Theorem rankop 8168

Description: The rank of an ordered pair. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. (Contributed by NM, 13-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ranksn.1	|- A e. _V
rankun.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
rankop	|- ( rank ` <. A , B >. ) = suc suc ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) )

Proof of Theorem rankop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ranksn.1	. . 3 |- A e. _V
2		unir1 8123	. . 3 |- U. ( R1 " On ) = _V
3	1, 2	eleqtrri 2538	. 2 |- A e. U. ( R1 " On )
4		rankun.2	. . 3 |- B e. _V
5	4, 2	eleqtrri 2538	. 2 |- B e. U. ( R1 " On )
6		rankopb 8162	. 2 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. U. ( R1 " On ) ) -> ( rank ` <. A , B >. ) = suc suc ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) ) )
7	3, 5, 6	mp2an 672	1 |- ( rank ` <. A , B >. ) = suc suc ( ( rank ` A ) u. ( rank ` B ) )

Syntax hints:   = wceq 1370   e. wcel 1758   _Vcvv 3070   u. cun 3426   <.cop 3983   U.cuni 4191   Oncon0 4819   suc csuc 4821   "cima 4943   ` cfv 5518   R1cr1 8072   rankcrnk 8073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-reg 7910  ax-inf2 7950

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-om 6579  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-r1 8074  df-rank 8075

This theorem is referenced by:  rankelop  8184