MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankonidlem Structured version   Unicode version

Theorem rankonidlem 8289
Description: Lemma for rankonid 8290. (Contributed by NM, 14-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
rankonidlem  |-  ( A  e.  dom  R1  ->  ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  A )  =  A ) )

Proof of Theorem rankonidlem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1funlim 8227 . . . . 5  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
21simpri 463 . . . 4  |-  Lim  dom  R1
3 limord 5492 . . . 4  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  Ord  dom  R1 )
42, 3ax-mp 5 . . 3  |-  Ord  dom  R1
5 ordelon 5457 . . 3  |-  ( ( Ord  dom  R1  /\  A  e.  dom  R1 )  ->  A  e.  On )
64, 5mpan 674 . 2  |-  ( A  e.  dom  R1  ->  A  e.  On )
7 eleq1 2492 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  dom  R1  <->  y  e.  dom  R1 ) )
8 eleq1 2492 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  U. ( R1 " On )  <->  y  e.  U. ( R1 " On ) ) )
9 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( rank `  x )  =  ( rank `  y
) )
10 id 23 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
119, 10eqeq12d 2442 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( rank `  x )  =  x  <->  ( rank `  y
)  =  y ) )
128, 11anbi12d 715 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x
)  =  x )  <-> 
( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) ) )
137, 12imbi12d 321 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  dom  R1 
->  ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x
)  =  x ) )  <->  ( y  e. 
dom  R1  ->  ( y  e.  U. ( R1
" On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) ) ) )
14 eleq1 2492 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  dom  R1  <->  A  e.  dom  R1 ) )
15 eleq1 2492 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  U. ( R1 " On )  <->  A  e.  U. ( R1 " On ) ) )
16 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( rank `  x )  =  ( rank `  A
) )
17 id 23 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
1816, 17eqeq12d 2442 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( rank `  x )  =  x  <->  ( rank `  A
)  =  A ) )
1915, 18anbi12d 715 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x
)  =  x )  <-> 
( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  A
)  =  A ) ) )
2014, 19imbi12d 321 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  dom  R1 
->  ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x
)  =  x ) )  <->  ( A  e. 
dom  R1  ->  ( A  e.  U. ( R1
" On )  /\  ( rank `  A )  =  A ) ) ) )
21 ordtr1 5476 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord 
dom  R1  ->  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  y  e.  dom  R1 ) )
224, 21ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  x  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  y  e.  dom  R1 )
2322ancoms 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  dom  R1 )
24 pm5.5 337 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  dom  R1  ->  ( ( y  e.  dom  R1 
->  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  <->  ( y  e. 
U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) ) )
2523, 24syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\  y  e.  x )  ->  ( ( y  e.  dom  R1  ->  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  <-> 
( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) ) )
2625ralbidva 2859 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  R1  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  dom  R1 
->  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  <->  A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) ) )
27 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
y  e.  x )
28 ordelon 5457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( Ord  dom  R1  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  x  e.  On )
294, 28mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  dom  R1  ->  x  e.  On )
3029ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  ->  x  e.  On )
31 eloni 5443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  ->  Ord  x )
33 ordelsuc 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  x  /\  Ord  x )  ->  (
y  e.  x  <->  suc  y  C_  x ) )
3427, 32, 33syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
( y  e.  x  <->  suc  y  C_  x )
)
3527, 34mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  ->  suc  y  C_  x )
3623adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
y  e.  dom  R1 )
37 limsuc 6681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  ( y  e.  dom  R1  <->  suc  y  e. 
dom  R1 ) )
382, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  dom  R1  <->  suc  y  e. 
dom  R1 )
3936, 38sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  ->  suc  y  e.  dom  R1 )
40 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  ->  x  e.  dom  R1 )
41 r1ord3g 8240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( suc  y  e.  dom  R1 
/\  x  e.  dom  R1 )  ->  ( suc  y  C_  x  ->  ( R1 `  suc  y ) 
C_  ( R1 `  x ) ) )
4239, 40, 41syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
( suc  y  C_  x  ->  ( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  x ) ) )
4335, 42mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  x ) )
44 rankidb 8261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  U. ( R1
" On )  -> 
y  e.  ( R1
`  suc  ( rank `  y ) ) )
4544ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
y  e.  ( R1
`  suc  ( rank `  y ) ) )
46 suceq 5498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
rank `  y )  =  y  ->  suc  ( rank `  y )  =  suc  y )
4746ad2antll 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  ->  suc  ( rank `  y
)  =  suc  y
)
4847fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
( R1 `  suc  ( rank `  y )
)  =  ( R1
`  suc  y )
)
4945, 48eleqtrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
y  e.  ( R1
`  suc  y )
)
5043, 49sseldd 3462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  dom  R1 
/\  y  e.  x
)  /\  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y ) )  -> 
y  e.  ( R1
`  x ) )
5150ex 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\  y  e.  x )  ->  ( ( y  e.  U. ( R1
" On )  /\  ( rank `  y )  =  y )  -> 
y  e.  ( R1
`  x ) ) )
5251ralimdva 2831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  dom  R1  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y )  ->  A. y  e.  x  y  e.  ( R1 `  x ) ) )
5352imp 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  A. y  e.  x  y  e.  ( R1 `  x ) )
54 dfss3 3451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x 
C_  ( R1 `  x )  <->  A. y  e.  x  y  e.  ( R1 `  x ) )
5553, 54sylibr 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  x  C_  ( R1 `  x ) )
56 vex 3081 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
5756elpw 3982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ~P ( R1
`  x )  <->  x  C_  ( R1 `  x ) )
5855, 57sylibr 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  x  e.  ~P ( R1 `  x
) )
59 r1sucg 8230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  suc  x
)  =  ~P ( R1 `  x ) )
6059adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  ( R1 ` 
suc  x )  =  ~P ( R1 `  x ) )
6158, 60eleqtrrd 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  x  e.  ( R1 `  suc  x
) )
62 r1elwf 8257 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R1 `  suc  x )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
6361, 62syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
64 rankval3b 8287 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  x )  =  |^| { z  e.  On  |  A. y  e.  x  ( rank `  y )  e.  z } )
6563, 64syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  ( rank `  x )  =  |^| { z  e.  On  |  A. y  e.  x  ( rank `  y )  e.  z } )
66 eleq1 2492 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
rank `  y )  =  y  ->  ( (
rank `  y )  e.  z  <->  y  e.  z ) )
6766adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y )  -> 
( ( rank `  y
)  e.  z  <->  y  e.  z ) )
6867ralimi 2816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y )  ->  A. y  e.  x  ( ( rank `  y
)  e.  z  <->  y  e.  z ) )
69 ralbi 2957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y  e.  x  (
( rank `  y )  e.  z  <->  y  e.  z )  ->  ( A. y  e.  x  ( rank `  y )  e.  z  <->  A. y  e.  x  y  e.  z )
)
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y )  -> 
( A. y  e.  x  ( rank `  y
)  e.  z  <->  A. y  e.  x  y  e.  z ) )
71 dfss3 3451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
C_  z  <->  A. y  e.  x  y  e.  z )
7270, 71syl6bbr 266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y )  -> 
( A. y  e.  x  ( rank `  y
)  e.  z  <->  x  C_  z
) )
7372rabbidv 3070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y )  ->  { z  e.  On  |  A. y  e.  x  ( rank `  y )  e.  z }  =  {
z  e.  On  |  x  C_  z } )
7473inteqd 4254 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y )  =  y )  ->  |^| { z  e.  On  |  A. y  e.  x  ( rank `  y )  e.  z }  =  |^| { z  e.  On  |  x  C_  z } )
7574adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  |^| { z  e.  On  |  A. y  e.  x  ( rank `  y )  e.  z }  =  |^| { z  e.  On  |  x  C_  z } )
7629adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  x  e.  On )
77 intmin 4269 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  On  ->  |^| { z  e.  On  |  x 
C_  z }  =  x )
7876, 77syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  |^| { z  e.  On  |  x 
C_  z }  =  x )
7965, 75, 783eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  ( rank `  x )  =  x )
8063, 79jca 534 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x )  =  x ) )
8180ex 435 . . . . . 6  |-  ( x  e.  dom  R1  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y )  ->  ( x  e. 
U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x )  =  x ) ) )
8226, 81sylbid 218 . . . . 5  |-  ( x  e.  dom  R1  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  dom  R1 
->  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x )  =  x ) ) )
8382com12 32 . . . 4  |-  ( A. y  e.  x  (
y  e.  dom  R1  ->  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  ( x  e.  dom  R1  ->  (
x  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x )  =  x ) ) )
8483a1i 11 . . 3  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  dom  R1 
->  ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  y
)  =  y ) )  ->  ( x  e.  dom  R1  ->  (
x  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  x )  =  x ) ) ) )
8513, 20, 84tfis3 6689 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  e.  dom  R1  ->  ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  A )  =  A ) ) )
866, 85mpcom 37 1  |-  ( A  e.  dom  R1  ->  ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  A )  =  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   {crab 2777    C_ wss 3433   ~Pcpw 3976   U.cuni 4213   |^|cint 4249   dom cdm 4845   "cima 4848   Ord word 5432   Oncon0 5433   Lim wlim 5434   suc csuc 5435   Fun wfun 5586   ` cfv 5592   R1cr1 8223   rankcrnk 8224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-om 6698  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-r1 8225  df-rank 8226
This theorem is referenced by:  rankonid  8290  onwf  8291  onssr1  8292
  Copyright terms: Public domain W3C validator