MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramubcl Structured version   Unicode version

Theorem ramubcl 14395
Description: If the Ramsey number is upper bounded, then it is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ramubcl  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( M Ramsey  F
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem ramubcl
StepHypRef Expression
1 nn0re 10804 . . . . . 6  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
2 ltpnf 11331 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  < +oo )
3 rexr 9639 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
4 pnfxr 11321 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
5 xrltnle 9653 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( A  < +oo  <->  -. +oo  <_  A
) )
63, 4, 5sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  < +oo  <->  -. +oo  <_  A
) )
72, 6mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  -. +oo 
<_  A )
81, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  NN0  ->  -. +oo  <_  A )
98ad2antrl 727 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  -. +oo  <_  A
)
10 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( M Ramsey  F
)  <_  A )
11 breq1 4450 . . . . 5  |-  ( ( M Ramsey  F )  = +oo  ->  ( ( M Ramsey  F )  <_  A  <-> +oo 
<_  A ) )
1210, 11syl5ibcom 220 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( ( M Ramsey  F )  = +oo  -> +oo  <_  A )
)
139, 12mtod 177 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  -.  ( M Ramsey  F )  = +oo )
14 elsni 4052 . . 3  |-  ( ( M Ramsey  F )  e. 
{ +oo }  ->  ( M Ramsey  F )  = +oo )
1513, 14nsyl 121 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  -.  ( M Ramsey  F )  e.  { +oo } )
16 ramcl2 14393 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  e.  ( NN0  u.  { +oo } ) )
1716adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( M Ramsey  F
)  e.  ( NN0 
u.  { +oo } ) )
18 elun 3645 . . . 4  |-  ( ( M Ramsey  F )  e.  ( NN0  u.  { +oo } )  <->  ( ( M Ramsey  F )  e.  NN0  \/  ( M Ramsey  F )  e.  { +oo }
) )
1917, 18sylib 196 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( ( M Ramsey  F )  e.  NN0  \/  ( M Ramsey  F )  e.  { +oo }
) )
2019ord 377 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( -.  ( M Ramsey  F )  e.  NN0  ->  ( M Ramsey  F )  e.  { +oo }
) )
2115, 20mt3d 125 1  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  ( A  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  F )  <_  A ) )  ->  ( M Ramsey  F
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    u. cun 3474   {csn 4027   class class class wbr 4447   -->wf 5584  (class class class)co 6284   RRcr 9491   +oocpnf 9625   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629   NN0cn0 10795   Ramsey cram 14376
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-ram 14378
This theorem is referenced by:  ramlb  14396  0ram  14397  ram0  14399  ramz2  14401  ramcl  14406
  Copyright terms: Public domain W3C validator