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Theorem ramub1lem2 14629
Description: Lemma for ramub1 14630. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramub1.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
ramub1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
ramub1.f  |-  ( ph  ->  F : R --> NN )
ramub1.g  |-  G  =  ( x  e.  R  |->  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  x ,  ( ( F `  x )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) ) )
ramub1.1  |-  ( ph  ->  G : R --> NN0 )
ramub1.2  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  e.  NN0 )
ramub1.3  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
ramub1.4  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
ramub1.5  |-  ( ph  ->  ( # `  S
)  =  ( ( ( M  -  1 ) Ramsey  G )  +  1 ) )
ramub1.6  |-  ( ph  ->  K : ( S C M ) --> R )
ramub1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
ramub1.h  |-  H  =  ( u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |->  ( K `  ( u  u.  { X } ) ) )
Assertion
Ref Expression
ramub1lem2  |-  ( ph  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) )
Distinct variable groups:    x, u, c, y, z, F    a,
b, c, i, u, x, y, z, M    G, a, c, i, u, x, y, z    R, c, u, x, y, z    ph, c, u, x, y, z    S, a, c, i, u, x, y, z    C, c, u, x, y, z    H, c, u, x, y, z    K, c, u, x, y, z    X, a, c, i, u, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( i, a, b)    C( i, a, b)    R( i, a, b)    S( b)    F( i, a, b)    G( b)    H( i, a, b)    K( i, a, b)    X( b)

Proof of Theorem ramub1lem2
Dummy variables  d 
v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ramub1.3 . . 3  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
2 ramub1.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
3 nnm1nn0 10833 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
5 ramub1.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
6 ramub1.1 . . 3  |-  ( ph  ->  G : R --> NN0 )
7 ramub1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  e.  NN0 )
8 ramub1.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
9 diffi 7744 . . . 4  |-  ( S  e.  Fin  ->  ( S  \  { X }
)  e.  Fin )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  \  { X } )  e.  Fin )
117nn0red 10849 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  e.  RR )
1211leidd 10115 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  <_  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )
)
13 hashcl 12410 . . . . . . 7  |-  ( ( S  \  { X } )  e.  Fin  ->  ( # `  ( S  \  { X }
) )  e.  NN0 )
1410, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  ( S  \  { X }
) )  e.  NN0 )
1514nn0cnd 10850 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( S  \  { X }
) )  e.  CC )
167nn0cnd 10850 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  e.  CC )
17 1cnd 9601 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
18 undif1 3891 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  \  { X } )  u.  { X } )  =  ( S  u.  { X } )
19 ramub1.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
2019snssd 4161 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { X }  C_  S )
21 ssequn2 3663 . . . . . . . . 9  |-  ( { X }  C_  S  <->  ( S  u.  { X } )  =  S )
2220, 21sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  u.  { X } )  =  S )
2318, 22syl5eq 2507 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( S  \  { X } )  u. 
{ X } )  =  S )
2423fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( S  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  ( # `  S
) )
25 neldifsnd 4144 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( S  \  { X } ) )
26 hashunsng 12443 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  (
( ( S  \  { X } )  e. 
Fin  /\  -.  X  e.  ( S  \  { X } ) )  -> 
( # `  ( ( S  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  ( S  \  { X }
) )  +  1 ) ) )
2719, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( S 
\  { X }
)  e.  Fin  /\  -.  X  e.  ( S  \  { X }
) )  ->  ( # `
 ( ( S 
\  { X }
)  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  ( S  \  { X }
) )  +  1 ) ) )
2810, 25, 27mp2and 677 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( S  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  ( S  \  { X }
) )  +  1 ) )
29 ramub1.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  S
)  =  ( ( ( M  -  1 ) Ramsey  G )  +  1 ) )
3024, 28, 293eqtr3d 2503 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( # `  ( S  \  { X }
) )  +  1 )  =  ( ( ( M  -  1 ) Ramsey  G )  +  1 ) )
3115, 16, 17, 30addcan2ad 9775 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  ( S  \  { X }
) )  =  ( ( M  -  1 ) Ramsey  G ) )
3212, 31breqtrrd 4465 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  <_  ( # `  ( S  \  { X }
) ) )
33 ramub1.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  K : ( S C M ) --> R )
3433adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  K : ( S C M ) --> R )
351hashbcval 14604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( S  \  { X } )  e.  Fin  /\  ( M  -  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  =  {
x  e.  ~P ( S  \  { X }
)  |  ( # `  x )  =  ( M  -  1 ) } )
3610, 4, 35syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  =  {
x  e.  ~P ( S  \  { X }
)  |  ( # `  x )  =  ( M  -  1 ) } )
3736eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  <->  u  e.  { x  e.  ~P ( S  \  { X } )  |  ( # `  x
)  =  ( M  -  1 ) } ) )
38 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  u
) )
3938eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  (
( # `  x )  =  ( M  - 
1 )  <->  ( # `  u
)  =  ( M  -  1 ) ) )
4039elrab 3254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  { x  e. 
~P ( S  \  { X } )  |  ( # `  x
)  =  ( M  -  1 ) }  <-> 
( u  e.  ~P ( S  \  { X } )  /\  ( # `
 u )  =  ( M  -  1 ) ) )
4137, 40syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  <->  ( u  e. 
~P ( S  \  { X } )  /\  ( # `  u )  =  ( M  - 
1 ) ) ) )
4241simprbda 621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  u  e.  ~P ( S  \  { X }
) )
4342elpwid 4009 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  u  C_  ( S  \  { X } ) )
4443difss2d 3620 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  u  C_  S )
4520adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  { X }  C_  S
)
4644, 45unssd 3666 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  { X } )  C_  S
)
47 vex 3109 . . . . . . . . . 10  |-  u  e. 
_V
48 snex 4678 . . . . . . . . . 10  |-  { X }  e.  _V
4947, 48unex 6571 . . . . . . . . 9  |-  ( u  u.  { X }
)  e.  _V
5049elpw 4005 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  u.  { X } )  e.  ~P S 
<->  ( u  u.  { X } )  C_  S
)
5146, 50sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  { X } )  e.  ~P S )
5210adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( S  \  { X } )  e.  Fin )
53 ssfi 7733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  \  { X } )  e.  Fin  /\  u  C_  ( S  \  { X } ) )  ->  u  e.  Fin )
5452, 43, 53syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  u  e.  Fin )
55 neldifsnd 4144 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  -.  X  e.  ( S  \  { X }
) )
5643, 55ssneldd 3492 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  -.  X  e.  u
)
5719adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  ->  X  e.  S )
58 hashunsng 12443 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  S  ->  (
( u  e.  Fin  /\ 
-.  X  e.  u
)  ->  ( # `  (
u  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  u
)  +  1 ) ) )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( ( u  e. 
Fin  /\  -.  X  e.  u )  ->  ( # `
 ( u  u. 
{ X } ) )  =  ( (
# `  u )  +  1 ) ) )
6054, 56, 59mp2and 677 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( # `  ( u  u.  { X }
) )  =  ( ( # `  u
)  +  1 ) )
6141simplbda 622 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( # `  u )  =  ( M  - 
1 ) )
6261oveq1d 6285 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( ( # `  u
)  +  1 )  =  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )
632nncnd 10547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
64 ax-1cn 9539 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
65 npcan 9820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  - 
1 )  +  1 )  =  M )
6663, 64, 65sylancl 660 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  +  1 )  =  M )
6766adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( ( M  - 
1 )  +  1 )  =  M )
6860, 62, 673eqtrd 2499 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( # `  ( u  u.  { X }
) )  =  M )
69 fveq2 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( u  u. 
{ X } )  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( u  u.  { X } ) ) )
7069eqeq1d 2456 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( u  u. 
{ X } )  ->  ( ( # `  x )  =  M  <-> 
( # `  ( u  u.  { X }
) )  =  M ) )
7170elrab 3254 . . . . . . 7  |-  ( ( u  u.  { X } )  e.  {
x  e.  ~P S  |  ( # `  x
)  =  M }  <->  ( ( u  u.  { X } )  e.  ~P S  /\  ( # `  (
u  u.  { X } ) )  =  M ) )
7251, 68, 71sylanbrc 662 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  { X } )  e.  {
x  e.  ~P S  |  ( # `  x
)  =  M }
)
732nnnn0d 10848 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
741hashbcval 14604 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( S C M )  =  { x  e.  ~P S  |  (
# `  x )  =  M } )
758, 73, 74syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S C M )  =  { x  e.  ~P S  |  (
# `  x )  =  M } )
7675adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( S C M )  =  { x  e.  ~P S  |  (
# `  x )  =  M } )
7772, 76eleqtrrd 2545 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( u  u.  { X } )  e.  ( S C M ) )
7834, 77ffvelrnd 6008 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) )  -> 
( K `  (
u  u.  { X } ) )  e.  R )
79 ramub1.h . . . 4  |-  H  =  ( u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |->  ( K `  ( u  u.  { X } ) ) )
8078, 79fmptd 6031 . . 3  |-  ( ph  ->  H : ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) ) --> R )
811, 4, 5, 6, 7, 10, 32, 80rami 14617 . 2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  R  E. w  e.  ~P  ( S  \  { X } ) ( ( G `  d )  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) )
8273adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  M  e.  NN0 )
835adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  R  e.  Fin )
84 ramub1.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : R --> NN )
8584adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  F : R
--> NN )
86 simprll 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  d  e.  R )
8785, 86ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( F `  d )  e.  NN )
88 nnm1nn0 10833 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  d )  e.  NN  ->  (
( F `  d
)  -  1 )  e.  NN0 )
8987, 88syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( ( F `  d )  -  1 )  e. 
NN0 )
9089adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  y  e.  R
)  ->  ( ( F `  d )  -  1 )  e. 
NN0 )
9185ffvelrnda 6007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  y  e.  R
)  ->  ( F `  y )  e.  NN )
9291nnnn0d 10848 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  y  e.  R
)  ->  ( F `  y )  e.  NN0 )
9390, 92ifcld 3972 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  y  e.  R
)  ->  if (
y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) )  e.  NN0 )
94 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) )  =  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) )
9593, 94fmptd 6031 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) : R --> NN0 )
96 equequ2 1804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  d  ->  (
y  =  x  <->  y  =  d ) )
97 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  d  ->  ( F `  x )  =  ( F `  d ) )
9897oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  d  ->  (
( F `  x
)  -  1 )  =  ( ( F `
 d )  - 
1 ) )
9996, 98ifbieq1d 3952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  d  ->  if ( y  =  x ,  ( ( F `
 x )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) )  =  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) )
10099mpteq2dv 4526 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  d  ->  (
y  e.  R  |->  if ( y  =  x ,  ( ( F `
 x )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) )  =  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) )
101100oveq2d 6286 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  d  ->  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  x ,  ( ( F `  x )  -  1 ) ,  ( F `  y
) ) ) )  =  ( M Ramsey  (
y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) ) )
102 ramub1.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( x  e.  R  |->  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  x ,  ( ( F `  x )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) ) )
103 ovex 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( M Ramsey 
( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  y
) ) ) )  e.  _V
104101, 102, 103fvmpt 5931 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  R  ->  ( G `  d )  =  ( M Ramsey  (
y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) ) )
10586, 104syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( G `  d )  =  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d
)  -  1 ) ,  ( F `  y ) ) ) ) )
1066adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  G : R
--> NN0 )
107106, 86ffvelrnd 6008 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( G `  d )  e.  NN0 )
108105, 107eqeltrrd 2543 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) )  e. 
NN0 )
109 simprlr 762 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )
110 simprrl 763 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( G `  d )  <_  ( # `
 w ) )
111105, 110eqbrtrrd 4461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) )  <_ 
( # `  w ) )
11233adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  K :
( S C M ) --> R )
1138adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  S  e.  Fin )
114109elpwid 4009 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  w  C_  ( S  \  { X }
) )
115114difss2d 3620 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  w  C_  S
)
1161hashbcss 14606 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  w  C_  S  /\  M  e.  NN0 )  ->  (
w C M ) 
C_  ( S C M ) )
117113, 115, 82, 116syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( w C M )  C_  ( S C M ) )
118112, 117fssresd 5734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( K  |`  ( w C M ) ) : ( w C M ) --> R )
1191, 82, 83, 95, 108, 109, 111, 118rami 14617 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  E. c  e.  R  E. v  e.  ~P  w ( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  y
) ) ) `  c )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) )
120 equequ1 1803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  c  ->  (
y  =  d  <->  c  =  d ) )
121 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  c  ->  ( F `  y )  =  ( F `  c ) )
122120, 121ifbieq2d 3954 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  c  ->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) )  =  if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 c ) ) )
123 ovex 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  d )  -  1 )  e. 
_V
124 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F `
 c )  e. 
_V
125123, 124ifex 3997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 c ) )  e.  _V
126122, 94, 125fvmpt 5931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  R  ->  (
( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  y
) ) ) `  c )  =  if ( c  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  c ) ) )
127126ad2antrl 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( c  e.  R  /\  v  e. 
~P w ) )  ->  ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) `  c )  =  if ( c  =  d ,  ( ( F `  d
)  -  1 ) ,  ( F `  c ) ) )
128127breq1d 4449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( c  e.  R  /\  v  e. 
~P w ) )  ->  ( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) `  c
)  <_  ( # `  v
)  <->  if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v ) ) )
129128anbi1d 702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( c  e.  R  /\  v  e. 
~P w ) )  ->  ( ( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  y
) ) ) `  c )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) )  <->  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  c ) )  <_  ( # `  v
)  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) ) " {
c } ) ) ) )
1302ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  M  e.  NN )
1315ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  R  e.  Fin )
13284ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  F : R --> NN )
1336ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  G : R --> NN0 )
1347ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  ( ( M  -  1 ) Ramsey  G
)  e.  NN0 )
1358ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  S  e.  Fin )
13629ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  ( # `  S
)  =  ( ( ( M  -  1 ) Ramsey  G )  +  1 ) )
13733ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  K : ( S C M ) --> R )
13819ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  X  e.  S
)
13986adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  d  e.  R
)
140114adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  w  C_  ( S  \  { X }
) )
141110adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  ( G `  d )  <_  ( # `
 w ) )
142 simprrr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) )
143142adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) )
144 simprll 761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  c  e.  R
)
145 simprlr 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  v  e.  ~P w )
146145elpwid 4009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  v  C_  w
)
147 simprrl 763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  if ( c  =  d ,  ( ( F `  d
)  -  1 ) ,  ( F `  c ) )  <_ 
( # `  v ) )
148 simprrr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) ) " {
c } ) )
149 cnvresima 5479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( K  |`  (
w C M ) ) " { c } )  =  ( ( `' K " { c } )  i^i  ( w C M ) )
150 inss1 3704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' K " { c } )  i^i  (
w C M ) )  C_  ( `' K " { c } )
151149, 150eqsstri 3519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( K  |`  (
w C M ) ) " { c } )  C_  ( `' K " { c } )
152148, 151syl6ss 3501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  ( v C M )  C_  ( `' K " { c } ) )
153130, 131, 132, 102, 133, 134, 1, 135, 136, 137, 138, 79, 139, 140, 141, 143, 144, 146, 147, 152ramub1lem1 14628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( ( c  e.  R  /\  v  e.  ~P w )  /\  ( if ( c  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  c
) )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) ) ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) )
154153expr 613 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( c  e.  R  /\  v  e. 
~P w ) )  ->  ( ( if ( c  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  c ) )  <_  ( # `  v
)  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) ) " {
c } ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
155129, 154sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  ( c  e.  R  /\  v  e. 
~P w ) )  ->  ( ( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `  y
) ) ) `  c )  <_  ( # `
 v )  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) )
" { c } ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `  c )  <_  ( # `  z
)  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
156155anassrs 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( d  e.  R  /\  w  e. 
~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `
 d )  <_ 
( # `  w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  c  e.  R )  /\  v  e.  ~P w )  -> 
( ( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `
 d )  - 
1 ) ,  ( F `  y ) ) ) `  c
)  <_  ( # `  v
)  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) ) " {
c } ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
157156rexlimdva 2946 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) )  /\  ( ( G `  d )  <_  ( # `
 w )  /\  ( w C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  /\  c  e.  R
)  ->  ( E. v  e.  ~P  w
( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) `  c )  <_  ( # `  v
)  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) ) " {
c } ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
158157reximdva 2929 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  ( E. c  e.  R  E. v  e.  ~P  w
( ( ( y  e.  R  |->  if ( y  =  d ,  ( ( F `  d )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) `  c )  <_  ( # `  v
)  /\  ( v C M )  C_  ( `' ( K  |`  ( w C M ) ) " {
c } ) )  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
159119, 158mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X }
) )  /\  (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) ) ) )  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  S ( ( F `  c )  <_  ( # `  z
)  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) )
160159expr 613 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( d  e.  R  /\  w  e.  ~P ( S  \  { X } ) ) )  ->  ( (
( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) )  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
161160rexlimdvva 2953 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. d  e.  R  E. w  e. 
~P  ( S  \  { X } ) ( ( G `  d
)  <_  ( # `  w
)  /\  ( w C ( M  - 
1 ) )  C_  ( `' H " { d } ) )  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) ) )
16281, 161mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. c  e.  R  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { c } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   ifcif 3929   ~Pcpw 3999   {csn 4016   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   `'ccnv 4987    |` cres 4990   "cima 4991   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272   Fincfn 7509   CCcc 9479   1c1 9482    + caddc 9484    <_ cle 9618    - cmin 9796   NNcn 10531   NN0cn0 10791   #chash 12387   Ramsey cram 14601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-hash 12388  df-ram 14603
This theorem is referenced by:  ramub1  14630
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