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Theorem ramub1lem2 14416
Description: Lemma for ramub1 14417. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramub1.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
ramub1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
ramub1.f  |-  ( ph  ->  F : R --> NN )
ramub1.g  |-  G  =  ( x  e.  R  |->  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  x ,  ( ( F `  x )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) ) )
ramub1.1  |-  ( ph  ->  G : R --> NN0 )
ramub1.2  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  e.  NN0 )
ramub1.3  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
ramub1.4  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
ramub1.5  |-  ( ph  ->  ( # `  S
)  =  ( ( ( M  -  1 ) Ramsey  G )  +  1 ) )
ramub1.6  |-  ( ph  ->  K : ( S C M ) --> R )
ramub1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
ramub1.h  |-  H  =  ( u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |->  ( K `  ( u  u.  { X } ) ) )
Assertion
Ref Expression
ramub1lem2  |-  ( ph  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) )
Distinct variable groups:    x, u, c, y, z, F    a,
b, c, i, u, x, y, z, M    G, a, c, i, u, x, y, z    R, c, u, x, y, z    ph, c, u, x, y, z    S, a, c, i, u, x, y, z    C, c, u, x, y, z    H, c, u, x, y, z    K, c, u, x, y, z    X, a, c, i, u, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( i, a, b)    C( i, a, b)    R( i, a, b)    S( b)    F( i, a, b)    G( b)    H( i, a, b)    K( i, a, b)    X( b)

Proof of Theorem ramub1lem2
Dummy variables  d 
v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ramub1.3 . . 3  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
2 ramub1.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3 nnm1nn0 10847 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
5 ramub1.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
6 ramub1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G : R --> NN0 )
7 ramub1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  e.  NN0 )
8 ramub1.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
9 diffi 7761 . . . 4  |-  ( S  e.  Fin  ->  ( S  \  { X }
)  e.  Fin )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  \  { X } )  e.  Fin )
117nn0red 10863 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  e.  RR )
1211leidd 10129 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  <_  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )
)
13 hashcl 12406 . . . . . . 7  |-  ( ( S  \  { X } )  e.  Fin  ->  ( # `  ( S  \  { X }
) )  e.  NN0 )
1410, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  ( S  \  { X }
) )  e.  NN0 )
1514nn0cnd 10864 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( S  \  { X }
) )  e.  CC )
167nn0cnd 10864 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  e.  CC )
17 ax-1cn 9560 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
19 undif1 3907 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  \  { X } )  u.  { X } )  =  ( S  u.  { X } )
20 ramub1.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
2120snssd 4177 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { X }  C_  S )
22 ssequn2 3682 . . . . . . . . 9  |-  ( { X }  C_  S  <->  ( S  u.  { X } )  =  S )
2321, 22sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  u.  { X } )  =  S )
2419, 23syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S  \  { X } )  u. 
{ X } )  =  S )
2524fveq2d 5875 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( S  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  ( # `  S
) )
26 neldifsnd 4160 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( S  \  { X } ) )
27 hashunsng 12437 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  (
( ( S  \  { X } )  e. 
Fin  /\  -.  X  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( # `  ( ( S  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  ( S  \  { X }
) )  +  1 ) ) )
2820, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( S 
\  { X }
)  e.  Fin  /\  -.  X  e.  ( S  \  { X }
) )  ->  ( # `
 ( ( S 
\  { X }
)  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  ( S  \  { X }
) )  +  1 ) ) )
2910, 26, 28mp2and 679 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( S  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  ( S  \  { X }
) )  +  1 ) )
30 ramub1.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  S
)  =  ( ( ( M  -  1 ) Ramsey  G )  +  1 ) )
3125, 29, 303eqtr3d 2516 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( S  \  { X }
) )  +  1 )  =  ( ( ( M  -  1 ) Ramsey  G )  +  1 ) )
3215, 16, 18, 31addcan2ad 9795 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  ( S  \  { X }
) )  =  ( ( M  -  1 ) Ramsey  G ) )
3312, 32breqtrrd 4478 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  <_  ( # `  ( S  \  { X }
) ) )
34 ramub1.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K : ( S C M ) --> R )
3534adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  K : ( S C M ) --> R )
361hashbcval 14391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  \  { X } )  e.  Fin  /\  ( M  -  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  =  {
x  e.  ~P ( S  \  { X }
)  |  ( # `  x )  =  ( M  -  1 ) } )
3710, 4, 36syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  =  {
x  e.  ~P ( S  \  { X }
)  |  ( # `  x )  =  ( M  -  1 ) } )
3837eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  <->  u  e.  { x  e.  ~P ( S  \  { X } )  |  ( # `  x
)  =  ( M  -  1 ) } ) )
39 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  u
) )
4039eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  (
( # `  x )  =  ( M  - 
1 )  <->  ( # `  u
)  =  ( M  -  1 ) ) )
4140elrab 3266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  { x  e. 
~P ( S  \  { X } )  |  ( # `  x
)  =  ( M  -  1 ) }  <-> 
( u  e.  ~P ( S  \  { X } )  /\  ( # `
 u )  =  ( M  -  1 ) ) )
4238, 41syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  <->  ( u  e. 
~P ( S  \  { X } )  /\  ( # `  u )  =  ( M  - 
1 ) ) ) )
4342simprbda 623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  u  e.  ~P ( S  \  { X }
) )
4443elpwid 4025 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  u  C_  ( S  \  { X } ) )
4544difss2d 3639 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  u  C_  S )
4621adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  { X }  C_  S
)
4745, 46unssd 3685 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  { X } )  C_  S
)
48 vex 3121 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
49 snex 4693 . . . . . . . . . 10  |-  { X }  e.  _V
5048, 49unex 6592 . . . . . . . . 9  |-  ( u  u.  { X }
)  e.  _V
5150elpw 4021 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  u.  { X } )  e.  ~P S 
<->  ( u  u.  { X } )  C_  S
)
5247, 51sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  { X } )  e.  ~P S )
5310adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( S  \  { X } )  e.  Fin )
54 ssfi 7750 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  \  { X } )  e.  Fin  /\  u  C_  ( S  \  { X } ) )  ->  u  e.  Fin )
5553, 44, 54syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  u  e.  Fin )
56 neldifsnd 4160 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  -.  X  e.  ( S  \  { X }
) )
5744, 56ssneldd 3512 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  -.  X  e.  u
)
5820adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  X  e.  S )
59 hashunsng 12437 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  S  ->  (
( u  e.  Fin  /\ 
-.  X  e.  u
)  ->  ( # `  (
u  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  u
)  +  1 ) ) )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( ( u  e. 
Fin  /\  -.  X  e.  u )  ->  ( # `
 ( u  u. 
{ X } ) )  =  ( (
# `  u )  +  1 ) ) )
6155, 57, 60mp2and 679 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( # `  ( u  u.  { X }
) )  =  ( ( # `  u
)  +  1 ) )
6242simplbda 624 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( # `  u )  =  ( M  - 
1 ) )
6362oveq1d 6309 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( ( # `  u
)  +  1 )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )
642nncnd 10562 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
65 npcan 9839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  - 
1 )  +  1 )  =  M )
6664, 17, 65sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  +  1 )  =  M )
6766adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( ( M  - 
1 )  +  1 )  =  M )
6861, 63, 673eqtrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( # `  ( u  u.  { X }
) )  =  M )
69 fveq2 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( u  u. 
{ X } )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( u  u.  { X } ) ) )
7069eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( u  u. 
{ X } )  ->  ( ( # `  x )  =  M  <-> 
( # `  ( u  u.  { X }
) )  =  M ) )
7170elrab 3266 . . . . . . 7  |-  ( ( u  u.  { X } )  e.  {
x  e.  ~P S  |  ( # `  x
)  =  M }  <->  ( ( u  u.  { X } )  e.  ~P S  /\  ( # `  (
u  u.  { X } ) )  =  M ) )
7252, 68, 71sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  { X } )  e.  {
x  e.  ~P S  |  ( # `  x
)  =  M }
)
732nnnn0d 10862 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
741hashbcval 14391 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( S C M )  =  { x  e.  ~P S  |  (
# `  x )  =  M } )
758, 73, 74syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S C M )  =  { x  e.  ~P S  |  (
# `  x )  =  M } )
7675adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( S C M )  =  { x  e.  ~P S  |  (
# `  x )  =  M } )
7772, 76eleqtrrd 2558 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  { X } )  e.  ( S C M ) )
7835, 77ffvelrnd 6032 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( K `  (
u  u.  { X } ) )  e.  R )
79 ramub1.h . . . 4  |-  H  =  ( u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |->  ( K `  ( u  u.  { X } ) ) )
8078, 79fmptd 6055 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) --> R )
811, 4, 5, 6, 7, 10, 33, 80rami 14404 . 2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  R  E. w  e.  ~P  ( S  \  { X } ) ( ( G `  d )  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) )
8273adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  M  e.  NN0 )
835adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  R  e.  Fin )
84 ramub1.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : R --> NN )
8584adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  F : R
--> NN )
86 simprll 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  d  e.  R )
8785, 86ffvelrnd 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( F `  d )  e.  NN )
88 nnm1nn0 10847 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  d )  e.  NN  ->  (
( F `  d
)  -  1 )  e.  NN0 )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( ( F `  d )  -  1 )  e. 
NN0 )
9089adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  y  e.  R
)  ->  ( ( F `  d )  -  1 )  e. 
NN0 )
9185ffvelrnda 6031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  y  e.  R
)  ->  ( F `  y )  e.  NN )
9291nnnn0d 10862 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  y  e.  R
)  ->  ( F `  y )  e.  NN0 )
93 ifcl 3986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  d )  -  1 )  e.  NN0  /\  ( F `  y )  e.  NN0 )  ->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) )  e.  NN0 )
9490, 92, 93syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  y  e.  R
)  ->  if (
y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) )  e.  NN0 )
95 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) )  =  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) )
9694, 95fmptd 6055 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) : R --> NN0 )
97 equequ2 1748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  d  ->  (
y  =  x  <->  y  =  d ) )
98 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  d  ->  ( F `  x )  =  ( F `  d ) )
9998oveq1d 6309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  d  ->  (
( F `  x
)  -  1 )  =  ( ( F `
 d )  - 
1 ) )
10097, 99ifbieq1d 3967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  d  ->  if ( y  =  x ,  ( ( F `
 x )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) )  =  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) )
101100mpteq2dv 4539 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  d  ->  (
y  e.  R  |->  if ( y  =  x ,  ( ( F `
 x )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) )  =  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) )
102101oveq2d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  d  ->  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  x ,  ( ( F `  x )  -  1 ) ,  ( F `  y
) ) ) )  =  ( M Ramsey  (
y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) ) )
103 ramub1.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( x  e.  R  |->  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  x ,  ( ( F `  x )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) ) )
104 ovex 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( M Ramsey 
( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  y
) ) ) )  e.  _V
105102, 103, 104fvmpt 5956 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  R  ->  ( G `  d )  =  ( M Ramsey  (
y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) ) )
10686, 105syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( G `  d )  =  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d
)  -  1 ) ,  ( F `  y ) ) ) ) )
1076adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  G : R
--> NN0 )
108107, 86ffvelrnd 6032 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( G `  d )  e.  NN0 )
109106, 108eqeltrrd 2556 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) )  e. 
NN0 )
110 simprlr 762 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )
111 simprrl 763 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( G `  d )  <_  ( # `
 w ) )
112106, 111eqbrtrrd 4474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) )  <_ 
( # `  w ) )
11334adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  K :
( S C M ) --> R )
1148adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  S  e.  Fin )
115110elpwid 4025 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  w  C_  ( S  \  { X }
) )
116115difss2d 3639 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  w  C_  S
)
1171hashbcss 14393 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  w  C_  S  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
w C M ) 
C_  ( S C M ) )
118114, 116, 82, 117syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( w C M )  C_  ( S C M ) )
119 fssres 5756 . . . . . . 7  |-  ( ( K : ( S C M ) --> R  /\  ( w C M )  C_  ( S C M ) )  ->  ( K  |`  ( w C M ) ) : ( w C M ) --> R )
120113, 118, 119syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( K  |`  ( w C M ) ) : ( w C M ) --> R )
1211, 82, 83, 96, 109, 110, 112, 120rami 14404 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  E. c  e.  R  E. v  e.  ~P  w ( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  y
) ) ) `  c )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) )
122 equequ1 1747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  c  ->  (
y  =  d  <->  c  =  d ) )
123 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  c  ->  ( F `  y )  =  ( F `  c ) )
124122, 123ifbieq2d 3969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  c  ->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) )  =  if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 c ) ) )
125 ovex 6319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  d )  -  1 )  e. 
_V
126 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F `
 c )  e. 
_V
127125, 126ifex 4013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 c ) )  e.  _V
128124, 95, 127fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  R  ->  (
( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  y
) ) ) `  c )  =  if ( c  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  c ) ) )
129128ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( c  e.  R  /\  v  e. 
~P w ) )  ->  ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) `  c )  =  if ( c  =  d ,  ( ( F `  d
)  -  1 ) ,  ( F `  c ) ) )
130129breq1d 4462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( c  e.  R  /\  v  e. 
~P w ) )  ->  ( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) `  c
)  <_  ( # `  v
)  <->  if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v ) ) )
131130anbi1d 704 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( c  e.  R  /\  v  e. 
~P w ) )  ->  ( ( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  y
) ) ) `  c )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) )  <->  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  c ) )  <_  ( # `  v
)  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) ) " {
c } ) ) ) )
1322ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  M  e.  NN )
1335ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  R  e.  Fin )
13484ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  F : R --> NN )
1356ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  G : R --> NN0 )
1367ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  ( ( M  -  1 ) Ramsey  G
)  e.  NN0 )
1378ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  S  e.  Fin )
13830ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  ( # `  S
)  =  ( ( ( M  -  1 ) Ramsey  G )  +  1 ) )
13934ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  K : ( S C M ) --> R )
14020ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  X  e.  S
)
14186adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  d  e.  R
)
142115adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  w  C_  ( S  \  { X }
) )
143111adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  ( G `  d )  <_  ( # `
 w ) )
144 simprrr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) )
145144adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) )
146 simprll 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  c  e.  R
)
147 simprlr 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  v  e.  ~P w )
148147elpwid 4025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  v  C_  w
)
149 simprrl 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  if ( c  =  d ,  ( ( F `  d
)  -  1 ) ,  ( F `  c ) )  <_ 
( # `  v ) )
150 simprrr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) ) " {
c } ) )
151 cnvresima 5501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( K  |`  (
w C M ) ) " { c } )  =  ( ( `' K " { c } )  i^i  ( w C M ) )
152 inss1 3723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' K " { c } )  i^i  (
w C M ) )  C_  ( `' K " { c } )
153151, 152eqsstri 3539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( K  |`  (
w C M ) ) " { c } )  C_  ( `' K " { c } )
154150, 153syl6ss 3521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  ( v C M )  C_  ( `' K " { c } ) )
155132, 133, 134, 103, 135, 136, 1, 137, 138, 139, 140, 79, 141, 142, 143, 145, 146, 148, 149, 154ramub1lem1 14415 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) )
156155expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( c  e.  R  /\  v  e. 
~P w ) )  ->  ( ( if ( c  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  c ) )  <_  ( # `  v
)  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) ) " {
c } ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
157131, 156sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( c  e.  R  /\  v  e. 
~P w ) )  ->  ( ( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  y
) ) ) `  c )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `  c )  <_  ( # `  z
)  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
158157anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( d  e.  R  /\  w  e. 
~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `
 d )  <_ 
( # `  w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  c  e.  R )  /\  v  e.  ~P w )  -> 
( ( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) `  c
)  <_  ( # `  v
)  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) ) " {
c } ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
159158rexlimdva 2959 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  c  e.  R
)  ->  ( E. v  e.  ~P  w
( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) `  c )  <_  ( # `  v
)  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) ) " {
c } ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
160159reximdva 2942 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( E. c  e.  R  E. v  e.  ~P  w
( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) `  c )  <_  ( # `  v
)  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) ) " {
c } ) )  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
161121, 160mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  S ( ( F `  c )  <_  ( # `  z
)  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) )
162161expr 615 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) ) )  ->  ( (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) )  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
163162rexlimdvva 2966 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. d  e.  R  E. w  e. 
~P  ( S  \  { X } ) ( ( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) )  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
16481, 163mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818   {crab 2821   _Vcvv 3118    \ cdif 3478    u. cun 3479    i^i cin 3480    C_ wss 3481   ifcif 3944   ~Pcpw 4015   {csn 4032   class class class wbr 4452    |-> cmpt 4510   `'ccnv 5003    |` cres 5006   "cima 5007   -->wf 5589   ` cfv 5593  (class class class)co 6294    |-> cmpt2 6296   Fincfn 7526   CCcc 9500   1c1 9503    + caddc 9505    <_ cle 9639    - cmin 9815   NNcn 10546   NN0cn0 10805   #chash 12383   Ramsey cram 14388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-sup 7911  df-card 8330  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-hash 12384  df-ram 14390
This theorem is referenced by:  ramub1  14417
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