Theorem rankop 8272

Description: The rank of an ordered pair. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. (Contributed by NM, 13-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ranksn.1	|- A e. _V
rankun.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
rankop	|- ( rank ` <. A , B >. ) = suc suc ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) )

Proof of Theorem rankop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ranksn.1	. . 3 |- A e. _V
2		unir1 8227	. . 3 |- U. ( R1 " On ) = _V
3	1, 2	eleqtrri 2554	. 2 |- A e. U. ( R1 " On )
4		rankun.2	. . 3 |- B e. _V
5	4, 2	eleqtrri 2554	. 2 |- B e. U. ( R1 " On )
6		rankopb 8266	. 2 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( rank ` <. A , B >. ) = suc suc ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )
7	3, 5, 6	mp2an 672	1 |- ( rank ` <. A , B >. ) = suc suc ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) )

Syntax hints:   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   u. cun 3474   <.cop 4033   U.cuni 4245   Oncon0 4878   suc csuc 4880   "cima 5002   ` cfv 5586   R1cr1 8176   rankcrnk 8177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-reg 8014  ax-inf2 8054

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-r1 8178  df-rank 8179

This theorem is referenced by:  rankelop  8288