MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ranksnb Unicode version

Theorem ranksnb 7383
Description: The rank of a singleton. Theorem 15.17(v) of [Monk1] p. 112. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ranksnb  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  { A } )  =  suc  ( rank `  A )
)

Proof of Theorem ranksnb
StepHypRef Expression
1 fveq2 5377 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( rank `  y )  =  ( rank `  A
) )
21eleq1d 2319 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
( rank `  y )  e.  x  <->  ( rank `  A
)  e.  x ) )
32ralsng 3576 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( A. y  e. 
{ A }  ( rank `  y )  e.  x  <->  ( rank `  A
)  e.  x ) )
43rabbidv 2719 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  { x  e.  On  |  A. y  e.  { A }  ( rank `  y )  e.  x }  =  { x  e.  On  |  ( rank `  A )  e.  x } )
54inteqd 3765 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  { A }  ( rank `  y )  e.  x }  =  |^| { x  e.  On  |  ( rank `  A )  e.  x } )
6 snwf 7365 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  { A }  e.  U. ( R1 " On ) )
7 rankval3b 7382 . . 3  |-  ( { A }  e.  U. ( R1 " On )  ->  ( rank `  { A } )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  { A }  ( rank `  y
)  e.  x }
)
86, 7syl 17 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  { A } )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  { A }  ( rank `  y
)  e.  x }
)
9 rankon 7351 . . 3  |-  ( rank `  A )  e.  On
10 onsucmin 4503 . . 3  |-  ( (
rank `  A )  e.  On  ->  suc  ( rank `  A )  =  |^| { x  e.  On  | 
( rank `  A )  e.  x } )
119, 10mp1i 13 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  suc  ( rank `  A
)  =  |^| { x  e.  On  |  ( rank `  A )  e.  x } )
125, 8, 113eqtr4d 2295 1  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  { A } )  =  suc  ( rank `  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   {crab 2512   {csn 3544   U.cuni 3727   |^|cint 3760   Oncon0 4285   suc csuc 4287   "cima 4583   ` cfv 4592   R1cr1 7318   rankcrnk 7319
This theorem is referenced by:  rankprb  7407  ranksn  7410  rankcf  8279  rankaltopb  23687
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-r1 7320  df-rank 7321
  Copyright terms: Public domain W3C validator