MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankmapu Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rankmapu 8349
Description: An upper bound on the rank of set exponentiation. (Contributed by Gérard Lang, 5-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxpl.1  |-  A  e. 
_V
rankxpl.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankmapu  |-  ( rank `  ( A  ^m  B
) )  C_  suc  suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)

Proof of Theorem rankmapu
StepHypRef Expression
1 mapsspw 7507 . . 3  |-  ( A  ^m  B )  C_  ~P ( B  X.  A
)
2 rankxpl.2 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
3 rankxpl.1 . . . . . 6  |-  A  e. 
_V
42, 3xpex 6595 . . . . 5  |-  ( B  X.  A )  e. 
_V
54pwex 4586 . . . 4  |-  ~P ( B  X.  A )  e. 
_V
65rankss 8320 . . 3  |-  ( ( A  ^m  B ) 
C_  ~P ( B  X.  A )  ->  ( rank `  ( A  ^m  B ) )  C_  ( rank `  ~P ( B  X.  A ) ) )
71, 6ax-mp 5 . 2  |-  ( rank `  ( A  ^m  B
) )  C_  ( rank `  ~P ( B  X.  A ) )
84rankpw 8314 . . 3  |-  ( rank `  ~P ( B  X.  A ) )  =  suc  ( rank `  ( B  X.  A ) )
92, 3rankxpu 8347 . . . . 5  |-  ( rank `  ( B  X.  A
) )  C_  suc  suc  ( rank `  ( B  u.  A )
)
10 uncom 3578 . . . . . . . 8  |-  ( B  u.  A )  =  ( A  u.  B
)
1110fveq2i 5868 . . . . . . 7  |-  ( rank `  ( B  u.  A
) )  =  (
rank `  ( A  u.  B ) )
12 suceq 5488 . . . . . . 7  |-  ( (
rank `  ( B  u.  A ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  suc  ( rank `  ( B  u.  A
) )  =  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6  |-  suc  ( rank `  ( B  u.  A ) )  =  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)
14 suceq 5488 . . . . . 6  |-  ( suc  ( rank `  ( B  u.  A )
)  =  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  ->  suc  suc  ( rank `  ( B  u.  A )
)  =  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . 5  |-  suc  suc  ( rank `  ( B  u.  A ) )  =  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )
169, 15sseqtri 3464 . . . 4  |-  ( rank `  ( B  X.  A
) )  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)
17 rankon 8266 . . . . . 6  |-  ( rank `  ( B  X.  A
) )  e.  On
1817onordi 5527 . . . . 5  |-  Ord  ( rank `  ( B  X.  A ) )
19 rankon 8266 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  On
2019onsuci 6665 . . . . . . 7  |-  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e.  On
2120onsuci 6665 . . . . . 6  |-  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) )  e.  On
2221onordi 5527 . . . . 5  |-  Ord  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)
23 ordsucsssuc 6650 . . . . 5  |-  ( ( Ord  ( rank `  ( B  X.  A ) )  /\  Ord  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )  ->  ( ( rank `  ( B  X.  A
) )  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  suc  ( rank `  ( B  X.  A ) ) 
C_  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
2418, 22, 23mp2an 678 . . . 4  |-  ( (
rank `  ( B  X.  A ) )  C_  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  suc  ( rank `  ( B  X.  A ) ) 
C_  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
2516, 24mpbi 212 . . 3  |-  suc  ( rank `  ( B  X.  A ) )  C_  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )
268, 25eqsstri 3462 . 2  |-  ( rank `  ~P ( B  X.  A ) )  C_  suc  suc  suc  ( rank `  ( A  u.  B
) )
277, 26sstri 3441 1  |-  ( rank `  ( A  ^m  B
) )  C_  suc  suc 
suc  ( rank `  ( A  u.  B )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 188    = wceq 1444    e. wcel 1887   _Vcvv 3045    u. cun 3402    C_ wss 3404   ~Pcpw 3951    X. cxp 4832   Ord word 5422   suc csuc 5425   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    ^m cmap 7472   rankcrnk 8234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-reg 8107  ax-inf2 8146
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-map 7474  df-pm 7475  df-r1 8235  df-rank 8236
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator