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Theorem ramval 14067
Description: The value of the Ramsey number function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramval.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
ramval.t  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
ramval  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  =  sup ( T ,  RR* ,  `'  <  ) )
Distinct variable groups:    f, c, x, C    n, c, s, F, f, x    a,
b, c, f, i, n, s, x, M    R, c, f, n, s, x    V, c, f, n, s, x
Allowed substitution hints:    C( i, n, s, a, b)    R( i, a, b)    T( x, f, i, n, s, a, b, c)    F( i, a, b)    V( i, a, b)

Proof of Theorem ramval
Dummy variables  y  m  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ram 14060 . . 3  |- Ramsey  =  ( m  e.  NN0 , 
r  e.  _V  |->  sup ( { n  e. 
NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  -> Ramsey 
=  ( m  e. 
NN0 ,  r  e.  _V  |->  sup ( { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) ) } ,  RR* ,  `'  <  ) ) )
3 simplrr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  r  =  F )
43dmeqd 5040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  dom  r  =  dom  F )
5 simpll3 1029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  F : R
--> NN0 )
6 fdm 5561 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : R --> NN0  ->  dom 
F  =  R )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  dom  F  =  R )
84, 7eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  dom  r  =  R )
9 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  m  =  M )
109eqeq2d 2452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( # `
 y )  =  m  <->  ( # `  y
)  =  M ) )
1110rabbidv 2962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  { y  e.  ~P s  |  (
# `  y )  =  m }  =  {
y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  M }
)
12 vex 2973 . . . . . . . . . . . 12  |-  s  e. 
_V
13 simpll1 1027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
14 ramval.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
1514hashbcval 14061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( s  e.  _V  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( s C M )  =  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  M }
)
1612, 13, 15sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( s C M )  =  {
y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  M }
)
1711, 16eqtr4d 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  { y  e.  ~P s  |  (
# `  y )  =  m }  =  ( s C M ) )
188, 17oveq12d 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( dom  r  ^m  { y  e. 
~P s  |  (
# `  y )  =  m } )  =  ( R  ^m  (
s C M ) ) )
1918raleqdv 2921 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e. 
~P s  |  (
# `  y )  =  m } ) E. c  e.  dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) )  <->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) ) )
20 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  =  M  /\  r  =  F )  ->  r  =  F )
2120dmeqd 5040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  =  M  /\  r  =  F )  ->  dom  r  =  dom  F )
2263ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  dom  F  =  R )
2321, 22sylan9eqr 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  ->  dom  r  =  R )
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R
--> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  ->  dom  r  =  R )
253ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
r  =  F )
2625fveq1d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( r `  c
)  =  ( F `
 c ) )
2726breq1d 4300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( ( r `  c )  <_  ( # `
 x )  <->  ( F `  c )  <_  ( # `
 x ) ) )
289ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  ->  m  =  M )
2928oveq2d 6105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( x C m )  =  ( x C M ) )
30 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
3113ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  ->  M  e.  NN0 )
3228, 31eqeltrd 2515 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  ->  m  e.  NN0 )
3314hashbcval 14061 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  _V  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( x C m )  =  { y  e.  ~P x  |  ( # `  y
)  =  m }
)
3430, 32, 33sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( x C m )  =  { y  e.  ~P x  |  ( # `  y
)  =  m }
)
3529, 34eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( x C M )  =  { y  e.  ~P x  |  ( # `  y
)  =  m }
)
3635sseq1d 3381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } )  <->  { y  e.  ~P x  |  (
# `  y )  =  m }  C_  ( `' f " {
c } ) ) )
37 rabss 3427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { y  e.  ~P x  |  ( # `  y
)  =  m }  C_  ( `' f " { c } )  <->  A. y  e.  ~P  x ( ( # `  y )  =  m  ->  y  e.  ( `' f " {
c } ) ) )
38 elmapi 7232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) )  ->  f : ( s C M ) --> R )
3938ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) )  ->  f :
( s C M ) --> R )
40 ffn 5557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f : ( s C M ) --> R  -> 
f  Fn  ( s C M ) )
41 fniniseg 5822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  Fn  ( s C M )  ->  (
y  e.  ( `' f " { c } )  <->  ( y  e.  ( s C M )  /\  ( f `
 y )  =  c ) ) )
4239, 40, 413syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) )  ->  ( y  e.  ( `' f " { c } )  <-> 
( y  e.  ( s C M )  /\  ( f `  y )  =  c ) ) )
4335eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( y  e.  ( x C M )  <-> 
y  e.  { y  e.  ~P x  |  ( # `  y
)  =  m }
) )
44 rabid 2895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  { y  e. 
~P x  |  (
# `  y )  =  m }  <->  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `
 y )  =  m ) )
4543, 44syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( y  e.  ( x C M )  <-> 
( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) ) )
4645biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) )  ->  y  e.  ( x C M ) )
4712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
s  e.  _V )
48 elpwi 3867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ~P s  ->  x  C_  s )
4948adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  ->  x  C_  s )
5014hashbcss 14063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( s  e.  _V  /\  x  C_  s  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
x C M ) 
C_  ( s C M ) )
5147, 49, 31, 50syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( x C M )  C_  ( s C M ) )
5251sselda 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  y  e.  ( x C M ) )  -> 
y  e.  ( s C M ) )
5346, 52syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) )  ->  y  e.  ( s C M ) )
5453biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) )  ->  ( (
f `  y )  =  c  <->  ( y  e.  ( s C M )  /\  ( f `
 y )  =  c ) ) )
5542, 54bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  ( y  e.  ~P x  /\  ( # `  y
)  =  m ) )  ->  ( y  e.  ( `' f " { c } )  <-> 
( f `  y
)  =  c ) )
5655anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  y  e.  ~P x
)  /\  ( # `  y
)  =  m )  ->  ( y  e.  ( `' f " { c } )  <-> 
( f `  y
)  =  c ) )
5756pm5.74da 687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  /\  y  e.  ~P x
)  ->  ( (
( # `  y )  =  m  ->  y  e.  ( `' f " { c } ) )  <->  ( ( # `  y )  =  m  ->  ( f `  y )  =  c ) ) )
5857ralbidva 2729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  y  e.  ( `' f " { c } ) )  <->  A. y  e.  ~P  x ( ( # `  y )  =  m  ->  ( f `  y )  =  c ) ) )
5937, 58syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( { y  e. 
~P x  |  (
# `  y )  =  m }  C_  ( `' f " {
c } )  <->  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) )
6036, 59bitr2d 254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c )  <->  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )
6127, 60anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  /\  x  e.  ~P s )  -> 
( ( ( r `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) )  <->  ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
6261rexbidva 2730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R
--> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  ->  ( E. x  e.  ~P  s ( ( r `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) )  <->  E. x  e.  ~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
6324, 62rexeqbidv 2930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R
--> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  ->  ( E. c  e.  dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) )  <->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
6463ralbidva 2729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) )  <->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
6519, 64bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e. 
~P s  |  (
# `  y )  =  m } ) E. c  e.  dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  A. y  e. 
~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) )  <->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
6665imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) )  <-> 
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) ) )
6766albidv 1679 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  e. 
NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  (
m  =  M  /\  r  =  F )
)  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  {
y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) )  <->  A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) ) )
6867rabbidva 2961 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  ->  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) ) }  =  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) } )
69 ramval.t . . . 4  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }
7068, 69syl6eqr 2491 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  ->  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) ) }  =  T )
7170supeq1d 7694 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( m  =  M  /\  r  =  F ) )  ->  sup ( { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( dom  r  ^m  { y  e.  ~P s  |  ( # `  y
)  =  m }
) E. c  e. 
dom  r E. x  e.  ~P  s ( ( r `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  A. y  e.  ~P  x ( (
# `  y )  =  m  ->  ( f `
 y )  =  c ) ) ) } ,  RR* ,  `'  <  )  =  sup ( T ,  RR* ,  `'  <  ) )
72 simp1 988 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
73 simp3 990 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  F : R --> NN0 )
74 simp2 989 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  R  e.  V )
75 fex 5948 . . 3  |-  ( ( F : R --> NN0  /\  R  e.  V )  ->  F  e.  _V )
7673, 74, 75syl2anc 661 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  F  e.  _V )
77 xrltso 11116 . . . . 5  |-  <  Or  RR*
78 cnvso 5374 . . . . 5  |-  (  < 
Or  RR*  <->  `'  <  Or  RR* )
7977, 78mpbi 208 . . . 4  |-  `'  <  Or 
RR*
8079supex 7711 . . 3  |-  sup ( T ,  RR* ,  `'  <  )  e.  _V
8180a1i 11 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  sup ( T ,  RR* ,  `'  <  )  e.  _V )
822, 71, 72, 76, 81ovmpt2d 6216 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  =  sup ( T ,  RR* ,  `'  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970    C_ wss 3326   ~Pcpw 3858   {csn 3875   class class class wbr 4290    Or wor 4638   `'ccnv 4837   dom cdm 4838   "cima 4841    Fn wfn 5411   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    e. cmpt2 6091    ^m cmap 7212   supcsup 7688   RR*cxr 9415    < clt 9416    <_ cle 9417   NN0cn0 10577   #chash 12101   Ramsey cram 14058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-sup 7689  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-ram 14060
This theorem is referenced by:  ramcl2lem  14068
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