MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankc2 Structured version   Unicode version

Theorem rankc2 8321
Description: A relationship that can be used for computation of rank. (Contributed by NM, 16-Sep-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
rankr1b.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankc2  |-  ( E. x  e.  A  (
rank `  x )  =  ( rank `  U. A )  ->  ( rank `  A )  =  suc  ( rank `  U. A ) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem rankc2
StepHypRef Expression
1 pwuni 4622 . . . . 5  |-  A  C_  ~P U. A
2 rankr1b.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
32uniex 6578 . . . . . . 7  |-  U. A  e.  _V
43pwex 4577 . . . . . 6  |-  ~P U. A  e.  _V
54rankss 8299 . . . . 5  |-  ( A 
C_  ~P U. A  -> 
( rank `  A )  C_  ( rank `  ~P U. A ) )
61, 5ax-mp 5 . . . 4  |-  ( rank `  A )  C_  ( rank `  ~P U. A
)
73rankpw 8293 . . . 4  |-  ( rank `  ~P U. A )  =  suc  ( rank `  U. A )
86, 7sseqtri 3474 . . 3  |-  ( rank `  A )  C_  suc  ( rank `  U. A )
98a1i 11 . 2  |-  ( E. x  e.  A  (
rank `  x )  =  ( rank `  U. A )  ->  ( rank `  A )  C_  suc  ( rank `  U. A ) )
102rankel 8289 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  ( rank `  x )  e.  ( rank `  A
) )
11 eleq1 2474 . . . . 5  |-  ( (
rank `  x )  =  ( rank `  U. A )  ->  (
( rank `  x )  e.  ( rank `  A
)  <->  ( rank `  U. A )  e.  (
rank `  A )
) )
1210, 11syl5ibcom 220 . . . 4  |-  ( x  e.  A  ->  (
( rank `  x )  =  ( rank `  U. A )  ->  ( rank `  U. A )  e.  ( rank `  A
) ) )
1312rexlimiv 2890 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  (
rank `  x )  =  ( rank `  U. A )  ->  ( rank `  U. A )  e.  ( rank `  A
) )
14 rankon 8245 . . . 4  |-  ( rank `  U. A )  e.  On
15 rankon 8245 . . . 4  |-  ( rank `  A )  e.  On
1614, 15onsucssi 6659 . . 3  |-  ( (
rank `  U. A )  e.  ( rank `  A
)  <->  suc  ( rank `  U. A )  C_  ( rank `  A ) )
1713, 16sylib 196 . 2  |-  ( E. x  e.  A  (
rank `  x )  =  ( rank `  U. A )  ->  suc  ( rank `  U. A ) 
C_  ( rank `  A
) )
189, 17eqssd 3459 1  |-  ( E. x  e.  A  (
rank `  x )  =  ( rank `  U. A )  ->  ( rank `  A )  =  suc  ( rank `  U. A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   E.wrex 2755   _Vcvv 3059    C_ wss 3414   ~Pcpw 3955   U.cuni 4191   suc csuc 5412   ` cfv 5569   rankcrnk 8213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-reg 8052  ax-inf2 8091
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-om 6684  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-r1 8214  df-rank 8215
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator