MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankdmr1 Structured version   Unicode version

Theorem rankdmr1 8236
Description: A rank is a member of the cumulative hierarchy. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankdmr1  |-  ( rank `  A )  e.  dom  R1

Proof of Theorem rankdmr1
StepHypRef Expression
1 rankidb 8235 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  e.  ( R1 ` 
suc  ( rank `  A
) ) )
2 elfvdm 5898 . . . 4  |-  ( A  e.  ( R1 `  suc  ( rank `  A
) )  ->  suc  ( rank `  A )  e.  dom  R1 )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  suc  ( rank `  A
)  e.  dom  R1 )
4 r1funlim 8201 . . . . 5  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
54simpri 462 . . . 4  |-  Lim  dom  R1
6 limsuc 6683 . . . 4  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  ( (
rank `  A )  e.  dom  R1  <->  suc  ( rank `  A )  e.  dom  R1 ) )
75, 6ax-mp 5 . . 3  |-  ( (
rank `  A )  e.  dom  R1  <->  suc  ( rank `  A )  e.  dom  R1 )
83, 7sylibr 212 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  e.  dom  R1 )
9 rankvaln 8234 . . 3  |-  ( -.  A  e.  U. ( R1 " On )  -> 
( rank `  A )  =  (/) )
10 limomss 6704 . . . . 5  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  om  C_  dom  R1 )
115, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  om  C_  dom  R1
12 peano1 6718 . . . 4  |-  (/)  e.  om
1311, 12sselii 3496 . . 3  |-  (/)  e.  dom  R1
149, 13syl6eqel 2553 . 2  |-  ( -.  A  e.  U. ( R1 " On )  -> 
( rank `  A )  e.  dom  R1 )
158, 14pm2.61i 164 1  |-  ( rank `  A )  e.  dom  R1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    e. wcel 1819    C_ wss 3471   (/)c0 3793   U.cuni 4251   Oncon0 4887   Lim wlim 4888   suc csuc 4889   dom cdm 5008   "cima 5011   Fun wfun 5588   ` cfv 5594   omcom 6699   R1cr1 8197   rankcrnk 8198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-r1 8199  df-rank 8200
This theorem is referenced by:  r1rankidb  8239  pwwf  8242  unwf  8245  uniwf  8254  rankr1c  8256  rankelb  8259  rankval3b  8261  rankonid  8264  rankssb  8283  rankr1id  8297
  Copyright terms: Public domain W3C validator