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Theorem rankuni 7745
Description: The rank of a union. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. (Contributed by NM, 15-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankuni  |-  ( rank `  U. A )  = 
U. ( rank `  A
)

Proof of Theorem rankuni
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 3984 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  U. x  =  U. A )
21fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( rank `  U. x )  =  ( rank `  U. A ) )
3 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( rank `  x )  =  ( rank `  A
) )
43unieqd 3986 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  U. ( rank `  x )  = 
U. ( rank `  A
) )
52, 4eqeq12d 2418 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( rank `  U. x )  =  U. ( rank `  x )  <->  ( rank ` 
U. A )  = 
U. ( rank `  A
) ) )
6 vex 2919 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
76rankuni2 7737 . . . . . 6  |-  ( rank `  U. x )  = 
U_ z  e.  x  ( rank `  z )
8 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( rank `  z )  e.  _V
98dfiun2 4085 . . . . . 6  |-  U_ z  e.  x  ( rank `  z )  =  U. { y  |  E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z
) }
107, 9eqtri 2424 . . . . 5  |-  ( rank `  U. x )  = 
U. { y  |  E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z ) }
11 df-rex 2672 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z
)  <->  E. z ( z  e.  x  /\  y  =  ( rank `  z
) ) )
126rankel 7721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  x  ->  ( rank `  z )  e.  ( rank `  x
) )
1312anim1i 552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  x  /\  y  =  ( rank `  z ) )  -> 
( ( rank `  z
)  e.  ( rank `  x )  /\  y  =  ( rank `  z
) ) )
1413eximi 1582 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z ( z  e.  x  /\  y  =  ( rank `  z
) )  ->  E. z
( ( rank `  z
)  e.  ( rank `  x )  /\  y  =  ( rank `  z
) ) )
15 19.42v 1924 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( y  e.  ( rank `  x
)  /\  y  =  ( rank `  z )
)  <->  ( y  e.  ( rank `  x
)  /\  E. z 
y  =  ( rank `  z ) ) )
16 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( rank `  z
)  ->  ( y  e.  ( rank `  x
)  <->  ( rank `  z
)  e.  ( rank `  x ) ) )
1716pm5.32ri 620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( rank `  x )  /\  y  =  ( rank `  z
) )  <->  ( ( rank `  z )  e.  ( rank `  x
)  /\  y  =  ( rank `  z )
) )
1817exbii 1589 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( y  e.  ( rank `  x
)  /\  y  =  ( rank `  z )
)  <->  E. z ( (
rank `  z )  e.  ( rank `  x
)  /\  y  =  ( rank `  z )
) )
19 simpl 444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( rank `  x )  /\  E. z  y  =  ( rank `  z ) )  ->  y  e.  (
rank `  x )
)
20 rankon 7677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( rank `  x )  e.  On
2120oneli 4648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  y  e.  On )
22 r1fnon 7649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  R1  Fn  On
23 fndm 5503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R1  Fn  On  ->  dom  R1  =  On )
2422, 23ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  R1  =  On
2521, 24syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  y  e.  dom  R1 )
26 rankr1id 7744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  dom  R1  <->  ( rank `  ( R1 `  y
) )  =  y )
2725, 26sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  ( rank `  ( R1 `  y
) )  =  y )
2827eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  y  =  ( rank `  ( R1 `  y ) ) )
29 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R1
`  y )  e. 
_V
30 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( R1 `  y )  ->  ( rank `  z )  =  ( rank `  ( R1 `  y ) ) )
3130eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( R1 `  y )  ->  (
y  =  ( rank `  z )  <->  y  =  ( rank `  ( R1 `  y ) ) ) )
3229, 31spcev 3003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( rank `  ( R1 `  y ) )  ->  E. z  y  =  ( rank `  z
) )
3328, 32syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  E. z 
y  =  ( rank `  z ) )
3433ancli 535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  ( y  e.  ( rank `  x
)  /\  E. z 
y  =  ( rank `  z ) ) )
3519, 34impbii 181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( rank `  x )  /\  E. z  y  =  ( rank `  z ) )  <-> 
y  e.  ( rank `  x ) )
3615, 18, 353bitr3i 267 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z ( ( rank `  z )  e.  (
rank `  x )  /\  y  =  ( rank `  z ) )  <-> 
y  e.  ( rank `  x ) )
3714, 36sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( z  e.  x  /\  y  =  ( rank `  z
) )  ->  y  e.  ( rank `  x
) )
3811, 37sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z
)  ->  y  e.  ( rank `  x )
)
3938abssi 3378 . . . . . 6  |-  { y  |  E. z  e.  x  y  =  (
rank `  z ) }  C_  ( rank `  x
)
4039unissi 3998 . . . . 5  |-  U. {
y  |  E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z ) }  C_  U. ( rank `  x )
4110, 40eqsstri 3338 . . . 4  |-  ( rank `  U. x )  C_  U. ( rank `  x
)
42 pwuni 4355 . . . . . . . 8  |-  x  C_  ~P U. x
436uniex 4664 . . . . . . . . . 10  |-  U. x  e.  _V
4443pwex 4342 . . . . . . . . 9  |-  ~P U. x  e.  _V
4544rankss 7731 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  ~P U. x  -> 
( rank `  x )  C_  ( rank `  ~P U. x ) )
4642, 45ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( rank `  x )  C_  ( rank `  ~P U. x
)
4743rankpw 7725 . . . . . . 7  |-  ( rank `  ~P U. x )  =  suc  ( rank `  U. x )
4846, 47sseqtri 3340 . . . . . 6  |-  ( rank `  x )  C_  suc  ( rank `  U. x )
4948unissi 3998 . . . . 5  |-  U. ( rank `  x )  C_  U.
suc  ( rank `  U. x )
50 rankon 7677 . . . . . 6  |-  ( rank `  U. x )  e.  On
5150onunisuci 4654 . . . . 5  |-  U. suc  ( rank `  U. x )  =  ( rank `  U. x )
5249, 51sseqtri 3340 . . . 4  |-  U. ( rank `  x )  C_  ( rank `  U. x )
5341, 52eqssi 3324 . . 3  |-  ( rank `  U. x )  = 
U. ( rank `  x
)
545, 53vtoclg 2971 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( rank `  U. A )  =  U. ( rank `  A ) )
55 uniexb 4711 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  U. A  e. 
_V )
56 fvprc 5681 . . . . 5  |-  ( -. 
U. A  e.  _V  ->  ( rank `  U. A )  =  (/) )
5755, 56sylnbi 298 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
rank `  U. A )  =  (/) )
58 uni0 4002 . . . 4  |-  U. (/)  =  (/)
5957, 58syl6eqr 2454 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
rank `  U. A )  =  U. (/) )
60 fvprc 5681 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
rank `  A )  =  (/) )
6160unieqd 3986 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  U. ( rank `  A
)  =  U. (/) )
6259, 61eqtr4d 2439 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
rank `  U. A )  =  U. ( rank `  A ) )
6354, 62pm2.61i 158 1  |-  ( rank `  U. A )  = 
U. ( rank `  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   U.cuni 3975   U_ciun 4053   Oncon0 4541   suc csuc 4543   dom cdm 4837    Fn wfn 5408   ` cfv 5413   R1cr1 7644   rankcrnk 7645
This theorem is referenced by:  rankuniss  7748  rankbnd2  7751  rankxplim2  7760  rankxplim3  7761  rankxpsuc  7762  r1limwun  8567  hfuni  26029
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-reg 7516  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-r1 7646  df-rank 7647
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