MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ranksuc Structured version   Unicode version

Theorem ranksuc 8339
Description: The rank of a successor. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
rankr1b.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
ranksuc  |-  ( rank `  suc  A )  =  suc  ( rank `  A
)

Proof of Theorem ranksuc
StepHypRef Expression
1 df-suc 5446 . . 3  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
21fveq2i 5882 . 2  |-  ( rank `  suc  A )  =  ( rank `  ( A  u.  { A } ) )
3 rankr1b.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
4 snex 4660 . . . 4  |-  { A }  e.  _V
53, 4rankun 8330 . . 3  |-  ( rank `  ( A  u.  { A } ) )  =  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  { A } ) )
63ranksn 8328 . . . . 5  |-  ( rank `  { A } )  =  suc  ( rank `  A )
76uneq2i 3618 . . . 4  |-  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  { A } ) )  =  ( ( rank `  A
)  u.  suc  ( rank `  A ) )
8 sssucid 5517 . . . . 5  |-  ( rank `  A )  C_  suc  ( rank `  A )
9 ssequn1 3637 . . . . 5  |-  ( (
rank `  A )  C_ 
suc  ( rank `  A
)  <->  ( ( rank `  A )  u.  suc  ( rank `  A )
)  =  suc  ( rank `  A ) )
108, 9mpbi 212 . . . 4  |-  ( (
rank `  A )  u.  suc  ( rank `  A
) )  =  suc  ( rank `  A )
117, 10eqtri 2452 . . 3  |-  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  { A } ) )  =  suc  ( rank `  A
)
125, 11eqtri 2452 . 2  |-  ( rank `  ( A  u.  { A } ) )  =  suc  ( rank `  A
)
132, 12eqtri 2452 1  |-  ( rank `  suc  A )  =  suc  ( rank `  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1438    e. wcel 1869   _Vcvv 3082    u. cun 3435    C_ wss 3437   {csn 3997   suc csuc 5442   ` cfv 5599   rankcrnk 8237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-reg 8111  ax-inf2 8150
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-om 6705  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-r1 8238  df-rank 8239
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator