MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankdmr1 Structured version   Unicode version

Theorem rankdmr1 8013
Description: A rank is a member of the cumulative hierarchy. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankdmr1  |-  ( rank `  A )  e.  dom  R1

Proof of Theorem rankdmr1
StepHypRef Expression
1 rankidb 8012 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  e.  ( R1 ` 
suc  ( rank `  A
) ) )
2 elfvdm 5721 . . . 4  |-  ( A  e.  ( R1 `  suc  ( rank `  A
) )  ->  suc  ( rank `  A )  e.  dom  R1 )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  suc  ( rank `  A
)  e.  dom  R1 )
4 r1funlim 7978 . . . . 5  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
54simpri 462 . . . 4  |-  Lim  dom  R1
6 limsuc 6465 . . . 4  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  ( (
rank `  A )  e.  dom  R1  <->  suc  ( rank `  A )  e.  dom  R1 ) )
75, 6ax-mp 5 . . 3  |-  ( (
rank `  A )  e.  dom  R1  <->  suc  ( rank `  A )  e.  dom  R1 )
83, 7sylibr 212 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  e.  dom  R1 )
9 rankvaln 8011 . . 3  |-  ( -.  A  e.  U. ( R1 " On )  -> 
( rank `  A )  =  (/) )
10 limomss 6486 . . . . 5  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  om  C_  dom  R1 )
115, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  om  C_  dom  R1
12 peano1 6500 . . . 4  |-  (/)  e.  om
1311, 12sselii 3358 . . 3  |-  (/)  e.  dom  R1
149, 13syl6eqel 2531 . 2  |-  ( -.  A  e.  U. ( R1 " On )  -> 
( rank `  A )  e.  dom  R1 )
158, 14pm2.61i 164 1  |-  ( rank `  A )  e.  dom  R1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    e. wcel 1756    C_ wss 3333   (/)c0 3642   U.cuni 4096   Oncon0 4724   Lim wlim 4725   suc csuc 4726   dom cdm 4845   "cima 4848   Fun wfun 5417   ` cfv 5423   omcom 6481   R1cr1 7974   rankcrnk 7975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-r1 7976  df-rank 7977
This theorem is referenced by:  r1rankidb  8016  pwwf  8019  unwf  8022  uniwf  8031  rankr1c  8033  rankelb  8036  rankval3b  8038  rankonid  8041  rankssb  8060  rankr1id  8074
  Copyright terms: Public domain W3C validator