MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramubcl Structured version   Unicode version

Theorem ramubcl 14939
Description: If the Ramsey number is upper bounded, then it is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ramubcl  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( M Ramsey  F
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem ramubcl
StepHypRef Expression
1 nn0re 10878 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
2 ltpnf 11422 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  < +oo )
3 rexr 9685 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
4 pnfxr 11412 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
5 xrltnle 9700 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( A  < +oo  <->  -. +oo  <_  A
) )
63, 4, 5sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  < +oo  <->  -. +oo  <_  A
) )
72, 6mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  -. +oo 
<_  A )
81, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN0  ->  -. +oo  <_  A )
98ad2antrl 732 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  -. +oo  <_  A
)
10 simprr 764 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( M Ramsey  F
)  <_  A )
11 breq1 4429 . . . . 5  |-  ( ( M Ramsey  F )  = +oo  ->  ( ( M Ramsey  F )  <_  A  <-> +oo 
<_  A ) )
1210, 11syl5ibcom 223 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( ( M Ramsey  F )  = +oo  -> +oo  <_  A )
)
139, 12mtod 180 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  -.  ( M Ramsey  F )  = +oo )
14 elsni 4027 . . 3  |-  ( ( M Ramsey  F )  e. 
{ +oo }  ->  ( M Ramsey  F )  = +oo )
1513, 14nsyl 124 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  -.  ( M Ramsey  F )  e.  { +oo } )
16 ramcl2 14936 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) )
1716adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( M Ramsey  F
)  e.  ( NN0 
u.  { +oo } ) )
18 elun 3612 . . . 4  |-  ( ( M Ramsey  F )  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  <->  ( ( M Ramsey  F )  e.  NN0  \/  ( M Ramsey  F )  e.  { +oo }
) )
1917, 18sylib 199 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( ( M Ramsey  F )  e.  NN0  \/  ( M Ramsey  F )  e.  { +oo }
) )
2019ord 378 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( -.  ( M Ramsey  F )  e.  NN0  ->  ( M Ramsey  F )  e.  { +oo }
) )
2115, 20mt3d 128 1  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( M Ramsey  F
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    u. cun 3440   {csn 4002   class class class wbr 4426   -->wf 5597  (class class class)co 6305   RRcr 9537   +oocpnf 9671   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675   NN0cn0 10869   Ramsey cram 14912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-inf 7963  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-ram 14915
This theorem is referenced by:  ramlb  14940  0ram  14941  ram0  14943  ramz2  14945  ramcl  14950
  Copyright terms: Public domain W3C validator