )  e.  ( rank `  x
) )
1312anim1i 568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  x  /\  y  =  ( rank `  z ) )  -> 
( ( rank `  z
)  e.  ( rank `  x )  /\  y  =  ( rank `  z
) ) )
1413eximi 1625 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z ( z  e.  x  /\  y  =  ( rank `  z
) )  ->  E. z
( ( rank `  z
)  e.  ( rank `  x )  /\  y  =  ( rank `  z
) ) )
15 19.42v 1924 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( y  e.  ( rank `  x
)  /\  y  =  ( rank `  z )
)  <->  ( y  e.  ( rank `  x
)  /\  E. z 
y  =  ( rank `  z ) ) )
16 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( rank `  z
)  ->  ( y  e.  ( rank `  x
)  <->  ( rank `  z
)  e.  ( rank `  x ) ) )
1716pm5.32ri 638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( rank `  x )  /\  y  =  ( rank `  z
) )  <->  ( ( rank `  z )  e.  ( rank `  x
)  /\  y  =  ( rank `  z )
) )
1817exbii 1634 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( y  e.  ( rank `  x
)  /\  y  =  ( rank `  z )
)  <->  E. z ( (
rank `  z )  e.  ( rank `  x
)  /\  y  =  ( rank `  z )
) )
19 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( rank `  x )  /\  E. z  y  =  ( rank `  z ) )  ->  y  e.  (
rank `  x )
)
20 rankon 8007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( rank `  x )  e.  On
2120oneli 4831 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  y  e.  On )
22 r1fnon 7979 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  R1  Fn  On
23 fndm 5515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R1  Fn  On  ->  dom  R1  =  On )
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  R1  =  On
2521, 24syl6eleqr 2534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  y  e.  dom  R1 )
26 rankr1id 8074 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  dom  R1  <->  ( rank `  ( R1 `  y
) )  =  y )
2725, 26sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  ( rank `  ( R1 `  y
) )  =  y )
2827eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  y  =  ( rank `  ( R1 `  y ) ) )
29 fvex 5706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R1
`  y )  e. 
_V
30 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( R1 `  y )  ->  ( rank `  z )  =  ( rank `  ( R1 `  y ) ) )
3130eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( R1 `  y )  ->  (
y  =  ( rank `  z )  <->  y  =  ( rank `  ( R1 `  y ) ) ) )
3229, 31spcev 3069 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( rank `  ( R1 `  y ) )  ->  E. z  y  =  ( rank `  z
) )
3328, 32syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  E. z 
y  =  ( rank `  z ) )
3433ancli 551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  ( y  e.  ( rank `  x
)  /\  E. z 
y  =  ( rank `  z ) ) )
3519, 34impbii 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( rank `  x )  /\  E. z  y  =  ( rank `  z ) )  <-> 
y  e.  ( rank `  x ) )
3615, 18, 353bitr3i 275 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z ( ( rank `  z )  e.  (
rank `  x )  /\  y  =  ( rank `  z ) )  <-> 
y  e.  ( rank `  x ) )
3714, 36sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( z  e.  x  /\  y  =  ( rank `  z
) )  ->  y  e.  ( rank `  x
) )
3811, 37sylbi 195 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z
)  ->  y  e.  ( rank `  x )
)
3938abssi 3432 . . . . . 6  |-  { y  |  E. z  e.  x  y  =  (
rank `  z ) }  C_  ( rank `  x
)
4039unissi 4119 . . . . 5  |-  U. {
y  |  E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z ) }  C_  U. ( rank `  x )
4110, 40eqsstri 3391 . . . 4  |-  ( rank `  U. x )  C_  U. ( rank `  x
)
42 pwuni 4528 . . . . . . . 8  |-  x  C_  ~P U. x
436uniex 6381 . . . . . . . . . 10  |-  U. x  e.  _V
4443pwex 4480 . . . . . . . . 9  |-  ~P U. x  e.  _V
4544rankss 8061 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  ~P U. x  -> 
( rank `  x )  C_  ( rank `  ~P U. x ) )
4642, 45ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( rank `  x )  C_  ( rank `  ~P U. x
)
4743rankpw 8055 . . . . . . 7  |-  ( rank `  ~P U. x )  =  suc  ( rank `  U. x )
4846, 47sseqtri 3393 . . . . . 6  |-  ( rank `  x )  C_  suc  ( rank `  U. x )
4948unissi 4119 . . . . 5  |-  U. ( rank `  x )  C_  U.
suc  ( rank `  U. x )
50 rankon 8007 . . . . . 6  |-  ( rank `  U. x )  e.  On
5150onunisuci 4837 . . . . 5  |-  U. suc  ( rank `  U. x )  =  ( rank `  U. x )
5249, 51sseqtri 3393 . . . 4  |-  U. ( rank `  x )  C_  ( rank `  U. x )
5341, 52eqssi 3377 . . 3  |-  ( rank `  U. x )  = 
U. ( rank `  x
)
545, 53vtoclg 3035 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( rank `  U. A )  =  U. ( rank `  A ) )
55 uniexb 6391 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  U. A  e. 
_V )
56 fvprc 5690 . . . . 5  |-  ( -. 
U. A  e.  _V  ->  ( rank `  U. A )  =  (/) )
5755, 56sylnbi 306 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
rank `  U. A )  =  (/) )
58 uni0 4123 . . . 4  |-  U. (/)  =  (/)
5957, 58syl6eqr 2493 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
rank `  U. A )  =  U. (/) )
60 fvprc 5690 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
rank `  A )  =  (/) )
6160unieqd 4106 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  U. ( rank `  A
)  =  U. (/) )
6259, 61eqtr4d 2478 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
rank `  U. A )  =  U. ( rank `  A ) )
6354, 62pm2.61i 164 1  |-  ( rank `  U. A )  = 
U. ( rank `  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cab 2429   E.wrex 2721   _Vcvv 2977    C_ wss 3333   (/)c0 3642   ~Pcpw 3865   U.cuni 4096   U_ciun 4176   Oncon0 4724   suc csuc 4726   dom cdm 4845    Fn wfn 5418   ` cfv 5423   R1cr1 7974   rankcrnk 7975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-reg 7812  ax-inf2 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-r1 7976  df-rank 7977
This theorem is referenced by:  rankuniss  8078  rankbnd2  8081  rankxplim2  8092  rankxplim3  8093  rankxpsuc  8094  r1limwun  8908  hfuni  28227
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