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Theorem rankunb 8264
Description: The rank of the union of two sets. Theorem 15.17(iii) of [Monk1] p. 112. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankunb  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )

Proof of Theorem rankunb
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unwf 8224 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  <-> 
( A  u.  B
)  e.  U. ( R1 " On ) )
2 rankval3b 8240 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  ( A  u.  B ) )  = 
|^| { y  e.  On  |  A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x
)  e.  y } )
31, 2sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  |^| { y  e.  On  |  A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x )  e.  y } )
43eleq2d 2537 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( x  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  x  e.  |^| { y  e.  On  |  A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x )  e.  y } ) )
5 vex 3116 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
65elintrab 4294 . . . . 5  |-  ( x  e.  |^| { y  e.  On  |  A. x  e.  ( A  u.  B
) ( rank `  x
)  e.  y }  <->  A. y  e.  On  ( A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x
)  e.  y  ->  x  e.  y )
)
74, 6syl6bb 261 . . . 4  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( x  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  A. y  e.  On  ( A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x
)  e.  y  ->  x  e.  y )
) )
8 elun 3645 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
9 rankelb 8238 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  A  ->  ( rank `  x
)  e.  ( rank `  A ) ) )
10 elun1 3671 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  x )  e.  ( rank `  A
)  ->  ( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) )
119, 10syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  A  ->  ( rank `  x
)  e.  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
12 rankelb 8238 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  B  ->  ( rank `  x
)  e.  ( rank `  B ) ) )
13 elun2 3672 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  x )  e.  ( rank `  B
)  ->  ( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) )
1412, 13syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  B  ->  ( rank `  x
)  e.  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
1511, 14jaao 509 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  ->  ( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
168, 15syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( x  e.  ( A  u.  B
)  ->  ( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
1716ralrimiv 2876 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x
)  e.  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )
18 rankon 8209 . . . . . . 7  |-  ( rank `  A )  e.  On
19 rankon 8209 . . . . . . 7  |-  ( rank `  B )  e.  On
2018, 19onun2i 4993 . . . . . 6  |-  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )  e.  On
21 eleq2 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) )  ->  ( ( rank `  x )  e.  y  <-> 
( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
2221ralbidv 2903 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) )  ->  ( A. x  e.  ( A  u.  B
) ( rank `  x
)  e.  y  <->  A. x  e.  ( A  u.  B
) ( rank `  x
)  e.  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
23 eleq2 2540 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) )  ->  ( x  e.  y  <->  x  e.  (
( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
2422, 23imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) )  ->  ( ( A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x )  e.  y  ->  x  e.  y )  <->  ( A. x  e.  ( A  u.  B
) ( rank `  x
)  e.  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )  ->  x  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) ) )
2524rspcv 3210 . . . . . 6  |-  ( ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  e.  On  ->  ( A. y  e.  On  ( A. x  e.  ( A  u.  B )
( rank `  x )  e.  y  ->  x  e.  y )  ->  ( A. x  e.  ( A  u.  B )
( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  ->  x  e.  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) ) )
2620, 25ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  On  ( A. x  e.  ( A  u.  B )
( rank `  x )  e.  y  ->  x  e.  y )  ->  ( A. x  e.  ( A  u.  B )
( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  ->  x  e.  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
2717, 26syl5com 30 . . . 4  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( A. y  e.  On  ( A. x  e.  ( A  u.  B
) ( rank `  x
)  e.  y  ->  x  e.  y )  ->  x  e.  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
287, 27sylbid 215 . . 3  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( x  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  x  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
2928ssrdv 3510 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )
30 ssun1 3667 . . . . 5  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
31 rankssb 8262 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( A  C_  ( A  u.  B )  ->  ( rank `  A
)  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) ) )
3230, 31mpi 17 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  C_  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
33 ssun2 3668 . . . . 5  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
34 rankssb 8262 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( B  C_  ( A  u.  B )  ->  ( rank `  B
)  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) ) )
3533, 34mpi 17 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  B )  C_  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
3632, 35unssd 3680 . . 3  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
371, 36sylbi 195 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) 
C_  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
3829, 37eqssd 3521 1  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818    u. cun 3474    C_ wss 3476   U.cuni 4245   |^|cint 4282   Oncon0 4878   "cima 5002   ` cfv 5586   R1cr1 8176   rankcrnk 8177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-r1 8178  df-rank 8179
This theorem is referenced by:  rankprb  8265  rankopb  8266  rankun  8270  rankaltopb  29203
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