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Theorem ramval 14948
Description: The value of the Ramsey number function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ramval.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
ramval.t  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
ramval  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  = inf ( T ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable groups:    f, c, x, C    n, c, s, F, f, x    a,
b, c, f, i, n, s, x, M    R, c, f, n, s, x    V, c, f, n, s, x
Allowed substitution hints:    C( i, n, s, a, b)    R( i, a, b)    T( x, f, i, n, s, a, b, c)    F( i, a, b)    V( i, a, b)

Proof of Theorem ramval
Dummy variables  y  m  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ram 14940 . . 3  |- Ramsey  =  ( m  e.  NN0 , 
r  e.  _V  |-> inf ( { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  -> Ramsey 
=  ( m  e. 
NN0 ,  r  e.  _V  |-> inf ( { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) ) } ,  RR* ,  <  ) ) )
3 simplrr 769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  r  =  F )
43dmeqd 5053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  dom  r  =  dom  F )
5 simpll3 1046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  F : R
--> NN0 )
6 fdm 5747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : R --> NN0  ->  dom 
F  =  R )
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  dom  F  =  R )
84, 7eqtrd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  dom  r  =  R )
9 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  m  =  M )
109eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( # `
 y )  =  m  <->  ( # `  y
)  =  M ) )
1110rabbidv 3072 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  { y  e.  ~P s  |  (
# `  y )  =  m }  =  {
y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  M }
)
12 vex 3084 . . . . . . . . . . . 12  |-  s  e. 
_V
13 simpll1 1044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
14 ramval.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
1514hashbcval 14942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  _V  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( s C M )  =  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  M }
)
1612, 13, 15sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( s C M )  =  {
y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  M }
)
1711, 16eqtr4d 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  { y  e.  ~P s  |  (
# `  y )  =  m }  =  ( s C M ) )
188, 17oveq12d 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( dom  r  ^m  { y  e. 
~P s  |  (
# `  y )  =  m } )  =  ( R  ^m  (
s C M ) ) )
1918raleqdv 3031 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e. 
~P s  |  (
# `  y )  =  m } ) E. c  e.  dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) )  <->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) ) )
20 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  M  /\  r  =  F )  ->  r  =  F )
2120dmeqd 5053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  M  /\  r  =  F )  ->  dom  r  =  dom  F )
2263ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  dom  F  =  R )
2321, 22sylan9eqr 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  ->  dom  r  =  R )
2423ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R
--> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  ->  dom  r  =  R )
253ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
r  =  F )
2625fveq1d 5880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( r `  c
)  =  ( F `
 c ) )
2726breq1d 4430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( ( r `  c )  <_  ( # `
 x )  <->  ( F `  c )  <_  ( # `
 x ) ) )
289ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  ->  m  =  M )
2928oveq2d 6318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( x C m )  =  ( x C M ) )
30 vex 3084 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
3113ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  ->  M  e.  NN0 )
3228, 31eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  ->  m  e.  NN0 )
3314hashbcval 14942 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  _V  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( x C m )  =  { y  e.  ~P x  |  ( # `  y
)  =  m }
)
3430, 32, 33sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( x C m )  =  { y  e.  ~P x  |  ( # `  y
)  =  m }
)
3529, 34eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( x C M )  =  { y  e.  ~P x  |  ( # `  y
)  =  m }
)
3635sseq1d 3491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } )  <->  { y  e.  ~P x  |  (
# `  y )  =  m }  C_  ( `' f " {
c } ) ) )
37 rabss 3538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { y  e.  ~P x  |  ( # `  y
)  =  m }  C_  ( `' f " { c } )  <->  A. y  e.  ~P  x ( ( # `  y )  =  m  ->  y  e.  ( `' f " {
c } ) ) )
38 elmapi 7498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) )  ->  f : ( s C M ) --> R )
3938ad3antlr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) )  ->  f :
( s C M ) --> R )
40 ffn 5743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f : ( s C M ) --> R  -> 
f  Fn  ( s C M ) )
41 fniniseg 6015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  Fn  ( s C M )  ->  (
y  e.  ( `' f " { c } )  <->  ( y  e.  ( s C M )  /\  ( f `
 y )  =  c ) ) )
4239, 40, 413syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) )  ->  ( y  e.  ( `' f " { c } )  <-> 
( y  e.  ( s C M )  /\  ( f `  y )  =  c ) ) )
4335eleq2d 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( y  e.  ( x C M )  <-> 
y  e.  { y  e.  ~P x  |  ( # `  y
)  =  m }
) )
44 rabid 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  { y  e. 
~P x  |  (
# `  y )  =  m }  <->  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `
 y )  =  m ) )
4543, 44syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( y  e.  ( x C M )  <-> 
( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) ) )
4645biimpar 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) )  ->  y  e.  ( x C M ) )
4712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
s  e.  _V )
48 elpwi 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ~P s  ->  x  C_  s )
4948adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  ->  x  C_  s )
5014hashbcss 14944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( s  e.  _V  /\  x  C_  s  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
x C M ) 
C_  ( s C M ) )
5147, 49, 31, 50syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( x C M )  C_  ( s C M ) )
5251sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  y  e.  ( x C M ) )  -> 
y  e.  ( s C M ) )
5346, 52syldan 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) )  ->  y  e.  ( s C M ) )
5453biantrurd 510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) )  ->  ( (
f `  y )  =  c  <->  ( y  e.  ( s C M )  /\  ( f `
 y )  =  c ) ) )
5542, 54bitr4d 259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) )  ->  ( y  e.  ( `' f " { c } )  <-> 
( f `  y
)  =  c ) )
5655anassrs 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  y  e.  ~P x
)  /\  ( # `  y
)  =  m )  ->  ( y  e.  ( `' f " { c } )  <-> 
( f `  y
)  =  c ) )
5756pm5.74da 691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  y  e.  ~P x
)  ->  ( (
( # `  y )  =  m  ->  y  e.  ( `' f " { c } ) )  <->  ( ( # `  y )  =  m  ->  ( f `  y )  =  c ) ) )
5857ralbidva 2861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  y  e.  ( `' f " { c } ) )  <->  A. y  e.  ~P  x ( ( # `  y )  =  m  ->  ( f `  y )  =  c ) ) )
5937, 58syl5bb 260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( { y  e. 
~P x  |  (
# `  y )  =  m }  C_  ( `' f " {
c } )  <->  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) )
6036, 59bitr2d 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c )  <->  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )
6127, 60anbi12d 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( ( ( r `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) )  <->  ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
6261rexbidva 2936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R
--> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  ->  ( E. x  e.  ~P  s ( ( r `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) )  <->  E. x  e.  ~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
6324, 62rexeqbidv 3040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R
--> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  ->  ( E. c  e.  dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) )  <->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
6463ralbidva 2861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) )  <->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
6519, 64bitrd 256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e. 
~P s  |  (
# `  y )  =  m } ) E. c  e.  dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) )  <->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
6665imbi2d 317 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) )  <-> 
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) ) )
6766albidv 1757 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  {
y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) )  <->  A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) ) )
6867rabbidva 3071 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  ->  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) ) }  =  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) } )
69 ramval.t . . . 4  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }
7068, 69syl6eqr 2481 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  ->  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) ) }  =  T )
7170infeq1d 7996 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  -> inf ( { n  e.  NN0  |  A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  {
y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) ) } ,  RR* ,  <  )  = inf ( T ,  RR* ,  <  ) )
72 simp1 1005 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
73 simp3 1007 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  F : R --> NN0 )
74 simp2 1006 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  R  e.  V )
75 fex 6150 . . 3  |-  ( ( F : R --> NN0  /\  R  e.  V )  ->  F  e.  _V )
7673, 74, 75syl2anc 665 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  F  e.  _V )
77 xrltso 11441 . . . 4  |-  <  Or  RR*
7877infex 8012 . . 3  |- inf ( T ,  RR* ,  <  )  e.  _V
7978a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  -> inf ( T ,  RR* ,  <  )  e.  _V )
802, 71, 72, 76, 79ovmpt2d 6435 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  = inf ( T ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   {crab 2779   _Vcvv 3081    C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   {csn 3996   class class class wbr 4420   `'ccnv 4849   dom cdm 4850   "cima 4853    Fn wfn 5593   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302    |-> cmpt2 6304    ^m cmap 7477  infcinf 7958   RR*cxr 9675    < clt 9676    <_ cle 9677   NN0cn0 10870   #chash 12515   Ramsey cram 14937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7959  df-inf 7960  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-ram 14940
This theorem is referenced by:  ramcl2lem  14950
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