MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankr1a Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rankr1a 8332
Description: A relationship between rank and  R1, clearly equivalent to ssrankr1 8331 and friends through trichotomy, but in Raph's opinion considerably more intuitive. See rankr1b 8360 for the subset version. (Contributed by Raph Levien, 29-May-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
rankid.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankr1a  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  ( R1 `  B )  <->  ( rank `  A )  e.  B
) )

Proof of Theorem rankr1a
StepHypRef Expression
1 rankid.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
21ssrankr1 8331 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  ( rank `  A
)  <->  -.  A  e.  ( R1 `  B ) ) )
3 rankon 8291 . . . 4  |-  ( rank `  A )  e.  On
4 ontri1 5475 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  ( rank `  A )  e.  On )  ->  ( B  C_  ( rank `  A
)  <->  -.  ( rank `  A )  e.  B
) )
53, 4mpan2 682 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  ( B  C_  ( rank `  A
)  <->  -.  ( rank `  A )  e.  B
) )
62, 5bitr3d 263 . 2  |-  ( B  e.  On  ->  ( -.  A  e.  ( R1 `  B )  <->  -.  ( rank `  A )  e.  B ) )
76con4bid 299 1  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  ( R1 `  B )  <->  ( rank `  A )  e.  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    e. wcel 1897   _Vcvv 3056    C_ wss 3415   Oncon0 5441   ` cfv 5600   R1cr1 8258   rankcrnk 8259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-reg 8132  ax-inf2 8171
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-om 6719  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-r1 8260  df-rank 8261
This theorem is referenced by:  r1val2  8333  r1pwALT  8342  elhf2  30990
  Copyright terms: Public domain W3C validator