Theorem rankop 8310

Description: The rank of an ordered pair. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. (Contributed by NM, 13-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ranksn.1	|- A e. _V
rankun.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
rankop	|- ( rank ` <. A , B >. ) = suc suc ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) )

Proof of Theorem rankop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ranksn.1	. . 3 |- A e. _V
2		unir1 8265	. . 3 |- U. ( R1 " On ) = _V
3	1, 2	eleqtrri 2491	. 2 |- A e. U. ( R1 " On )
4		rankun.2	. . 3 |- B e. _V
5	4, 2	eleqtrri 2491	. 2 |- B e. U. ( R1 " On )
6		rankopb 8304	. 2 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( rank ` <. A , B >. ) = suc suc ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )
7	3, 5, 6	mp2an 672	1 |- ( rank ` <. A , B >. ) = suc suc ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) )

Syntax hints:   = wceq 1407   e. wcel 1844   _Vcvv 3061   u. cun 3414   <.cop 3980   U.cuni 4193   "cima 4828   Oncon0 5412   suc csuc 5414   ` cfv 5571   R1cr1 8214   rankcrnk 8215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-reg 8054  ax-inf2 8093

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-r1 8216  df-rank 8217

This theorem is referenced by:  rankelop  8326