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Theorem ramub1lem1 14070
Description: Lemma for ramub1 14072. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramub1.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
ramub1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
ramub1.f  |-  ( ph  ->  F : R --> NN )
ramub1.g  |-  G  =  ( x  e.  R  |->  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  x ,  ( ( F `  x )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) ) )
ramub1.1  |-  ( ph  ->  G : R --> NN0 )
ramub1.2  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  e.  NN0 )
ramub1.3  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
ramub1.4  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
ramub1.5  |-  ( ph  ->  ( # `  S
)  =  ( ( ( M  -  1 ) Ramsey  G )  +  1 ) )
ramub1.6  |-  ( ph  ->  K : ( S C M ) --> R )
ramub1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
ramub1.h  |-  H  =  ( u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |->  ( K `  ( u  u.  { X } ) ) )
ramub1.d  |-  ( ph  ->  D  e.  R )
ramub1.w  |-  ( ph  ->  W  C_  ( S  \  { X } ) )
ramub1.7  |-  ( ph  ->  ( G `  D
)  <_  ( # `  W
) )
ramub1.8  |-  ( ph  ->  ( W C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { D }
) )
ramub1.e  |-  ( ph  ->  E  e.  R )
ramub1.v  |-  ( ph  ->  V  C_  W )
ramub1.9  |-  ( ph  ->  if ( E  =  D ,  ( ( F `  D )  -  1 ) ,  ( F `  E
) )  <_  ( # `
 V ) )
ramub1.s  |-  ( ph  ->  ( V C M )  C_  ( `' K " { E }
) )
Assertion
Ref Expression
ramub1lem1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 E )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
Distinct variable groups:    x, u, D    y, u, z, F, x    a, b, i, u, x, y, z, M    G, a, i, u, x, y, z    u, R, x, y, z    W, a, i, u    ph, u, x, y, z    S, a, i, u, x, y, z    V, a, i, x, z    u, C, x, y, z    u, H, x, y, z    u, K, x, y, z    x, E, z    X, a, i, u, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( i, a, b)    C( i, a, b)    D( y, z, i, a, b)    R( i, a, b)    S( b)    E( y, u, i, a, b)    F( i, a, b)    G( b)    H( i, a, b)    K( i, a, b)    V( y, u, b)    W( x, y, z, b)    X( b)

Proof of Theorem ramub1lem1
StepHypRef Expression
1 ramub1.v . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  C_  W )
2 ramub1.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  C_  ( S  \  { X } ) )
31, 2sstrd 3354 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  C_  ( S  \  { X } ) )
43difss2d 3474 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  C_  S )
5 ramub1.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
65snssd 4006 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { X }  C_  S )
74, 6unssd 3520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( V  u.  { X } )  C_  S
)
8 ramub1.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
9 elpw2g 4443 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Fin  ->  (
( V  u.  { X } )  e.  ~P S 
<->  ( V  u.  { X } )  C_  S
) )
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( V  u.  { X } )  e. 
~P S  <->  ( V  u.  { X } ) 
C_  S ) )
117, 10mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( V  u.  { X } )  e.  ~P S )
1211adantr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  ( V  u.  { X } )  e.  ~P S )
13 iftrue 3785 . . . . . . 7  |-  ( E  =  D  ->  if ( E  =  D ,  ( ( F `
 D )  - 
1 ) ,  ( F `  E ) )  =  ( ( F `  D )  -  1 ) )
1413adantl 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  if ( E  =  D ,  ( ( F `
 D )  - 
1 ) ,  ( F `  E ) )  =  ( ( F `  D )  -  1 ) )
15 ramub1.9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( E  =  D ,  ( ( F `  D )  -  1 ) ,  ( F `  E
) )  <_  ( # `
 V ) )
1615adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  if ( E  =  D ,  ( ( F `
 D )  - 
1 ) ,  ( F `  E ) )  <_  ( # `  V
) )
1714, 16eqbrtrrd 4302 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  (
( F `  D
)  -  1 )  <_  ( # `  V
) )
18 ramub1.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : R --> NN )
19 ramub1.d . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  R )
2018, 19ffvelrnd 5832 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  D
)  e.  NN )
2120adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  ( F `  D )  e.  NN )
2221nnred 10325 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  ( F `  D )  e.  RR )
23 1red 9389 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  1  e.  RR )
24 ssfi 7521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  V  C_  S )  ->  V  e.  Fin )
258, 4, 24syl2anc 654 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  e.  Fin )
26 hashcl 12110 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 V )  e. 
NN0 )
27 nn0re 10576 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( # `  V
)  e.  RR )
2825, 26, 273syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  V
)  e.  RR )
2928adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  ( # `
 V )  e.  RR )
3022, 23, 29lesubaddd 9924 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  (
( ( F `  D )  -  1 )  <_  ( # `  V
)  <->  ( F `  D )  <_  (
( # `  V )  +  1 ) ) )
3117, 30mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  ( F `  D )  <_  ( ( # `  V
)  +  1 ) )
32 fveq2 5679 . . . . 5  |-  ( E  =  D  ->  ( F `  E )  =  ( F `  D ) )
33 snidg 3891 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  X  e.  { X } )
345, 33syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  { X } )
353sseld 3343 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  e.  V  ->  X  e.  ( S 
\  { X }
) ) )
36 eldifn 3467 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ( S  \  { X } )  ->  -.  X  e.  { X } )
3735, 36syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  e.  V  ->  -.  X  e.  { X } ) )
3834, 37mt2d 117 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  V
)
39 hashunsng 12138 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  S  ->  (
( V  e.  Fin  /\ 
-.  X  e.  V
)  ->  ( # `  ( V  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  V
)  +  1 ) ) )
405, 39syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  -.  X  e.  V )  ->  ( # `
 ( V  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  V )  +  1 ) ) )
4125, 38, 40mp2and 672 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( V  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  V
)  +  1 ) )
4232, 41breqan12rd 4296 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  (
( F `  E
)  <_  ( # `  ( V  u.  { X } ) )  <->  ( F `  D )  <_  (
( # `  V )  +  1 ) ) )
4331, 42mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  ( F `  E )  <_  ( # `  ( V  u.  { X } ) ) )
44 snfi 7378 . . . . . . 7  |-  { X }  e.  Fin
45 unfi 7567 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  { X }  e.  Fin )  ->  ( V  u.  { X } )  e. 
Fin )
4625, 44, 45sylancl 655 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( V  u.  { X } )  e.  Fin )
47 ramub1.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4847nnnn0d 10624 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
49 ramub1.3 . . . . . . 7  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
5049hashbcval 14046 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  u.  { X } )  e.  Fin  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( V  u.  { X } ) C M )  =  {
x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  |  (
# `  x )  =  M } )
5146, 48, 50syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( V  u.  { X } ) C M )  =  {
x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  |  (
# `  x )  =  M } )
5251adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  (
( V  u.  { X } ) C M )  =  { x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  |  ( # `  x
)  =  M }
)
53 simpl1l 1032 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  x  e.  ~P V )  ->  ph )
5449hashbcval 14046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( V C M )  =  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  M } )
5525, 48, 54syl2anc 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( V C M )  =  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  M } )
56 ramub1.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( V C M )  C_  ( `' K " { E }
) )
5755, 56eqsstr3d 3379 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  M }  C_  ( `' K " { E } ) )
5853, 57syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  x  e.  ~P V )  ->  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  M }  C_  ( `' K " { E } ) )
59 simpr 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  x  e.  ~P V )  ->  x  e.  ~P V
)
60 simpl3 986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  x  e.  ~P V )  -> 
( # `  x )  =  M )
61 rabid 2887 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { x  e. 
~P V  |  (
# `  x )  =  M }  <->  ( x  e.  ~P V  /\  ( # `
 x )  =  M ) )
6259, 60, 61sylanbrc 657 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  x  e.  ~P V )  ->  x  e.  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  M } )
6358, 62sseldd 3345 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  x  e.  ~P V )  ->  x  e.  ( `' K " { E }
) )
64 simpl2 985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  ~P ( V  u.  { X } ) )
6564elpwid 3858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  C_  ( V  u.  { X } ) )
66 simpl1l 1032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ph )
6766, 7syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( V  u.  { X } ) 
C_  S )
6865, 67sstrd 3354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  C_  S
)
69 vex 2965 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
7069elpw 3854 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P S  <->  x  C_  S
)
7168, 70sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  ~P S )
72 simpl3 986 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( # `  x
)  =  M )
73 rabid 2887 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { x  e. 
~P S  |  (
# `  x )  =  M }  <->  ( x  e.  ~P S  /\  ( # `
 x )  =  M ) )
7471, 72, 73sylanbrc 657 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  { x  e.  ~P S  |  ( # `  x
)  =  M }
)
7549hashbcval 14046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( S C M )  =  { x  e.  ~P S  |  (
# `  x )  =  M } )
768, 48, 75syl2anc 654 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S C M )  =  { x  e.  ~P S  |  (
# `  x )  =  M } )
7766, 76syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( S C M )  =  {
x  e.  ~P S  |  ( # `  x
)  =  M }
)
7874, 77eleqtrrd 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  ( S C M ) )
792difss2d 3474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  W  C_  S )
80 ssfi 7521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  W  C_  S )  ->  W  e.  Fin )
818, 79, 80syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
82 nnm1nn0 10609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
8347, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
8449hashbcval 14046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  Fin  /\  ( M  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( W C ( M  -  1 ) )  =  { u  e.  ~P W  |  (
# `  u )  =  ( M  - 
1 ) } )
8581, 83, 84syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( W C ( M  -  1 ) )  =  { u  e.  ~P W  |  (
# `  u )  =  ( M  - 
1 ) } )
86 ramub1.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( W C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { D }
) )
8785, 86eqsstr3d 3379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { u  e.  ~P W  |  ( # `  u
)  =  ( M  -  1 ) } 
C_  ( `' H " { D } ) )
8866, 87syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  { u  e.  ~P W  |  (
# `  u )  =  ( M  - 
1 ) }  C_  ( `' H " { D } ) )
89 uncom 3488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( V  u.  { X }
)  =  ( { X }  u.  V
)
9065, 89syl6sseq 3390 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  C_  ( { X }  u.  V
) )
91 ssundif 3750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x 
C_  ( { X }  u.  V )  <->  ( x  \  { X } )  C_  V
)
9290, 91sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } ) 
C_  V )
9366, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  V  C_  W
)
9492, 93sstrd 3354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } ) 
C_  W )
95 difexg 4428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  \  { X } )  e.  _V )
9669, 95ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
\  { X }
)  e.  _V
9796elpw 3854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  \  { X } )  e.  ~P W 
<->  ( x  \  { X } )  C_  W
)
9894, 97sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } )  e.  ~P W )
9966, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  S  e.  Fin )
100 ssfi 7521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  x  C_  S )  ->  x  e.  Fin )
10199, 68, 100syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  Fin )
102 diffi 7531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
x  \  { X } )  e.  Fin )
103101, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } )  e.  Fin )
104 hashcl 12110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  \  { X } )  e.  Fin  ->  ( # `  (
x  \  { X } ) )  e. 
NN0 )
105 nn0cn 10577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  ( x  \  { X } ) )  e.  NN0  ->  (
# `  ( x  \  { X } ) )  e.  CC )
106103, 104, 1053syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( # `  (
x  \  { X } ) )  e.  CC )
107 ax-1cn 9328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
108 pncan 9604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  (
x  \  { X } ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( # `  (
x  \  { X } ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( # `  ( x  \  { X } ) ) )
109106, 107, 108sylancl 655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( (
( # `  ( x 
\  { X }
) )  +  1 )  -  1 )  =  ( # `  (
x  \  { X } ) ) )
110 neldifsnd 3991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  -.  X  e.  ( x  \  { X } ) )
111 hashunsng 12138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  S  ->  (
( ( x  \  { X } )  e. 
Fin  /\  -.  X  e.  ( x  \  { X } ) )  -> 
( # `  ( ( x  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  (
x  \  { X } ) )  +  1 ) ) )
11266, 5, 1113syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( (
( x  \  { X } )  e.  Fin  /\ 
-.  X  e.  ( x  \  { X } ) )  -> 
( # `  ( ( x  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  (
x  \  { X } ) )  +  1 ) ) )
113103, 110, 112mp2and 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( # `  (
( x  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  (
x  \  { X } ) )  +  1 ) )
114 undif1 3742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  \  { X } )  u.  { X } )  =  ( x  u.  { X } )
115 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  -.  x  e.  ~P V )
11664, 115eldifd 3327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  ( ~P ( V  u.  { X } )  \  ~P V ) )
117 elpwunsn 3905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P ( V  u.  { X } )  \  ~P V )  ->  X  e.  x )
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  X  e.  x )
119118snssd 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  { X }  C_  x )
120 ssequn2 3517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { X }  C_  x  <->  ( x  u.  { X } )  =  x )
121119, 120sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  u.  { X } )  =  x )
122114, 121syl5req 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  =  ( ( x  \  { X } )  u. 
{ X } ) )
123122fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( ( x  \  { X } )  u. 
{ X } ) ) )
124123, 72eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( # `  (
( x  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  M )
125113, 124eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( ( # `
 ( x  \  { X } ) )  +  1 )  =  M )
126125oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( (
( # `  ( x 
\  { X }
) )  +  1 )  -  1 )  =  ( M  - 
1 ) )
127109, 126eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( # `  (
x  \  { X } ) )  =  ( M  -  1 ) )
128 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( x  \  { X } )  -> 
( # `  u )  =  ( # `  (
x  \  { X } ) ) )
129128eqeq1d 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( x  \  { X } )  -> 
( ( # `  u
)  =  ( M  -  1 )  <->  ( # `  (
x  \  { X } ) )  =  ( M  -  1 ) ) )
130129elrab 3106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  \  { X } )  e.  {
u  e.  ~P W  |  ( # `  u
)  =  ( M  -  1 ) }  <-> 
( ( x  \  { X } )  e. 
~P W  /\  ( # `
 ( x  \  { X } ) )  =  ( M  - 
1 ) ) )
13198, 127, 130sylanbrc 657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } )  e.  { u  e. 
~P W  |  (
# `  u )  =  ( M  - 
1 ) } )
13288, 131sseldd 3345 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } )  e.  ( `' H " { D } ) )
133 ramub1.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |->  ( K `  ( u  u.  { X } ) ) )
134133mptiniseg 5320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  R  ->  ( `' H " { D } )  =  {
u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |  ( K `
 ( u  u. 
{ X } ) )  =  D }
)
13566, 19, 1343syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( `' H " { D }
)  =  { u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |  ( K `  ( u  u.  { X }
) )  =  D } )
136132, 135eleqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } )  e.  { u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |  ( K `  ( u  u.  { X }
) )  =  D } )
137 uneq1 3491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( x  \  { X } )  -> 
( u  u.  { X } )  =  ( ( x  \  { X } )  u.  { X } ) )
138137fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( x  \  { X } )  -> 
( K `  (
u  u.  { X } ) )  =  ( K `  (
( x  \  { X } )  u.  { X } ) ) )
139138eqeq1d 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( x  \  { X } )  -> 
( ( K `  ( u  u.  { X } ) )  =  D  <->  ( K `  ( ( x  \  { X } )  u. 
{ X } ) )  =  D ) )
140139elrab 3106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  \  { X } )  e.  {
u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |  ( K `
 ( u  u. 
{ X } ) )  =  D }  <->  ( ( x  \  { X } )  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  /\  ( K `
 ( ( x 
\  { X }
)  u.  { X } ) )  =  D ) )
141140simprbi 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  \  { X } )  e.  {
u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |  ( K `
 ( u  u. 
{ X } ) )  =  D }  ->  ( K `  (
( x  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  D )
142136, 141syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( K `  ( ( x  \  { X } )  u. 
{ X } ) )  =  D )
143122fveq2d 5683 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( K `  x )  =  ( K `  ( ( x  \  { X } )  u.  { X } ) ) )
144 simpl1r 1033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  E  =  D )
145142, 143, 1443eqtr4d 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( K `  x )  =  E )
146 ramub1.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K : ( S C M ) --> R )
147 ffn 5547 . . . . . . . . 9  |-  ( K : ( S C M ) --> R  ->  K  Fn  ( S C M ) )
148146, 147syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  Fn  ( S C M ) )
149 fniniseg 5812 . . . . . . . 8  |-  ( K  Fn  ( S C M )  ->  (
x  e.  ( `' K " { E } )  <->  ( x  e.  ( S C M )  /\  ( K `
 x )  =  E ) ) )
15066, 148, 1493syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  e.  ( `' K " { E } )  <->  ( x  e.  ( S C M )  /\  ( K `
 x )  =  E ) ) )
15178, 145, 150mpbir2and 906 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  ( `' K " { E } ) )
15263, 151pm2.61dan 782 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `  x )  =  M )  ->  x  e.  ( `' K " { E }
) )
153152rabssdv 3420 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  { x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  |  ( # `  x
)  =  M }  C_  ( `' K " { E } ) )
15452, 153eqsstrd 3378 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  (
( V  u.  { X } ) C M )  C_  ( `' K " { E }
) )
155 fveq2 5679 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( V  u.  { X } )  -> 
( # `  z )  =  ( # `  ( V  u.  { X } ) ) )
156155breq2d 4292 . . . . 5  |-  ( z  =  ( V  u.  { X } )  -> 
( ( F `  E )  <_  ( # `
 z )  <->  ( F `  E )  <_  ( # `
 ( V  u.  { X } ) ) ) )
157 oveq1 6087 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( V  u.  { X } )  -> 
( z C M )  =  ( ( V  u.  { X } ) C M ) )
158157sseq1d 3371 . . . . 5  |-  ( z  =  ( V  u.  { X } )  -> 
( ( z C M )  C_  ( `' K " { E } )  <->  ( ( V  u.  { X } ) C M )  C_  ( `' K " { E }
) ) )
159156, 158anbi12d 703 . . . 4  |-  ( z  =  ( V  u.  { X } )  -> 
( ( ( F `
 E )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) )  <->  ( ( F `  E )  <_  ( # `  ( V  u.  { X } ) )  /\  ( ( V  u.  { X } ) C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) ) )
160159rspcev 3062 . . 3  |-  ( ( ( V  u.  { X } )  e.  ~P S  /\  ( ( F `
 E )  <_ 
( # `  ( V  u.  { X }
) )  /\  (
( V  u.  { X } ) C M )  C_  ( `' K " { E }
) ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 E )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
16112, 43, 154, 160syl12anc 1209 . 2  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `  E )  <_  ( # `  z
)  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
162 elpw2g 4443 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Fin  ->  ( V  e.  ~P S  <->  V 
C_  S ) )
1638, 162syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( V  e.  ~P S 
<->  V  C_  S )
)
1644, 163mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  e.  ~P S
)
165164adantr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  D )  ->  V  e.  ~P S )
166 ifnefalse 3789 . . . . 5  |-  ( E  =/=  D  ->  if ( E  =  D ,  ( ( F `
 D )  - 
1 ) ,  ( F `  E ) )  =  ( F `
 E ) )
167166adantl 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  D )  ->  if ( E  =  D , 
( ( F `  D )  -  1 ) ,  ( F `
 E ) )  =  ( F `  E ) )
16815adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  D )  ->  if ( E  =  D , 
( ( F `  D )  -  1 ) ,  ( F `
 E ) )  <_  ( # `  V
) )
169167, 168eqbrtrrd 4302 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  D )  ->  ( F `  E )  <_  ( # `
 V ) )
17056adantr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  D )  ->  ( V C M )  C_  ( `' K " { E } ) )
171 fveq2 5679 . . . . . 6  |-  ( z  =  V  ->  ( # `
 z )  =  ( # `  V
) )
172171breq2d 4292 . . . . 5  |-  ( z  =  V  ->  (
( F `  E
)  <_  ( # `  z
)  <->  ( F `  E )  <_  ( # `
 V ) ) )
173 oveq1 6087 . . . . . 6  |-  ( z  =  V  ->  (
z C M )  =  ( V C M ) )
174173sseq1d 3371 . . . . 5  |-  ( z  =  V  ->  (
( z C M )  C_  ( `' K " { E }
)  <->  ( V C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
175172, 174anbi12d 703 . . . 4  |-  ( z  =  V  ->  (
( ( F `  E )  <_  ( # `
 z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E }
) )  <->  ( ( F `  E )  <_  ( # `  V
)  /\  ( V C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) ) )
176175rspcev 3062 . . 3  |-  ( ( V  e.  ~P S  /\  ( ( F `  E )  <_  ( # `
 V )  /\  ( V C M ) 
C_  ( `' K " { E } ) ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `  E )  <_  ( # `  z
)  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
177165, 169, 170, 176syl12anc 1209 . 2  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  D )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `  E )  <_  ( # `  z
)  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
178161, 177pm2.61dane 2679 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 E )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2962    \ cdif 3313    u. cun 3314    C_ wss 3316   ifcif 3779   ~Pcpw 3848   {csn 3865   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   `'ccnv 4826   "cima 4830    Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    e. cmpt2 6082   Fincfn 7298   CCcc 9268   RRcr 9269   1c1 9271    + caddc 9273    <_ cle 9407    - cmin 9583   NNcn 10310   NN0cn0 10567   #chash 12087   Ramsey cram 14043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-hash 12088
This theorem is referenced by:  ramub1lem2  14071
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