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Theorem rankuni 7419
Description: The rank of a union. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. (Contributed by NM, 15-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankuni  |-  ( rank `  U. A )  = 
U. ( rank `  A
)

Proof of Theorem rankuni
StepHypRef Expression
1 unieq 3736 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  U. x  =  U. A )
21fveq2d 5381 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( rank `  U. x )  =  ( rank `  U. A ) )
3 fveq2 5377 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( rank `  x )  =  ( rank `  A
) )
43unieqd 3738 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  U. ( rank `  x )  = 
U. ( rank `  A
) )
52, 4eqeq12d 2267 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( rank `  U. x )  =  U. ( rank `  x )  <->  ( rank ` 
U. A )  = 
U. ( rank `  A
) ) )
6 vex 2730 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
76rankuni2 7411 . . . . . 6  |-  ( rank `  U. x )  = 
U_ z  e.  x  ( rank `  z )
8 fvex 5391 . . . . . . 7  |-  ( rank `  z )  e.  _V
98dfiun2 3835 . . . . . 6  |-  U_ z  e.  x  ( rank `  z )  =  U. { y  |  E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z
) }
107, 9eqtri 2273 . . . . 5  |-  ( rank `  U. x )  = 
U. { y  |  E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z ) }
11 df-rex 2514 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z
)  <->  E. z ( z  e.  x  /\  y  =  ( rank `  z
) ) )
126rankel 7395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  x  ->  ( rank `  z )  e.  ( rank `  x
) )
1312anim1i 554 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  x  /\  y  =  ( rank `  z ) )  -> 
( ( rank `  z
)  e.  ( rank `  x )  /\  y  =  ( rank `  z
) ) )
1413eximi 1574 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z ( z  e.  x  /\  y  =  ( rank `  z
) )  ->  E. z
( ( rank `  z
)  e.  ( rank `  x )  /\  y  =  ( rank `  z
) ) )
15 19.42v 2038 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( y  e.  ( rank `  x
)  /\  y  =  ( rank `  z )
)  <->  ( y  e.  ( rank `  x
)  /\  E. z 
y  =  ( rank `  z ) ) )
16 eleq1 2313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( rank `  z
)  ->  ( y  e.  ( rank `  x
)  <->  ( rank `  z
)  e.  ( rank `  x ) ) )
1716pm5.32ri 622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( rank `  x )  /\  y  =  ( rank `  z
) )  <->  ( ( rank `  z )  e.  ( rank `  x
)  /\  y  =  ( rank `  z )
) )
1817exbii 1580 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( y  e.  ( rank `  x
)  /\  y  =  ( rank `  z )
)  <->  E. z ( (
rank `  z )  e.  ( rank `  x
)  /\  y  =  ( rank `  z )
) )
19 simpl 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( rank `  x )  /\  E. z  y  =  ( rank `  z ) )  ->  y  e.  (
rank `  x )
)
20 rankon 7351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( rank `  x )  e.  On
2120oneli 4391 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  y  e.  On )
22 r1fnon 7323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  R1  Fn  On
23 fndm 5200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R1  Fn  On  ->  dom  R1  =  On )
2422, 23ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  R1  =  On
2521, 24syl6eleqr 2344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  y  e.  dom  R1 )
26 rankr1id 7418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  dom  R1  <->  ( rank `  ( R1 `  y
) )  =  y )
2725, 26sylib 190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  ( rank `  ( R1 `  y
) )  =  y )
2827eqcomd 2258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  y  =  ( rank `  ( R1 `  y ) ) )
29 fvex 5391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R1
`  y )  e. 
_V
30 fveq2 5377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( R1 `  y )  ->  ( rank `  z )  =  ( rank `  ( R1 `  y ) ) )
3130eqeq2d 2264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( R1 `  y )  ->  (
y  =  ( rank `  z )  <->  y  =  ( rank `  ( R1 `  y ) ) ) )
3229, 31cla4ev 2812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( rank `  ( R1 `  y ) )  ->  E. z  y  =  ( rank `  z
) )
3328, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  E. z 
y  =  ( rank `  z ) )
3433ancli 536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  ( y  e.  ( rank `  x
)  /\  E. z 
y  =  ( rank `  z ) ) )
3519, 34impbii 182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( rank `  x )  /\  E. z  y  =  ( rank `  z ) )  <-> 
y  e.  ( rank `  x ) )
3615, 18, 353bitr3i 268 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z ( ( rank `  z )  e.  (
rank `  x )  /\  y  =  ( rank `  z ) )  <-> 
y  e.  ( rank `  x ) )
3714, 36sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( z  e.  x  /\  y  =  ( rank `  z
) )  ->  y  e.  ( rank `  x
) )
3811, 37sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z
)  ->  y  e.  ( rank `  x )
)
3938abssi 3169 . . . . . 6  |-  { y  |  E. z  e.  x  y  =  (
rank `  z ) }  C_  ( rank `  x
)
40 uniss 3748 . . . . . 6  |-  ( { y  |  E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z ) }  C_  ( rank `  x
)  ->  U. { y  |  E. z  e.  x  y  =  (
rank `  z ) }  C_  U. ( rank `  x ) )
4139, 40ax-mp 10 . . . . 5  |-  U. {
y  |  E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z ) }  C_  U. ( rank `  x )
4210, 41eqsstri 3129 . . . 4  |-  ( rank `  U. x )  C_  U. ( rank `  x
)
43 pwuni 4100 . . . . . . . 8  |-  x  C_  ~P U. x
446uniex 4407 . . . . . . . . . 10  |-  U. x  e.  _V
4544pwex 4087 . . . . . . . . 9  |-  ~P U. x  e.  _V
4645rankss 7405 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  ~P U. x  -> 
( rank `  x )  C_  ( rank `  ~P U. x ) )
4743, 46ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  ( rank `  x )  C_  ( rank `  ~P U. x
)
4844rankpw 7399 . . . . . . 7  |-  ( rank `  ~P U. x )  =  suc  ( rank `  U. x )
4947, 48sseqtri 3131 . . . . . 6  |-  ( rank `  x )  C_  suc  ( rank `  U. x )
50 uniss 3748 . . . . . 6  |-  ( (
rank `  x )  C_ 
suc  ( rank `  U. x )  ->  U. ( rank `  x )  C_  U.
suc  ( rank `  U. x ) )
5149, 50ax-mp 10 . . . . 5  |-  U. ( rank `  x )  C_  U.
suc  ( rank `  U. x )
52 rankon 7351 . . . . . 6  |-  ( rank `  U. x )  e.  On
5352onunisuci 4397 . . . . 5  |-  U. suc  ( rank `  U. x )  =  ( rank `  U. x )
5451, 53sseqtri 3131 . . . 4  |-  U. ( rank `  x )  C_  ( rank `  U. x )
5542, 54eqssi 3116 . . 3  |-  ( rank `  U. x )  = 
U. ( rank `  x
)
565, 55vtoclg 2781 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( rank `  U. A )  =  U. ( rank `  A ) )
57 uniexb 4454 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  U. A  e. 
_V )
58 fvprc 5374 . . . . 5  |-  ( -. 
U. A  e.  _V  ->  ( rank `  U. A )  =  (/) )
5957, 58sylnbi 299 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
rank `  U. A )  =  (/) )
60 uni0 3752 . . . 4  |-  U. (/)  =  (/)
6159, 60syl6eqr 2303 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
rank `  U. A )  =  U. (/) )
62 fvprc 5374 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
rank `  A )  =  (/) )
6362unieqd 3738 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  U. ( rank `  A
)  =  U. (/) )
6461, 63eqtr4d 2288 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
rank `  U. A )  =  U. ( rank `  A ) )
6556, 64pm2.61i 158 1  |-  ( rank `  U. A )  = 
U. ( rank `  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2239   E.wrex 2510   _Vcvv 2727    C_ wss 3078   (/)c0 3362   ~Pcpw 3530   U.cuni 3727   U_ciun 3803   Oncon0 4285   suc csuc 4287   dom cdm 4580    Fn wfn 4587   ` cfv 4592   R1cr1 7318   rankcrnk 7319
This theorem is referenced by:  rankuniss  7422  rankbnd2  7425  rankxplim2  7434  rankxplim3  7435  rankxpsuc  7436  r1limwun  8238  hfuni  23988
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-reg 7190  ax-inf2 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-r1 7320  df-rank 7321
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