MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankpr Structured version   Unicode version

Theorem rankpr 8306
Description: The rank of an unordered pair. Part of Exercise 30 of [Enderton] p. 207. (Contributed by NM, 28-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ranksn.1  |-  A  e. 
_V
rankun.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankpr  |-  ( rank `  { A ,  B } )  =  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )

Proof of Theorem rankpr
StepHypRef Expression
1 ranksn.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
2 unir1 8262 . . 3  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
31, 2eleqtrri 2489 . 2  |-  A  e. 
U. ( R1 " On )
4 rankun.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
54, 2eleqtrri 2489 . 2  |-  B  e. 
U. ( R1 " On )
6 rankprb 8300 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  { A ,  B }
)  =  suc  (
( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )
73, 5, 6mp2an 670 1  |-  ( rank `  { A ,  B } )  =  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    u. cun 3411   {cpr 3973   U.cuni 4190   "cima 4825   Oncon0 5409   suc csuc 5411   ` cfv 5568   R1cr1 8211   rankcrnk 8212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-reg 8051  ax-inf2 8090
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-r1 8213  df-rank 8214
This theorem is referenced by:  rankelpr  8322  rankelop  8323
  Copyright terms: Public domain W3C validator