Theorem rankunb 8264

Description: The rank of the union of two sets. Theorem 15.17(iii) of [Monk1] p. 112. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankunb	|- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( rank ` ( A u. B ) ) = ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )

Proof of Theorem rankunb

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unwf 8224	. . . . . . 7 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) <-> ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) )
2		rankval3b 8240	. . . . . . 7 |- ( ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` ( A u. B ) ) = |^| { y e. On | A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y } )
3	1, 2	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( rank ` ( A u. B ) ) = |^| { y e. On | A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y } )
4	3	eleq2d 2537	. . . . 5 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( x e. ( rank ` ( A u. B ) ) <-> x e. |^| { y e. On | A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y } ) )
5		vex 3116	. . . . . 6 |- x e. _V
6	5	elintrab 4294	. . . . 5 |- ( x e. |^| { y e. On | A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y } <-> A. y e. On ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y -> x e. y ) )
7	4, 6	syl6bb 261	. . . 4 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( x e. ( rank ` ( A u. B ) ) <-> A. y e. On ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y -> x e. y ) ) )
8		elun 3645	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
9		rankelb 8238	. . . . . . . . 9 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> ( x e. A -> ( rank ` x ) e. ( rank ` A ) ) )
10		elun1 3671	. . . . . . . . 9 |- ( ( rank ` x ) e. ( rank ` A ) -> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )
11	9, 10	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> ( x e. A -> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
12		rankelb 8238	. . . . . . . . 9 |- ( B e. U. ( R1 " On ) -> ( x e. B -> ( rank ` x ) e. ( rank ` B ) ) )
13		elun2 3672	. . . . . . . . 9 |- ( ( rank ` x ) e. ( rank ` B ) -> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )
14	12, 13	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( B e. U. ( R1 " On ) -> ( x e. B -> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
15	11, 14	jaao 509	. . . . . . 7 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( ( x e. A \/ x e. B ) -> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
16	8, 15	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( x e. ( A u. B ) -> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
17	16	ralrimiv 2876	. . . . 5 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )
18		rankon 8209	. . . . . . 7 |- ( rank ` A ) e. On
19		rankon 8209	. . . . . . 7 |- ( rank ` B ) e. On
20	18, 19	onun2i 4993	. . . . . 6 |- ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) e. On
21		eleq2 2540	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> ( ( rank ` x ) e. y <-> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
22	21	ralbidv 2903	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y <-> A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
23		eleq2 2540	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> ( x e. y <-> x e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
24	22, 23	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( y = ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> ( ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y -> x e. y ) <-> ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> x e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) ) )
25	24	rspcv 3210	. . . . . 6 |- ( ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) e. On -> ( A. y e. On ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y -> x e. y ) -> ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> x e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) ) )
26	20, 25	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( A. y e. On ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y -> x e. y ) -> ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> x e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
27	17, 26	syl5com 30	. . . 4 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( A. y e. On ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y -> x e. y ) -> x e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
28	7, 27	sylbid 215	. . 3 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( x e. ( rank ` ( A u. B ) ) -> x e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
29	28	ssrdv 3510	. 2 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( rank ` ( A u. B ) ) C_ ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )
30		ssun1 3667	. . . . 5 |- A C_ ( A u. B )
31		rankssb 8262	. . . . 5 |- ( ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) -> ( A C_ ( A u. B ) -> ( rank ` A ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) ) )
32	30, 31	mpi 17	. . . 4 |- ( ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` A ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) )
33		ssun2 3668	. . . . 5 |- B C_ ( A u. B )
34		rankssb 8262	. . . . 5 |- ( ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) -> ( B C_ ( A u. B ) -> ( rank ` B ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) ) )
35	33, 34	mpi 17	. . . 4 |- ( ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` B ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) )
36	32, 35	unssd 3680	. . 3 |- ( ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) -> ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) )
37	1, 36	sylbi 195	. 2 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) )
38	29, 37	eqssd 3521	1 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( rank ` ( A u. B ) ) = ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   u. cun 3474   C_ wss 3476   U.cuni 4245   |^|cint 4282   Oncon0 4878   "cima 5002   ` cfv 5586   R1cr1 8176   rankcrnk 8177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-r1 8178  df-rank 8179

This theorem is referenced by:  rankprb  8265  rankopb  8266  rankun  8270  rankaltopb  29203