MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankbnd Structured version   Unicode version

Theorem rankbnd 8187
Description: The rank of a set is bounded by a bound for the successor of its members. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
rankr1b.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankbnd  |-  ( A. x  e.  A  suc  ( rank `  x )  C_  B  <->  ( rank `  A
)  C_  B )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem rankbnd
StepHypRef Expression
1 rankr1b.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
21rankval4 8186 . . 3  |-  ( rank `  A )  =  U_ x  e.  A  suc  ( rank `  x )
32sseq1i 3489 . 2  |-  ( (
rank `  A )  C_  B  <->  U_ x  e.  A  suc  ( rank `  x
)  C_  B )
4 iunss 4320 . 2  |-  ( U_ x  e.  A  suc  ( rank `  x )  C_  B  <->  A. x  e.  A  suc  ( rank `  x
)  C_  B )
53, 4bitr2i 250 1  |-  ( A. x  e.  A  suc  ( rank `  x )  C_  B  <->  ( rank `  A
)  C_  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078    C_ wss 3437   U_ciun 4280   suc csuc 4830   ` cfv 5527   rankcrnk 8082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-reg 7919  ax-inf2 7959
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-om 6588  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-r1 8083  df-rank 8084
This theorem is referenced by:  rankxplim  8198
  Copyright terms: Public domain W3C validator