Theorem rankop 7740

Description: The rank of an ordered pair. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. (Contributed by NM, 13-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ranksn.1	|- A e. _V
rankun.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
rankop	|- ( rank ` <. A , B >. ) = suc suc ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) )

Proof of Theorem rankop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ranksn.1	. . 3 |- A e. _V
2		unir1 7695	. . 3 |- U. ( R1 " On ) = _V
3	1, 2	eleqtrri 2477	. 2 |- A e. U. ( R1 " On )
4		rankun.2	. . 3 |- B e. _V
5	4, 2	eleqtrri 2477	. 2 |- B e. U. ( R1 " On )
6		rankopb 7734	. 2 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( rank ` <. A , B >. ) = suc suc ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )
7	3, 5, 6	mp2an 654	1 |- ( rank ` <. A , B >. ) = suc suc ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) )

Syntax hints:   = wceq 1649   e. wcel 1721   _Vcvv 2916   u. cun 3278   <.cop 3777   U.cuni 3975   Oncon0 4541   suc csuc 4543   "cima 4840   ` cfv 5413   R1cr1 7644   rankcrnk 7645

This theorem is referenced by:  rankelop  7756

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-reg 7516  ax-inf2 7552

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-r1 7646  df-rank 7647