Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramub2 Structured version   Unicode version

Theorem ramub2 14067
 Description: It is sufficient to check the Ramsey property on finite sets of size equal to the upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rami.c
rami.m
rami.r
rami.f
ramub2.n
ramub2.i
Assertion
Ref Expression
ramub2 Ramsey
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,,,,   ,,,,   ,,,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   ()   (,,)

Proof of Theorem ramub2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rami.c . 2
2 rami.m . 2
3 rami.r . 2
4 rami.f . 2
5 ramub2.n . 2
65adantr 465 . . . . . . 7
7 hashfz1 12109 . . . . . . 7
86, 7syl 16 . . . . . 6
9 simprl 755 . . . . . 6
108, 9eqbrtrd 4307 . . . . 5
11 fzfid 11787 . . . . . 6
12 vex 2970 . . . . . 6
13 hashdom 12134 . . . . . 6
1411, 12, 13sylancl 662 . . . . 5
1510, 14mpbid 210 . . . 4
1612domen 7315 . . . 4
1715, 16sylib 196 . . 3
18 simpll 753 . . . . 5
19 ensym 7350 . . . . . . . 8
2019ad2antrl 727 . . . . . . 7
21 hasheni 12111 . . . . . . 7
2220, 21syl 16 . . . . . 6
235ad2antrr 725 . . . . . . 7
2423, 7syl 16 . . . . . 6
2522, 24eqtrd 2470 . . . . 5
26 simplrr 760 . . . . . 6
2712a1i 11 . . . . . . 7
28 simprr 756 . . . . . . 7
292ad2antrr 725 . . . . . . 7
301hashbcss 14057 . . . . . . 7
3127, 28, 29, 30syl3anc 1218 . . . . . 6
32 fssres 5573 . . . . . 6
3326, 31, 32syl2anc 661 . . . . 5
34 vex 2970 . . . . . . 7
3534resex 5145 . . . . . 6
36 feq1 5537 . . . . . . . . 9
3736anbi2d 703 . . . . . . . 8
3837anbi2d 703 . . . . . . 7
39 cnveq 5008 . . . . . . . . . . . 12
4039imaeq1d 5163 . . . . . . . . . . 11
41 cnvresima 5322 . . . . . . . . . . 11
4240, 41syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10
4342sseq2d 3379 . . . . . . . . 9
4443anbi2d 703 . . . . . . . 8
45442rexbidv 2753 . . . . . . 7
4638, 45imbi12d 320 . . . . . 6
47 ramub2.i . . . . . 6
4835, 46, 47vtocl 3019 . . . . 5
4918, 25, 33, 48syl12anc 1216 . . . 4
50 sstr 3359 . . . . . . . . . 10
5150expcom 435 . . . . . . . . 9
5251ad2antll 728 . . . . . . . 8
53 selpw 3862 . . . . . . . 8
54 selpw 3862 . . . . . . . 8
5552, 53, 543imtr4g 270 . . . . . . 7
56 id 22 . . . . . . . . . 10
57 inss1 3565 . . . . . . . . . 10
5856, 57syl6ss 3363 . . . . . . . . 9
5958a1i 11 . . . . . . . 8
6059anim2d 565 . . . . . . 7
6155, 60anim12d 563 . . . . . 6
6261reximdv2 2820 . . . . 5
6362reximdv 2822 . . . 4
6449, 63mpd 15 . . 3
6517, 64exlimddv 1692 . 2
661, 2, 3, 4, 5, 65ramub 14066 1 Ramsey
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1369  wex 1586   wcel 1756  wrex 2711  crab 2714  cvv 2967   cin 3322   wss 3323  cpw 3855  csn 3872   class class class wbr 4287  ccnv 4834   cres 4837  cima 4838  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6086   cmpt2 6088   cen 7299   cdom 7300  cfn 7302  c1 9275   cle 9411  cn0 10571  cfz 11429  chash 12095   Ramsey cram 14052 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-hash 12096  df-ram 14054 This theorem is referenced by:  ramub1  14081
 Copyright terms: Public domain W3C validator