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Theorem rankunb 8321
Description: The rank of the union of two sets. Theorem 15.17(iii) of [Monk1] p. 112. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankunb |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( rank ` ( A u. B ) ) = ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )
Proof of Theorem rankunb
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unwf 8281 . . . . . . 7 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) <-> ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) )
2 rankval3b 8297 . . . . . . 7 |- ( ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` ( A u. B ) ) = |^| { y e. On | A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y } )
31, 2sylbi 199 . . . . . 6 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( rank ` ( A u. B ) ) = |^| { y e. On | A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y } )
43eleq2d 2514 . . . . 5 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( x e. ( rank ` ( A u. B ) ) <-> x e. |^| { y e. On | A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y } ) )
5 vex 3048 . . . . . 6 |- x e. _V
65elintrab 4246 . . . . 5 |- ( x e. |^| { y e. On | A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y } <-> A. y e. On ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y -> x e. y ) )
74, 6syl6bb 265 . . . 4 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( x e. ( rank ` ( A u. B ) ) <-> A. y e. On ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y -> x e. y ) ) )
8 elun 3574 . . . . . . 7 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
9 rankelb 8295 . . . . . . . . 9 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> ( x e. A -> ( rank ` x ) e. ( rank ` A ) ) )
10 elun1 3601 . . . . . . . . 9 |- ( ( rank ` x ) e. ( rank ` A ) -> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )
119, 10syl6 34 . . . . . . . 8 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> ( x e. A -> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
12 rankelb 8295 . . . . . . . . 9 |- ( B e. U. ( R1 " On ) -> ( x e. B -> ( rank ` x ) e. ( rank ` B ) ) )
13 elun2 3602 . . . . . . . . 9 |- ( ( rank ` x ) e. ( rank ` B ) -> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )
1412, 13syl6 34 . . . . . . . 8 |- ( B e. U. ( R1 " On ) -> ( x e. B -> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
1511, 14jaao 512 . . . . . . 7 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( ( x e. A \/ x e. B ) -> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
168, 15syl5bi 221 . . . . . 6 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( x e. ( A u. B ) -> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
1716ralrimiv 2800 . . . . 5 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )
18 rankon 8266 . . . . . . 7 |- ( rank ` A ) e. On
19 rankon 8266 . . . . . . 7 |- ( rank ` B ) e. On
2018, 19onun2i 5538 . . . . . 6 |- ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) e. On
21 eleq2 2518 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> ( ( rank ` x ) e. y <-> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
2221ralbidv 2827 . . . . . . . 8 |- ( y = ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y <-> A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
23 eleq2 2518 . . . . . . . 8 |- ( y = ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> ( x e. y <-> x e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
2422, 23imbi12d 322 . . . . . . 7 |- ( y = ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> ( ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y -> x e. y ) <-> ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> x e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) ) )
2524rspcv 3146 . . . . . 6 |- ( ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) e. On -> ( A. y e. On ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y -> x e. y ) -> ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> x e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) ) )
2620, 25ax-mp 5 . . . . 5 |- ( A. y e. On ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y -> x e. y ) -> ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> x e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
2717, 26syl5com 31 . . . 4 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( A. y e. On ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y -> x e. y ) -> x e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
287, 27sylbid 219 . . 3 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( x e. ( rank ` ( A u. B ) ) -> x e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
2928ssrdv 3438 . 2 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( rank ` ( A u. B ) ) C_ ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )
30 ssun1 3597 . . . . 5 |- A C_ ( A u. B )
31 rankssb 8319 . . . . 5 |- ( ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) -> ( A C_ ( A u. B ) -> ( rank ` A ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) ) )
3230, 31mpi 20 . . . 4 |- ( ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` A ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) )
33 ssun2 3598 . . . . 5 |- B C_ ( A u. B )
34 rankssb 8319 . . . . 5 |- ( ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) -> ( B C_ ( A u. B ) -> ( rank ` B ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) ) )
3533, 34mpi 20 . . . 4 |- ( ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` B ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) )
3632, 35unssd 3610 . . 3 |- ( ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) -> ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) )
371, 36sylbi 199 . 2 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) )
3829, 37eqssd 3449 1 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( rank ` ( A u. B ) ) = ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 370   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   {crab 2741   u. cun 3402   C_ wss 3404   U.cuni 4198   |^|cint 4234   "cima 4837   Oncon0 5423   ` cfv 5582   R1cr1 8233   rankcrnk 8234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-r1 8235  df-rank 8236
This theorem is referenced by:  rankprb  8322  rankopb  8323  rankun  8327  rankaltopb  30746
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