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Theorem ramub1lem2 14084
Description: Lemma for ramub1 14085. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramub1.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
ramub1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
ramub1.f  |-  ( ph  ->  F : R --> NN )
ramub1.g  |-  G  =  ( x  e.  R  |->  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  x ,  ( ( F `  x )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) ) )
ramub1.1  |-  ( ph  ->  G : R --> NN0 )
ramub1.2  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  e.  NN0 )
ramub1.3  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
ramub1.4  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
ramub1.5  |-  ( ph  ->  ( # `  S
)  =  ( ( ( M  -  1 ) Ramsey  G )  +  1 ) )
ramub1.6  |-  ( ph  ->  K : ( S C M ) --> R )
ramub1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
ramub1.h  |-  H  =  ( u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |->  ( K `  ( u  u.  { X } ) ) )
Assertion
Ref Expression
ramub1lem2  |-  ( ph  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) )
Distinct variable groups:    x, u, c, y, z, F    a,
b, c, i, u, x, y, z, M    G, a, c, i, u, x, y, z    R, c, u, x, y, z    ph, c, u, x, y, z    S, a, c, i, u, x, y, z    C, c, u, x, y, z    H, c, u, x, y, z    K, c, u, x, y, z    X, a, c, i, u, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( i, a, b)    C( i, a, b)    R( i, a, b)    S( b)    F( i, a, b)    G( b)    H( i, a, b)    K( i, a, b)    X( b)

Proof of Theorem ramub1lem2
Dummy variables  d 
v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ramub1.3 . . 3  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
2 ramub1.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3 nnm1nn0 10617 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
5 ramub1.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
6 ramub1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G : R --> NN0 )
7 ramub1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  e.  NN0 )
8 ramub1.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
9 diffi 7539 . . . 4  |-  ( S  e.  Fin  ->  ( S  \  { X }
)  e.  Fin )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  \  { X } )  e.  Fin )
117nn0red 10633 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  e.  RR )
1211leidd 9902 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  <_  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )
)
13 hashcl 12122 . . . . . . 7  |-  ( ( S  \  { X } )  e.  Fin  ->  ( # `  ( S  \  { X }
) )  e.  NN0 )
1410, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  ( S  \  { X }
) )  e.  NN0 )
1514nn0cnd 10634 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( S  \  { X }
) )  e.  CC )
167nn0cnd 10634 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  e.  CC )
17 ax-1cn 9336 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
19 undif1 3751 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  \  { X } )  u.  { X } )  =  ( S  u.  { X } )
20 ramub1.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
2120snssd 4015 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { X }  C_  S )
22 ssequn2 3526 . . . . . . . . 9  |-  ( { X }  C_  S  <->  ( S  u.  { X } )  =  S )
2321, 22sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  u.  { X } )  =  S )
2419, 23syl5eq 2485 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S  \  { X } )  u. 
{ X } )  =  S )
2524fveq2d 5692 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( S  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  ( # `  S
) )
26 neldifsnd 4000 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( S  \  { X } ) )
27 hashunsng 12150 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  (
( ( S  \  { X } )  e. 
Fin  /\  -.  X  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( # `  ( ( S  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  ( S  \  { X }
) )  +  1 ) ) )
2820, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( S 
\  { X }
)  e.  Fin  /\  -.  X  e.  ( S  \  { X }
) )  ->  ( # `
 ( ( S 
\  { X }
)  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  ( S  \  { X }
) )  +  1 ) ) )
2910, 26, 28mp2and 674 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( S  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  ( S  \  { X }
) )  +  1 ) )
30 ramub1.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  S
)  =  ( ( ( M  -  1 ) Ramsey  G )  +  1 ) )
3125, 29, 303eqtr3d 2481 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( S  \  { X }
) )  +  1 )  =  ( ( ( M  -  1 ) Ramsey  G )  +  1 ) )
3215, 16, 18, 31addcan2ad 9571 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  ( S  \  { X }
) )  =  ( ( M  -  1 ) Ramsey  G ) )
3312, 32breqtrrd 4315 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  <_  ( # `  ( S  \  { X }
) ) )
34 ramub1.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K : ( S C M ) --> R )
3534adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  K : ( S C M ) --> R )
361hashbcval 14059 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  \  { X } )  e.  Fin  /\  ( M  -  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  =  {
x  e.  ~P ( S  \  { X }
)  |  ( # `  x )  =  ( M  -  1 ) } )
3710, 4, 36syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  =  {
x  e.  ~P ( S  \  { X }
)  |  ( # `  x )  =  ( M  -  1 ) } )
3837eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  <->  u  e.  { x  e.  ~P ( S  \  { X } )  |  ( # `  x
)  =  ( M  -  1 ) } ) )
39 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  u
) )
4039eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  (
( # `  x )  =  ( M  - 
1 )  <->  ( # `  u
)  =  ( M  -  1 ) ) )
4140elrab 3114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  { x  e. 
~P ( S  \  { X } )  |  ( # `  x
)  =  ( M  -  1 ) }  <-> 
( u  e.  ~P ( S  \  { X } )  /\  ( # `
 u )  =  ( M  -  1 ) ) )
4238, 41syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  <->  ( u  e. 
~P ( S  \  { X } )  /\  ( # `  u )  =  ( M  - 
1 ) ) ) )
4342simprbda 620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  u  e.  ~P ( S  \  { X }
) )
4443elpwid 3867 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  u  C_  ( S  \  { X } ) )
4544difss2d 3483 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  u  C_  S )
4621adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  { X }  C_  S
)
4745, 46unssd 3529 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  { X } )  C_  S
)
48 vex 2973 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
49 snex 4530 . . . . . . . . . 10  |-  { X }  e.  _V
5048, 49unex 6377 . . . . . . . . 9  |-  ( u  u.  { X }
)  e.  _V
5150elpw 3863 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  u.  { X } )  e.  ~P S 
<->  ( u  u.  { X } )  C_  S
)
5247, 51sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  { X } )  e.  ~P S )
5310adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( S  \  { X } )  e.  Fin )
54 ssfi 7529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  \  { X } )  e.  Fin  /\  u  C_  ( S  \  { X } ) )  ->  u  e.  Fin )
5553, 44, 54syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  u  e.  Fin )
56 neldifsnd 4000 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  -.  X  e.  ( S  \  { X }
) )
5744, 56ssneldd 3356 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  -.  X  e.  u
)
5820adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  X  e.  S )
59 hashunsng 12150 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  S  ->  (
( u  e.  Fin  /\ 
-.  X  e.  u
)  ->  ( # `  (
u  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  u
)  +  1 ) ) )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( ( u  e. 
Fin  /\  -.  X  e.  u )  ->  ( # `
 ( u  u. 
{ X } ) )  =  ( (
# `  u )  +  1 ) ) )
6155, 57, 60mp2and 674 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( # `  ( u  u.  { X }
) )  =  ( ( # `  u
)  +  1 ) )
6242simplbda 621 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( # `  u )  =  ( M  - 
1 ) )
6362oveq1d 6105 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( ( # `  u
)  +  1 )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )
642nncnd 10334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
65 npcan 9615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  - 
1 )  +  1 )  =  M )
6664, 17, 65sylancl 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  +  1 )  =  M )
6766adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( ( M  - 
1 )  +  1 )  =  M )
6861, 63, 673eqtrd 2477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( # `  ( u  u.  { X }
) )  =  M )
69 fveq2 5688 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( u  u. 
{ X } )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( u  u.  { X } ) ) )
7069eqeq1d 2449 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( u  u. 
{ X } )  ->  ( ( # `  x )  =  M  <-> 
( # `  ( u  u.  { X }
) )  =  M ) )
7170elrab 3114 . . . . . . 7  |-  ( ( u  u.  { X } )  e.  {
x  e.  ~P S  |  ( # `  x
)  =  M }  <->  ( ( u  u.  { X } )  e.  ~P S  /\  ( # `  (
u  u.  { X } ) )  =  M ) )
7252, 68, 71sylanbrc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  { X } )  e.  {
x  e.  ~P S  |  ( # `  x
)  =  M }
)
732nnnn0d 10632 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
741hashbcval 14059 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( S C M )  =  { x  e.  ~P S  |  (
# `  x )  =  M } )
758, 73, 74syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S C M )  =  { x  e.  ~P S  |  (
# `  x )  =  M } )
7675adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( S C M )  =  { x  e.  ~P S  |  (
# `  x )  =  M } )
7772, 76eleqtrrd 2518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  { X } )  e.  ( S C M ) )
7835, 77ffvelrnd 5841 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( K `  (
u  u.  { X } ) )  e.  R )
79 ramub1.h . . . 4  |-  H  =  ( u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |->  ( K `  ( u  u.  { X } ) ) )
8078, 79fmptd 5864 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) --> R )
811, 4, 5, 6, 7, 10, 33, 80rami 14072 . 2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  R  E. w  e.  ~P  ( S  \  { X } ) ( ( G `  d )  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) )
8273adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  M  e.  NN0 )
835adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  R  e.  Fin )
84 ramub1.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : R --> NN )
8584adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  F : R
--> NN )
86 simprll 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  d  e.  R )
8785, 86ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( F `  d )  e.  NN )
88 nnm1nn0 10617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  d )  e.  NN  ->  (
( F `  d
)  -  1 )  e.  NN0 )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( ( F `  d )  -  1 )  e. 
NN0 )
9089adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  y  e.  R
)  ->  ( ( F `  d )  -  1 )  e. 
NN0 )
9185ffvelrnda 5840 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  y  e.  R
)  ->  ( F `  y )  e.  NN )
9291nnnn0d 10632 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  y  e.  R
)  ->  ( F `  y )  e.  NN0 )
93 ifcl 3828 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  d )  -  1 )  e.  NN0  /\  ( F `  y )  e.  NN0 )  ->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) )  e.  NN0 )
9490, 92, 93syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  y  e.  R
)  ->  if (
y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) )  e.  NN0 )
95 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) )  =  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) )
9694, 95fmptd 5864 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) : R --> NN0 )
97 equequ2 1742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  d  ->  (
y  =  x  <->  y  =  d ) )
98 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  d  ->  ( F `  x )  =  ( F `  d ) )
9998oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  d  ->  (
( F `  x
)  -  1 )  =  ( ( F `
 d )  - 
1 ) )
10097, 99ifbieq1d 3809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  d  ->  if ( y  =  x ,  ( ( F `
 x )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) )  =  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) )
101100mpteq2dv 4376 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  d  ->  (
y  e.  R  |->  if ( y  =  x ,  ( ( F `
 x )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) )  =  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) )
102101oveq2d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  d  ->  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  x ,  ( ( F `  x )  -  1 ) ,  ( F `  y
) ) ) )  =  ( M Ramsey  (
y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) ) )
103 ramub1.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( x  e.  R  |->  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  x ,  ( ( F `  x )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) ) )
104 ovex 6115 . . . . . . . . 9  |-  ( M Ramsey 
( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  y
) ) ) )  e.  _V
105102, 103, 104fvmpt 5771 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  R  ->  ( G `  d )  =  ( M Ramsey  (
y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) ) )
10686, 105syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( G `  d )  =  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d
)  -  1 ) ,  ( F `  y ) ) ) ) )
1076adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  G : R
--> NN0 )
108107, 86ffvelrnd 5841 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( G `  d )  e.  NN0 )
109106, 108eqeltrrd 2516 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) )  e. 
NN0 )
110 simprlr 757 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )
111 simprrl 758 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( G `  d )  <_  ( # `
 w ) )
112106, 111eqbrtrrd 4311 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) )  <_ 
( # `  w ) )
11334adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  K :
( S C M ) --> R )
1148adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  S  e.  Fin )
115110elpwid 3867 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  w  C_  ( S  \  { X }
) )
116115difss2d 3483 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  w  C_  S
)
1171hashbcss 14061 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  w  C_  S  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
w C M ) 
C_  ( S C M ) )
118114, 116, 82, 117syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( w C M )  C_  ( S C M ) )
119 fssres 5575 . . . . . . 7  |-  ( ( K : ( S C M ) --> R  /\  ( w C M )  C_  ( S C M ) )  ->  ( K  |`  ( w C M ) ) : ( w C M ) --> R )
120113, 118, 119syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( K  |`  ( w C M ) ) : ( w C M ) --> R )
1211, 82, 83, 96, 109, 110, 112, 120rami 14072 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  E. c  e.  R  E. v  e.  ~P  w ( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  y
) ) ) `  c )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) )
122 equequ1 1741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  c  ->  (
y  =  d  <->  c  =  d ) )
123 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  c  ->  ( F `  y )  =  ( F `  c ) )
124122, 123ifbieq2d 3811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  c  ->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) )  =  if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 c ) ) )
125 ovex 6115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  d )  -  1 )  e. 
_V
126 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F `
 c )  e. 
_V
127125, 126ifex 3855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 c ) )  e.  _V
128124, 95, 127fvmpt 5771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  R  ->  (
( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  y
) ) ) `  c )  =  if ( c  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  c ) ) )
129128ad2antrl 722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( c  e.  R  /\  v  e. 
~P w ) )  ->  ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) `  c )  =  if ( c  =  d ,  ( ( F `  d
)  -  1 ) ,  ( F `  c ) ) )
130129breq1d 4299 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( c  e.  R  /\  v  e. 
~P w ) )  ->  ( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) `  c
)  <_  ( # `  v
)  <->  if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v ) ) )
131130anbi1d 699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( c  e.  R  /\  v  e. 
~P w ) )  ->  ( ( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  y
) ) ) `  c )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) )  <->  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  c ) )  <_  ( # `  v
)  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) ) " {
c } ) ) ) )
1322ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  M  e.  NN )
1335ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  R  e.  Fin )
13484ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  F : R --> NN )
1356ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  G : R --> NN0 )
1367ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  ( ( M  -  1 ) Ramsey  G
)  e.  NN0 )
1378ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  S  e.  Fin )
13830ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  ( # `  S
)  =  ( ( ( M  -  1 ) Ramsey  G )  +  1 ) )
13934ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  K : ( S C M ) --> R )
14020ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  X  e.  S
)
14186adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  d  e.  R
)
142115adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  w  C_  ( S  \  { X }
) )
143111adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  ( G `  d )  <_  ( # `
 w ) )
144 simprrr 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) )
145144adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) )
146 simprll 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  c  e.  R
)
147 simprlr 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  v  e.  ~P w )
148147elpwid 3867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  v  C_  w
)
149 simprrl 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  if ( c  =  d ,  ( ( F `  d
)  -  1 ) ,  ( F `  c ) )  <_ 
( # `  v ) )
150 simprrr 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) ) " {
c } ) )
151 cnvresima 5324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( K  |`  (
w C M ) ) " { c } )  =  ( ( `' K " { c } )  i^i  ( w C M ) )
152 inss1 3567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' K " { c } )  i^i  (
w C M ) )  C_  ( `' K " { c } )
153151, 152eqsstri 3383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( K  |`  (
w C M ) ) " { c } )  C_  ( `' K " { c } )
154150, 153syl6ss 3365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  ( v C M )  C_  ( `' K " { c } ) )
155132, 133, 134, 103, 135, 136, 1, 137, 138, 139, 140, 79, 141, 142, 143, 145, 146, 148, 149, 154ramub1lem1 14083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) )
156155expr 612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( c  e.  R  /\  v  e. 
~P w ) )  ->  ( ( if ( c  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  c ) )  <_  ( # `  v
)  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) ) " {
c } ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
157131, 156sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( c  e.  R  /\  v  e. 
~P w ) )  ->  ( ( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  y
) ) ) `  c )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `  c )  <_  ( # `  z
)  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
158157anassrs 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( d  e.  R  /\  w  e. 
~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `
 d )  <_ 
( # `  w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  c  e.  R )  /\  v  e.  ~P w )  -> 
( ( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) `  c
)  <_  ( # `  v
)  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) ) " {
c } ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
159158rexlimdva 2839 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  c  e.  R
)  ->  ( E. v  e.  ~P  w
( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) `  c )  <_  ( # `  v
)  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) ) " {
c } ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
160159reximdva 2826 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( E. c  e.  R  E. v  e.  ~P  w
( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) `  c )  <_  ( # `  v
)  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) ) " {
c } ) )  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
161121, 160mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  S ( ( F `  c )  <_  ( # `  z
)  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) )
162161expr 612 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) ) )  ->  ( (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) )  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
163162rexlimdvva 2846 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. d  e.  R  E. w  e. 
~P  ( S  \  { X } ) ( ( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) )  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
16481, 163mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    u. cun 3323    i^i cin 3324    C_ wss 3325   ifcif 3788   ~Pcpw 3857   {csn 3874   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   `'ccnv 4835    |` cres 4838   "cima 4839   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   Fincfn 7306   CCcc 9276   1c1 9279    + caddc 9281    <_ cle 9415    - cmin 9591   NNcn 10318   NN0cn0 10575   #chash 12099   Ramsey cram 14056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-hash 12100  df-ram 14058
This theorem is referenced by:  ramub1  14085
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