Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankunb Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rankunb 8321
 Description: The rank of the union of two sets. Theorem 15.17(iii) of [Monk1] p. 112. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankunb

Proof of Theorem rankunb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unwf 8281 . . . . . . 7
2 rankval3b 8297 . . . . . . 7
31, 2sylbi 199 . . . . . 6
43eleq2d 2514 . . . . 5
5 vex 3048 . . . . . 6
65elintrab 4246 . . . . 5
74, 6syl6bb 265 . . . 4
8 elun 3574 . . . . . . 7
9 rankelb 8295 . . . . . . . . 9
10 elun1 3601 . . . . . . . . 9
119, 10syl6 34 . . . . . . . 8
12 rankelb 8295 . . . . . . . . 9
13 elun2 3602 . . . . . . . . 9
1412, 13syl6 34 . . . . . . . 8
1511, 14jaao 512 . . . . . . 7
168, 15syl5bi 221 . . . . . 6
1716ralrimiv 2800 . . . . 5
18 rankon 8266 . . . . . . 7
19 rankon 8266 . . . . . . 7
2018, 19onun2i 5538 . . . . . 6
21 eleq2 2518 . . . . . . . . 9
2221ralbidv 2827 . . . . . . . 8
23 eleq2 2518 . . . . . . . 8
2422, 23imbi12d 322 . . . . . . 7
2524rspcv 3146 . . . . . 6
2620, 25ax-mp 5 . . . . 5
2717, 26syl5com 31 . . . 4
287, 27sylbid 219 . . 3
2928ssrdv 3438 . 2
30 ssun1 3597 . . . . 5
31 rankssb 8319 . . . . 5
3230, 31mpi 20 . . . 4
33 ssun2 3598 . . . . 5
34 rankssb 8319 . . . . 5
3533, 34mpi 20 . . . 4
3632, 35unssd 3610 . . 3
371, 36sylbi 199 . 2
3829, 37eqssd 3449 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 370   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  crab 2741   cun 3402   wss 3404  cuni 4198  cint 4234  cima 4837  con0 5423  cfv 5582  cr1 8233  crnk 8234 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-r1 8235  df-rank 8236 This theorem is referenced by:  rankprb  8322  rankopb  8323  rankun  8327  rankaltopb  30746
 Copyright terms: Public domain W3C validator