MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankpw Structured version   Unicode version

Theorem rankpw 8156
Description: The rank of a power set. Part of Exercise 30 of [Enderton] p. 207. (Contributed by NM, 22-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rankpw.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankpw  |-  ( rank `  ~P A )  =  suc  ( rank `  A
)

Proof of Theorem rankpw
StepHypRef Expression
1 rankpw.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
2 unir1 8126 . . 3  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
31, 2eleqtrri 2539 . 2  |-  A  e. 
U. ( R1 " On )
4 rankpwi 8136 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  ~P A )  =  suc  ( rank `  A ) )
53, 4ax-mp 5 1  |-  ( rank `  ~P A )  =  suc  ( rank `  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3072   ~Pcpw 3963   U.cuni 4194   Oncon0 4822   suc csuc 4824   "cima 4946   ` cfv 5521   R1cr1 8075   rankcrnk 8076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-reg 7913  ax-inf2 7953
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-om 6582  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-r1 8077  df-rank 8078
This theorem is referenced by:  ranklim  8157  r1pwOLD  8159  rankuni  8176  rankc2  8184  rankxpu  8189  rankmapu  8191  rankpwg  28346
  Copyright terms: Public domain W3C validator