Theorem rankunb 8285

Description: The rank of the union of two sets. Theorem 15.17(iii) of [Monk1] p. 112. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankunb	|- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( rank ` ( A u. B ) ) = ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )

Proof of Theorem rankunb

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unwf 8245	. . . . . . 7 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) <-> ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) )
2		rankval3b 8261	. . . . . . 7 |- ( ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` ( A u. B ) ) = |^| { y e. On | A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y } )
3	1, 2	sylbi 195	. . . . . 6 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( rank ` ( A u. B ) ) = |^| { y e. On | A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y } )
4	3	eleq2d 2527	. . . . 5 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( x e. ( rank ` ( A u. B ) ) <-> x e. |^| { y e. On | A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y } ) )
5		vex 3112	. . . . . 6 |- x e. _V
6	5	elintrab 4300	. . . . 5 |- ( x e. |^| { y e. On | A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y } <-> A. y e. On ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y -> x e. y ) )
7	4, 6	syl6bb 261	. . . 4 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( x e. ( rank ` ( A u. B ) ) <-> A. y e. On ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y -> x e. y ) ) )
8		elun 3641	. . . . . . 7 |- ( x e. ( A u. B ) <-> ( x e. A \/ x e. B ) )
9		rankelb 8259	. . . . . . . . 9 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> ( x e. A -> ( rank ` x ) e. ( rank ` A ) ) )
10		elun1 3667	. . . . . . . . 9 |- ( ( rank ` x ) e. ( rank ` A ) -> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )
11	9, 10	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> ( x e. A -> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
12		rankelb 8259	. . . . . . . . 9 |- ( B e. U. ( R1 " On ) -> ( x e. B -> ( rank ` x ) e. ( rank ` B ) ) )
13		elun2 3668	. . . . . . . . 9 |- ( ( rank ` x ) e. ( rank ` B ) -> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )
14	12, 13	syl6 33	. . . . . . . 8 |- ( B e. U. ( R1 " On ) -> ( x e. B -> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
15	11, 14	jaao 509	. . . . . . 7 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( ( x e. A \/ x e. B ) -> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
16	8, 15	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( x e. ( A u. B ) -> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
17	16	ralrimiv 2869	. . . . 5 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )
18		rankon 8230	. . . . . . 7 |- ( rank ` A ) e. On
19		rankon 8230	. . . . . . 7 |- ( rank ` B ) e. On
20	18, 19	onun2i 5002	. . . . . 6 |- ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) e. On
21		eleq2 2530	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> ( ( rank ` x ) e. y <-> ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
22	21	ralbidv 2896	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y <-> A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
23		eleq2 2530	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> ( x e. y <-> x e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
24	22, 23	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( y = ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> ( ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y -> x e. y ) <-> ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> x e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) ) )
25	24	rspcv 3206	. . . . . 6 |- ( ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) e. On -> ( A. y e. On ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y -> x e. y ) -> ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> x e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) ) )
26	20, 25	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( A. y e. On ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y -> x e. y ) -> ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) -> x e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
27	17, 26	syl5com 30	. . . 4 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( A. y e. On ( A. x e. ( A u. B ) ( rank ` x ) e. y -> x e. y ) -> x e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
28	7, 27	sylbid 215	. . 3 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( x e. ( rank ` ( A u. B ) ) -> x e. ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) ) )
29	28	ssrdv 3505	. 2 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( rank ` ( A u. B ) ) C_ ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )
30		ssun1 3663	. . . . 5 |- A C_ ( A u. B )
31		rankssb 8283	. . . . 5 |- ( ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) -> ( A C_ ( A u. B ) -> ( rank ` A ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) ) )
32	30, 31	mpi 17	. . . 4 |- ( ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` A ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) )
33		ssun2 3664	. . . . 5 |- B C_ ( A u. B )
34		rankssb 8283	. . . . 5 |- ( ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) -> ( B C_ ( A u. B ) -> ( rank ` B ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) ) )
35	33, 34	mpi 17	. . . 4 |- ( ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` B ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) )
36	32, 35	unssd 3676	. . 3 |- ( ( A u. B ) e. U. ( R1 " On ) -> ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) )
37	1, 36	sylbi 195	. 2 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) )
38	29, 37	eqssd 3516	1 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( rank ` ( A u. B ) ) = ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811   u. cun 3469   C_ wss 3471   U.cuni 4251   |^|cint 4288   Oncon0 4887   "cima 5011   ` cfv 5594   R1cr1 8197   rankcrnk 8198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-r1 8199  df-rank 8200

This theorem is referenced by:  rankprb  8286  rankopb  8287  rankun  8291  rankaltopb  29834