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Theorem rankonidlem 8031
Description: Lemma for rankonid 8032. (Contributed by NM, 14-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
rankonidlem  |-  ( A  e.  dom  R1  ->  ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  A )  =  A ) )

Proof of Theorem rankonidlem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1funlim 7969 . . . . 5  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
21simpri 459 . . . 4  |-  Lim  dom  R1
3 limord 4774 . . . 4  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  Ord  dom  R1 )
42, 3ax-mp 5 . . 3  |-  Ord  dom  R1
5 ordelon 4739 . . 3  |-  ( ( Ord  dom  R1  /\  A  e.  dom  R1 )  ->  A  e.  On )
64, 5mpan 665 . 2  |-  ( A  e.  dom  R1  ->  A  e.  On )
7 eleq1 2501 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  dom  R1  <->  y  e.  dom  R1 ) )
8 eleq1 2501 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  U. ( R1 " On )  <->  y  e.  U. ( R1 " On ) ) )
9 fveq2 5688 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( rank `  x )  =  ( rank `  y
) )
10 id 22 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
119, 10eqeq12d 2455 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( rank `  x )  =  x  <->  ( rank `  y
)  =  y ) )
128, 11anbi12d 705 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x
)  =  x )  <-> 
( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) ) )
137, 12imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  dom  R1 
->  ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x
)  =  x ) )  <->  ( y  e. 
dom  R1  ->  ( y  e.  U. ( R1
" On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) ) ) )
14 eleq1 2501 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  dom  R1  <->  A  e.  dom  R1 ) )
15 eleq1 2501 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  U. ( R1 " On )  <->  A  e.  U. ( R1 " On ) ) )
16 fveq2 5688 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( rank `  x )  =  ( rank `  A
) )
17 id 22 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
1816, 17eqeq12d 2455 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( rank `  x )  =  x  <->  ( rank `  A
)  =  A ) )
1915, 18anbi12d 705 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x
)  =  x )  <-> 
( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  A
)  =  A ) ) )
2014, 19imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  dom  R1 
->  ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x
)  =  x ) )  <->  ( A  e. 
dom  R1  ->  ( A  e.  U. ( R1
" On )  /\  ( rank `  A )  =  A ) ) ) )
21 ordtr1 4758 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord 
dom  R1  ->  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  y  e.  dom  R1 ) )
224, 21ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  y  e.  dom  R1 )
2322ancoms 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  dom  R1 )
24 pm5.5 336 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  dom  R1  ->  ( ( y  e.  dom  R1 
->  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  <->  ( y  e. 
U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\  y  e.  x )  ->  ( ( y  e.  dom  R1  ->  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  <-> 
( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) ) )
2625ralbidva 2729 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  R1  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  dom  R1 
->  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  <->  A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) ) )
27 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
y  e.  x )
28 ordelon 4739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Ord  dom  R1  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  x  e.  On )
294, 28mpan 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  dom  R1  ->  x  e.  On )
3029ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  ->  x  e.  On )
31 eloni 4725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  ->  Ord  x )
33 ordelsuc 6430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  x  /\  Ord  x )  ->  (
y  e.  x  <->  suc  y  C_  x ) )
3427, 32, 33syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
( y  e.  x  <->  suc  y  C_  x )
)
3527, 34mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  ->  suc  y  C_  x )
3623adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
y  e.  dom  R1 )
37 limsuc 6459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  ( y  e.  dom  R1  <->  suc  y  e. 
dom  R1 ) )
382, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  dom  R1  <->  suc  y  e. 
dom  R1 )
3936, 38sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  ->  suc  y  e.  dom  R1 )
40 simpll 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  ->  x  e.  dom  R1 )
41 r1ord3g 7982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( suc  y  e.  dom  R1 
/\  x  e.  dom  R1 )  ->  ( suc  y  C_  x  ->  ( R1 `  suc  y ) 
C_  ( R1 `  x ) ) )
4239, 40, 41syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
( suc  y  C_  x  ->  ( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  x ) ) )
4335, 42mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  x ) )
44 rankidb 8003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  U. ( R1
" On )  -> 
y  e.  ( R1
`  suc  ( rank `  y ) ) )
4544ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
y  e.  ( R1
`  suc  ( rank `  y ) ) )
46 suceq 4780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
rank `  y )  =  y  ->  suc  ( rank `  y )  =  suc  y )
4746ad2antll 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  ->  suc  ( rank `  y
)  =  suc  y
)
4847fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
( R1 `  suc  ( rank `  y )
)  =  ( R1
`  suc  y )
)
4945, 48eleqtrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
y  e.  ( R1
`  suc  y )
)
5043, 49sseldd 3354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
y  e.  ( R1
`  x ) )
5150ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\  y  e.  x )  ->  ( ( y  e.  U. ( R1
" On )  /\  ( rank `  y )  =  y )  -> 
y  e.  ( R1
`  x ) ) )
5251ralimdva 2792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  dom  R1  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y )  ->  A. y  e.  x  y  e.  ( R1 `  x ) ) )
5352imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  A. y  e.  x  y  e.  ( R1 `  x ) )
54 dfss3 3343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  ( R1 `  x )  <->  A. y  e.  x  y  e.  ( R1 `  x ) )
5553, 54sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  x  C_  ( R1 `  x ) )
56 vex 2973 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
5756elpw 3863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P ( R1
`  x )  <->  x  C_  ( R1 `  x ) )
5855, 57sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  x  e.  ~P ( R1 `  x
) )
59 r1sucg 7972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  suc  x
)  =  ~P ( R1 `  x ) )
6059adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  ( R1 ` 
suc  x )  =  ~P ( R1 `  x ) )
6158, 60eleqtrrd 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  x  e.  ( R1 `  suc  x
) )
62 r1elwf 7999 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R1 `  suc  x )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
6361, 62syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
64 rankval3b 8029 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  x )  =  |^| { z  e.  On  |  A. y  e.  x  ( rank `  y )  e.  z } )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  ( rank `  x )  =  |^| { z  e.  On  |  A. y  e.  x  ( rank `  y )  e.  z } )
66 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
rank `  y )  =  y  ->  ( (
rank `  y )  e.  z  <->  y  e.  z ) )
6766adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y )  -> 
( ( rank `  y
)  e.  z  <->  y  e.  z ) )
6867ralimi 2789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y )  ->  A. y  e.  x  ( ( rank `  y
)  e.  z  <->  y  e.  z ) )
69 ralbi 2851 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  x  (
( rank `  y )  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  ( A. y  e.  x  ( rank `  y )  e.  z  <->  A. y  e.  x  y  e.  z )
)
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y )  -> 
( A. y  e.  x  ( rank `  y
)  e.  z  <->  A. y  e.  x  y  e.  z ) )
71 dfss3 3343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  z  <->  A. y  e.  x  y  e.  z )
7270, 71syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y )  -> 
( A. y  e.  x  ( rank `  y
)  e.  z  <->  x  C_  z
) )
7372rabbidv 2962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y )  ->  { z  e.  On  |  A. y  e.  x  ( rank `  y )  e.  z }  =  {
z  e.  On  |  x  C_  z } )
7473inteqd 4130 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y )  ->  |^| { z  e.  On  |  A. y  e.  x  ( rank `  y )  e.  z }  =  |^| { z  e.  On  |  x  C_  z } )
7574adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  |^| { z  e.  On  |  A. y  e.  x  ( rank `  y )  e.  z }  =  |^| { z  e.  On  |  x  C_  z } )
7629adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  x  e.  On )
77 intmin 4145 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  On  ->  |^| { z  e.  On  |  x 
C_  z }  =  x )
7876, 77syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  |^| { z  e.  On  |  x 
C_  z }  =  x )
7965, 75, 783eqtrd 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  ( rank `  x )  =  x )
8063, 79jca 529 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x )  =  x ) )
8180ex 434 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  R1  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y )  ->  ( x  e. 
U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x )  =  x ) ) )
8226, 81sylbid 215 . . . . 5  |-  ( x  e.  dom  R1  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  dom  R1 
->  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x )  =  x ) ) )
8382com12 31 . . . 4  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  dom  R1  ->  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  ( x  e.  dom  R1  ->  (
x  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x )  =  x ) ) )
8483a1i 11 . . 3  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  dom  R1 
->  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  ( x  e.  dom  R1  ->  (
x  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x )  =  x ) ) ) )
8513, 20, 84tfis3 6467 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  e.  dom  R1  ->  ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  A )  =  A ) ) )
866, 85mpcom 36 1  |-  ( A  e.  dom  R1  ->  ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  A )  =  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   {crab 2717    C_ wss 3325   ~Pcpw 3857   U.cuni 4088   |^|cint 4125   Ord word 4714   Oncon0 4715   Lim wlim 4716   suc csuc 4717   dom cdm 4836   "cima 4839   Fun wfun 5409   ` cfv 5415   R1cr1 7965   rankcrnk 7966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-om 6476  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-r1 7967  df-rank 7968
This theorem is referenced by:  rankonid  8032  onwf  8033  onssr1  8034
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