Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramub2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ramub2 15050
 Description: It is sufficient to check the Ramsey property on finite sets of size equal to the upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rami.c
rami.m
rami.r
rami.f
ramub2.n
ramub2.i
Assertion
Ref Expression
ramub2 Ramsey
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,,,,   ,,,,   ,,,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   ()   (,,)

Proof of Theorem ramub2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rami.c . 2
2 rami.m . 2
3 rami.r . 2
4 rami.f . 2
5 ramub2.n . 2
65adantr 472 . . . . . . 7
7 hashfz1 12567 . . . . . . 7
86, 7syl 17 . . . . . 6
9 simprl 772 . . . . . 6
108, 9eqbrtrd 4416 . . . . 5
11 fzfid 12224 . . . . . 6
12 vex 3034 . . . . . 6
13 hashdom 12596 . . . . . 6
1411, 12, 13sylancl 675 . . . . 5
1510, 14mpbid 215 . . . 4
1612domen 7600 . . . 4
1715, 16sylib 201 . . 3
18 simpll 768 . . . . 5
19 ensym 7636 . . . . . . . 8
2019ad2antrl 742 . . . . . . 7
21 hasheni 12569 . . . . . . 7
2220, 21syl 17 . . . . . 6
235ad2antrr 740 . . . . . . 7
2423, 7syl 17 . . . . . 6
2522, 24eqtrd 2505 . . . . 5
26 simplrr 779 . . . . . 6
2712a1i 11 . . . . . . 7
28 simprr 774 . . . . . . 7
292ad2antrr 740 . . . . . . 7
301hashbcss 15035 . . . . . . 7
3127, 28, 29, 30syl3anc 1292 . . . . . 6
3226, 31fssresd 5762 . . . . 5
33 vex 3034 . . . . . . 7
3433resex 5154 . . . . . 6
35 feq1 5720 . . . . . . . . 9
3635anbi2d 718 . . . . . . . 8
3736anbi2d 718 . . . . . . 7
38 cnveq 5013 . . . . . . . . . . . 12
3938imaeq1d 5173 . . . . . . . . . . 11
40 cnvresima 5331 . . . . . . . . . . 11
4139, 40syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10
4241sseq2d 3446 . . . . . . . . 9
4342anbi2d 718 . . . . . . . 8
44432rexbidv 2897 . . . . . . 7
4537, 44imbi12d 327 . . . . . 6
46 ramub2.i . . . . . 6
4734, 45, 46vtocl 3086 . . . . 5
4818, 25, 32, 47syl12anc 1290 . . . 4
49 sstr 3426 . . . . . . . . . 10
5049expcom 442 . . . . . . . . 9
5150ad2antll 743 . . . . . . . 8
52 selpw 3949 . . . . . . . 8
53 selpw 3949 . . . . . . . 8
5451, 52, 533imtr4g 278 . . . . . . 7
55 id 22 . . . . . . . . . 10
56 inss1 3643 . . . . . . . . . 10
5755, 56syl6ss 3430 . . . . . . . . 9
5857a1i 11 . . . . . . . 8
5958anim2d 575 . . . . . . 7
6054, 59anim12d 572 . . . . . 6
6160reximdv2 2855 . . . . 5
6261reximdv 2857 . . . 4
6348, 62mpd 15 . . 3
6417, 63exlimddv 1789 . 2
651, 2, 3, 4, 5, 64ramub 15049 1 Ramsey
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   cin 3389   wss 3390  cpw 3942  csn 3959   class class class wbr 4395  ccnv 4838   cres 4841  cima 4842  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310   cen 7584   cdom 7585  cfn 7587  c1 9558   cle 9694  cn0 10893  cfz 11810  chash 12553   Ramsey cram 15028 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-hash 12554  df-ram 15031 This theorem is referenced by:  ramub1  15065
 Copyright terms: Public domain W3C validator