MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankon Structured version   Unicode version

Theorem rankon 8002
Description: The rank of a set is an ordinal number. Proposition 9.15(1) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 5-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
rankon  |-  ( rank `  A )  e.  On

Proof of Theorem rankon
StepHypRef Expression
1 rankf 8001 . 2  |-  rank : U. ( R1 " On ) --> On
2 0elon 4772 . 2  |-  (/)  e.  On
31, 2f0cli 5854 1  |-  ( rank `  A )  e.  On
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1756   U.cuni 4091   Oncon0 4719   "cima 4843   ` cfv 5418   R1cr1 7969   rankcrnk 7970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-r1 7971  df-rank 7972
This theorem is referenced by:  rankr1ai  8005  rankr1bg  8010  rankr1clem  8027  rankr1c  8028  rankpwi  8030  rankelb  8031  wfelirr  8032  rankval3b  8033  ranksnb  8034  rankr1a  8043  bndrank  8048  unbndrank  8049  rankunb  8057  rankprb  8058  rankuni2b  8060  rankuni  8070  rankuniss  8073  rankval4  8074  rankbnd2  8076  rankc1  8077  rankc2  8078  rankelun  8079  rankelpr  8080  rankelop  8081  rankmapu  8085  rankxplim  8086  rankxplim3  8088  rankxpsuc  8089  tcrank  8091  scottex  8092  scott0  8093  dfac12lem2  8313  hsmexlem5  8599  r1limwun  8903  wunex3  8908  rankcf  8944  grur1  8987  elhf2  28213  hfuni  28222  dfac11  29415
  Copyright terms: Public domain W3C validator