Theorem ramub1lem1 13349

Description: Lemma for ramub1 13351. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ramub1.m	|- ( ph -> M e. NN )
ramub1.r	|- ( ph -> R e. Fin )
ramub1.f	|- ( ph -> F : R --> NN )
ramub1.g	|- G = ( x e. R |-> ( M Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( F ` x ) - 1 ) , ( F ` y ) ) ) ) )
ramub1.1	|- ( ph -> G : R --> NN0 )
ramub1.2	|- ( ph -> ( ( M - 1 ) Ramsey G ) e. NN0 )
ramub1.3	|- C = ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } )
ramub1.4	|- ( ph -> S e. Fin )
ramub1.5	|- ( ph -> ( # ` S ) = ( ( ( M - 1 ) Ramsey G ) + 1 ) )
ramub1.6	|- ( ph -> K : ( S C M ) --> R )
ramub1.x	|- ( ph -> X e. S )
ramub1.h	|- H = ( u e. ( ( S \ { X } ) C ( M - 1 ) ) |-> ( K ` ( u u. { X } ) ) )
ramub1.d	|- ( ph -> D e. R )
ramub1.w	|- ( ph -> W C_ ( S \ { X } ) )
ramub1.7	|- ( ph -> ( G ` D ) <_ ( # ` W ) )
ramub1.8	|- ( ph -> ( W C ( M - 1 ) ) C_ ( `' H " { D } ) )
ramub1.e	|- ( ph -> E e. R )
ramub1.v	|- ( ph -> V C_ W )
ramub1.9	|- ( ph -> if ( E = D , ( ( F ` D ) - 1 ) , ( F ` E ) ) <_ ( # ` V ) )
ramub1.s	|- ( ph -> ( V C M ) C_ ( `' K " { E } ) )

Assertion

Ref	Expression
ramub1lem1	|- ( ph -> E. z e. ~P S ( ( F ` E ) <_ ( # ` z ) /\ ( z C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) )

Distinct variable groups:   x, u, D   y, u, z, F, x   a, b, i, u, x, y, z, M   G, a, i, u, x, y, z   u, R, x, y, z   W, a, i, u   ph, u, x, y, z   S, a, i, u, x, y, z   V, a, i, x, z   u, C, x, y, z   u, H, x, y, z   u, K, x, y, z   x, E, z   X, a, i, u, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( i, a, b)   C( i, a, b)   D( y, z, i, a, b)   R( i, a, b)   S( b)   E( y, u, i, a, b)   F( i, a, b)   G( b)   H( i, a, b)   K( i, a, b)   V( y, u, b)   W( x, y, z, b)   X( b)

Proof of Theorem ramub1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ramub1.v	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V C_ W )
2		ramub1.w	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W C_ ( S \ { X } ) )
3	1, 2	sstrd 3318	. . . . . . 7 |- ( ph -> V C_ ( S \ { X } ) )
4	3	difss2d 3437	. . . . . 6 |- ( ph -> V C_ S )
5		ramub1.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. S )
6	5	snssd 3903	. . . . . 6 |- ( ph -> { X } C_ S )
7	4, 6	unssd 3483	. . . . 5 |- ( ph -> ( V u. { X } ) C_ S )
8		ramub1.4	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. Fin )
9		elpw2g 4323	. . . . . 6 |- ( S e. Fin -> ( ( V u. { X } ) e. ~P S <-> ( V u. { X } ) C_ S ) )
10	8, 9	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( V u. { X } ) e. ~P S <-> ( V u. { X } ) C_ S ) )
11	7, 10	mpbird 224	. . . 4 |- ( ph -> ( V u. { X } ) e. ~P S )
12	11	adantr 452	. . 3 |- ( ( ph /\ E = D ) -> ( V u. { X } ) e. ~P S )
13		iftrue 3705	. . . . . . 7 |- ( E = D -> if ( E = D , ( ( F ` D ) - 1 ) , ( F ` E ) ) = ( ( F ` D ) - 1 ) )
14	13	adantl 453	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = D ) -> if ( E = D , ( ( F ` D ) - 1 ) , ( F ` E ) ) = ( ( F ` D ) - 1 ) )
15		ramub1.9	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( E = D , ( ( F ` D ) - 1 ) , ( F ` E ) ) <_ ( # ` V ) )
16	15	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = D ) -> if ( E = D , ( ( F ` D ) - 1 ) , ( F ` E ) ) <_ ( # ` V ) )
17	14, 16	eqbrtrrd 4194	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = D ) -> ( ( F ` D ) - 1 ) <_ ( # ` V ) )
18		ramub1.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : R --> NN )
19		ramub1.d	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. R )
20	18, 19	ffvelrnd 5830	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` D ) e. NN )
21	20	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = D ) -> ( F ` D ) e. NN )
22	21	nnred 9971	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = D ) -> ( F ` D ) e. RR )
23		1re 9046	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
24	23	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = D ) -> 1 e. RR )
25		ssfi 7288	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Fin /\ V C_ S ) -> V e. Fin )
26	8, 4, 25	syl2anc 643	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V e. Fin )
27		hashcl 11594	. . . . . . . 8 |- ( V e. Fin -> ( # ` V ) e. NN0 )
28		nn0re 10186	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` V ) e. NN0 -> ( # ` V ) e. RR )
29	26, 27, 28	3syl 19	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( # ` V ) e. RR )
30	29	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = D ) -> ( # ` V ) e. RR )
31	22, 24, 30	lesubaddd 9579	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = D ) -> ( ( ( F ` D ) - 1 ) <_ ( # ` V ) <-> ( F ` D ) <_ ( ( # ` V ) + 1 ) ) )
32	17, 31	mpbid 202	. . . 4 |- ( ( ph /\ E = D ) -> ( F ` D ) <_ ( ( # ` V ) + 1 ) )
33		fveq2 5687	. . . . 5 |- ( E = D -> ( F ` E ) = ( F ` D ) )
34		snidg 3799	. . . . . . . 8 |- ( X e. S -> X e. { X } )
35	5, 34	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. { X } )
36	3	sseld 3307	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X e. V -> X e. ( S \ { X } ) ) )
37		eldifn 3430	. . . . . . . 8 |- ( X e. ( S \ { X } ) -> -. X e. { X } )
38	36, 37	syl6 31	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X e. V -> -. X e. { X } ) )
39	35, 38	mt2d 111	. . . . . 6 |- ( ph -> -. X e. V )
40		hashunsng 11620	. . . . . . 7 |- ( X e. S -> ( ( V e. Fin /\ -. X e. V ) -> ( # ` ( V u. { X } ) ) = ( ( # ` V ) + 1 ) ) )
41	5, 40	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( V e. Fin /\ -. X e. V ) -> ( # ` ( V u. { X } ) ) = ( ( # ` V ) + 1 ) ) )
42	26, 39, 41	mp2and 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` ( V u. { X } ) ) = ( ( # ` V ) + 1 ) )
43	33, 42	breqan12rd 4188	. . . 4 |- ( ( ph /\ E = D ) -> ( ( F ` E ) <_ ( # ` ( V u. { X } ) ) <-> ( F ` D ) <_ ( ( # ` V ) + 1 ) ) )
44	32, 43	mpbird 224	. . 3 |- ( ( ph /\ E = D ) -> ( F ` E ) <_ ( # ` ( V u. { X } ) ) )
45		snfi 7146	. . . . . . 7 |- { X } e. Fin
46		unfi 7333	. . . . . . 7 |- ( ( V e. Fin /\ { X } e. Fin ) -> ( V u. { X } ) e. Fin )
47	26, 45, 46	sylancl 644	. . . . . 6 |- ( ph -> ( V u. { X } ) e. Fin )
48		ramub1.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN )
49	48	nnnn0d 10230	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN0 )
50		ramub1.3	. . . . . . 7 |- C = ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } )
51	50	hashbcval 13325	. . . . . 6 |- ( ( ( V u. { X } ) e. Fin /\ M e. NN0 ) -> ( ( V u. { X } ) C M ) = { x e. ~P ( V u. { X } ) | ( # ` x ) = M } )
52	47, 49, 51	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( V u. { X } ) C M ) = { x e. ~P ( V u. { X } ) | ( # ` x ) = M } )
53	52	adantr 452	. . . 4 |- ( ( ph /\ E = D ) -> ( ( V u. { X } ) C M ) = { x e. ~P ( V u. { X } ) | ( # ` x ) = M } )
54		simpl1l 1008	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ x e. ~P V ) -> ph )
55	50	hashbcval 13325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. Fin /\ M e. NN0 ) -> ( V C M ) = { x e. ~P V | ( # ` x ) = M } )
56	26, 49, 55	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( V C M ) = { x e. ~P V | ( # ` x ) = M } )
57		ramub1.s	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( V C M ) C_ ( `' K " { E } ) )
58	56, 57	eqsstr3d 3343	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x e. ~P V | ( # ` x ) = M } C_ ( `' K " { E } ) )
59	54, 58	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ x e. ~P V ) -> { x e. ~P V | ( # ` x ) = M } C_ ( `' K " { E } ) )
60		simpr 448	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ x e. ~P V ) -> x e. ~P V )
61		simpl3 962	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ x e. ~P V ) -> ( # ` x ) = M )
62		rabid 2844	. . . . . . . 8 |- ( x e. { x e. ~P V | ( # ` x ) = M } <-> ( x e. ~P V /\ ( # ` x ) = M ) )
63	60, 61, 62	sylanbrc 646	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ x e. ~P V ) -> x e. { x e. ~P V | ( # ` x ) = M } )
64	59, 63	sseldd 3309	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ x e. ~P V ) -> x e. ( `' K " { E } ) )
65		simpl2 961	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> x e. ~P ( V u. { X } ) )
66	65	elpwid 3768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> x C_ ( V u. { X } ) )
67		simpl1l 1008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ph )
68	67, 7	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( V u. { X } ) C_ S )
69	66, 68	sstrd 3318	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> x C_ S )
70		vex 2919	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
71	70	elpw 3765	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~P S <-> x C_ S )
72	69, 71	sylibr 204	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> x e. ~P S )
73		simpl3 962	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( # ` x ) = M )
74		rabid 2844	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { x e. ~P S | ( # ` x ) = M } <-> ( x e. ~P S /\ ( # ` x ) = M ) )
75	72, 73, 74	sylanbrc 646	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> x e. { x e. ~P S | ( # ` x ) = M } )
76	50	hashbcval 13325	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. Fin /\ M e. NN0 ) -> ( S C M ) = { x e. ~P S | ( # ` x ) = M } )
77	8, 49, 76	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S C M ) = { x e. ~P S | ( # ` x ) = M } )
78	67, 77	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( S C M ) = { x e. ~P S | ( # ` x ) = M } )
79	75, 78	eleqtrrd 2481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> x e. ( S C M ) )
80	2	difss2d 3437	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> W C_ S )
81		ssfi 7288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. Fin /\ W C_ S ) -> W e. Fin )
82	8, 80, 81	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> W e. Fin )
83		nnm1nn0 10217	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. NN -> ( M - 1 ) e. NN0 )
84	48, 83	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M - 1 ) e. NN0 )
85	50	hashbcval 13325	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. Fin /\ ( M - 1 ) e. NN0 ) -> ( W C ( M - 1 ) ) = { u e. ~P W | ( # ` u ) = ( M - 1 ) } )
86	82, 84, 85	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( W C ( M - 1 ) ) = { u e. ~P W | ( # ` u ) = ( M - 1 ) } )
87		ramub1.8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( W C ( M - 1 ) ) C_ ( `' H " { D } ) )
88	86, 87	eqsstr3d 3343	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { u e. ~P W | ( # ` u ) = ( M - 1 ) } C_ ( `' H " { D } ) )
89	67, 88	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> { u e. ~P W | ( # ` u ) = ( M - 1 ) } C_ ( `' H " { D } ) )
90		uncom 3451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( V u. { X } ) = ( { X } u. V )
91	66, 90	syl6sseq 3354	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> x C_ ( { X } u. V ) )
92		ssundif 3671	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x C_ ( { X } u. V ) <-> ( x \ { X } ) C_ V )
93	91, 92	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( x \ { X } ) C_ V )
94	67, 1	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> V C_ W )
95	93, 94	sstrd 3318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( x \ { X } ) C_ W )
96		difexg 4311	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. _V -> ( x \ { X } ) e. _V )
97	70, 96	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x \ { X } ) e. _V
98	97	elpw 3765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x \ { X } ) e. ~P W <-> ( x \ { X } ) C_ W )
99	95, 98	sylibr 204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( x \ { X } ) e. ~P W )
100	67, 8	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> S e. Fin )
101		ssfi 7288	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S e. Fin /\ x C_ S ) -> x e. Fin )
102	100, 69, 101	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> x e. Fin )
103		diffi 7298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. Fin -> ( x \ { X } ) e. Fin )
104	102, 103	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( x \ { X } ) e. Fin )
105		hashcl 11594	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x \ { X } ) e. Fin -> ( # ` ( x \ { X } ) ) e. NN0 )
106		nn0cn 10187	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` ( x \ { X } ) ) e. NN0 -> ( # ` ( x \ { X } ) ) e. CC )
107	104, 105, 106	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( # ` ( x \ { X } ) ) e. CC )
108		ax-1cn 9004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
109		pncan 9267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( # ` ( x \ { X } ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( # ` ( x \ { X } ) ) + 1 ) - 1 ) = ( # ` ( x \ { X } ) ) )
110	107, 108, 109	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( ( ( # ` ( x \ { X } ) ) + 1 ) - 1 ) = ( # ` ( x \ { X } ) ) )
111		neldifsnd 3890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> -. X e. ( x \ { X } ) )
112		hashunsng 11620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X e. S -> ( ( ( x \ { X } ) e. Fin /\ -. X e. ( x \ { X } ) ) -> ( # ` ( ( x \ { X } ) u. { X } ) ) = ( ( # ` ( x \ { X } ) ) + 1 ) ) )
113	67, 5, 112	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( ( ( x \ { X } ) e. Fin /\ -. X e. ( x \ { X } ) ) -> ( # ` ( ( x \ { X } ) u. { X } ) ) = ( ( # ` ( x \ { X } ) ) + 1 ) ) )
114	104, 111, 113	mp2and 661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( # ` ( ( x \ { X } ) u. { X } ) ) = ( ( # ` ( x \ { X } ) ) + 1 ) )
115		undif1 3663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x \ { X } ) u. { X } ) = ( x u. { X } )
116		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> -. x e. ~P V )
117	65, 116	eldifd 3291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> x e. ( ~P ( V u. { X } ) \ ~P V ) )
118		elpwunsn 4716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( ~P ( V u. { X } ) \ ~P V ) -> X e. x )
119	117, 118	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> X e. x )
120	119	snssd 3903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> { X } C_ x )
121		ssequn2 3480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { X } C_ x <-> ( x u. { X } ) = x )
122	120, 121	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( x u. { X } ) = x )
123	115, 122	syl5req 2449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> x = ( ( x \ { X } ) u. { X } ) )
124	123	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( # ` x ) = ( # ` ( ( x \ { X } ) u. { X } ) ) )
125	124, 73	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( # ` ( ( x \ { X } ) u. { X } ) ) = M )
126	114, 125	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( ( # ` ( x \ { X } ) ) + 1 ) = M )
127	126	oveq1d 6055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( ( ( # ` ( x \ { X } ) ) + 1 ) - 1 ) = ( M - 1 ) )
128	110, 127	eqtr3d 2438	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( # ` ( x \ { X } ) ) = ( M - 1 ) )
129		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( x \ { X } ) -> ( # ` u ) = ( # ` ( x \ { X } ) ) )
130	129	eqeq1d 2412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( x \ { X } ) -> ( ( # ` u ) = ( M - 1 ) <-> ( # ` ( x \ { X } ) ) = ( M - 1 ) ) )
131	130	elrab 3052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x \ { X } ) e. { u e. ~P W | ( # ` u ) = ( M - 1 ) } <-> ( ( x \ { X } ) e. ~P W /\ ( # ` ( x \ { X } ) ) = ( M - 1 ) ) )
132	99, 128, 131	sylanbrc 646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( x \ { X } ) e. { u e. ~P W | ( # ` u ) = ( M - 1 ) } )
133	89, 132	sseldd 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( x \ { X } ) e. ( `' H " { D } ) )
134		ramub1.h	. . . . . . . . . . . 12 |- H = ( u e. ( ( S \ { X } ) C ( M - 1 ) ) |-> ( K ` ( u u. { X } ) ) )
135	134	mptiniseg 5323	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. R -> ( `' H " { D } ) = { u e. ( ( S \ { X } ) C ( M - 1 ) ) | ( K ` ( u u. { X } ) ) = D } )
136	67, 19, 135	3syl 19	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( `' H " { D } ) = { u e. ( ( S \ { X } ) C ( M - 1 ) ) | ( K ` ( u u. { X } ) ) = D } )
137	133, 136	eleqtrd 2480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( x \ { X } ) e. { u e. ( ( S \ { X } ) C ( M - 1 ) ) | ( K ` ( u u. { X } ) ) = D } )
138		uneq1 3454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( x \ { X } ) -> ( u u. { X } ) = ( ( x \ { X } ) u. { X } ) )
139	138	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( x \ { X } ) -> ( K ` ( u u. { X } ) ) = ( K ` ( ( x \ { X } ) u. { X } ) ) )
140	139	eqeq1d 2412	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( x \ { X } ) -> ( ( K ` ( u u. { X } ) ) = D <-> ( K ` ( ( x \ { X } ) u. { X } ) ) = D ) )
141	140	elrab 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x \ { X } ) e. { u e. ( ( S \ { X } ) C ( M - 1 ) ) | ( K ` ( u u. { X } ) ) = D } <-> ( ( x \ { X } ) e. ( ( S \ { X } ) C ( M - 1 ) ) /\ ( K ` ( ( x \ { X } ) u. { X } ) ) = D ) )
142	141	simprbi 451	. . . . . . . . 9 |- ( ( x \ { X } ) e. { u e. ( ( S \ { X } ) C ( M - 1 ) ) | ( K ` ( u u. { X } ) ) = D } -> ( K ` ( ( x \ { X } ) u. { X } ) ) = D )
143	137, 142	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( K ` ( ( x \ { X } ) u. { X } ) ) = D )
144	123	fveq2d 5691	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( K ` x ) = ( K ` ( ( x \ { X } ) u. { X } ) ) )
145		simpl1r 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> E = D )
146	143, 144, 145	3eqtr4d 2446	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( K ` x ) = E )
147		ramub1.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K : ( S C M ) --> R )
148		ffn 5550	. . . . . . . . 9 |- ( K : ( S C M ) --> R -> K Fn ( S C M ) )
149	147, 148	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K Fn ( S C M ) )
150		fniniseg 5810	. . . . . . . 8 |- ( K Fn ( S C M ) -> ( x e. ( `' K " { E } ) <-> ( x e. ( S C M ) /\ ( K ` x ) = E ) ) )
151	67, 149, 150	3syl 19	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( x e. ( `' K " { E } ) <-> ( x e. ( S C M ) /\ ( K ` x ) = E ) ) )
152	79, 146, 151	mpbir2and 889	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> x e. ( `' K " { E } ) )
153	64, 152	pm2.61dan 767	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) -> x e. ( `' K " { E } ) )
154	153	rabssdv 3383	. . . 4 |- ( ( ph /\ E = D ) -> { x e. ~P ( V u. { X } ) | ( # ` x ) = M } C_ ( `' K " { E } ) )
155	53, 154	eqsstrd 3342	. . 3 |- ( ( ph /\ E = D ) -> ( ( V u. { X } ) C M ) C_ ( `' K " { E } ) )
156		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( z = ( V u. { X } ) -> ( # ` z ) = ( # ` ( V u. { X } ) ) )
157	156	breq2d 4184	. . . . 5 |- ( z = ( V u. { X } ) -> ( ( F ` E ) <_ ( # ` z ) <-> ( F ` E ) <_ ( # ` ( V u. { X } ) ) ) )
158		oveq1 6047	. . . . . 6 |- ( z = ( V u. { X } ) -> ( z C M ) = ( ( V u. { X } ) C M ) )
159	158	sseq1d 3335	. . . . 5 |- ( z = ( V u. { X } ) -> ( ( z C M ) C_ ( `' K " { E } ) <-> ( ( V u. { X } ) C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) )
160	157, 159	anbi12d 692	. . . 4 |- ( z = ( V u. { X } ) -> ( ( ( F ` E ) <_ ( # ` z ) /\ ( z C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) <-> ( ( F ` E ) <_ ( # ` ( V u. { X } ) ) /\ ( ( V u. { X } ) C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) ) )
161	160	rspcev 3012	. . 3 |- ( ( ( V u. { X } ) e. ~P S /\ ( ( F ` E ) <_ ( # ` ( V u. { X } ) ) /\ ( ( V u. { X } ) C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) ) -> E. z e. ~P S ( ( F ` E ) <_ ( # ` z ) /\ ( z C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) )
162	12, 44, 155, 161	syl12anc 1182	. 2 |- ( ( ph /\ E = D ) -> E. z e. ~P S ( ( F ` E ) <_ ( # ` z ) /\ ( z C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) )
163		elpw2g 4323	. . . . . 6 |- ( S e. Fin -> ( V e. ~P S <-> V C_ S ) )
164	8, 163	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( V e. ~P S <-> V C_ S ) )
165	4, 164	mpbird 224	. . . 4 |- ( ph -> V e. ~P S )
166	165	adantr 452	. . 3 |- ( ( ph /\ E =/= D ) -> V e. ~P S )
167		ifnefalse 3707	. . . . 5 |- ( E =/= D -> if ( E = D , ( ( F ` D ) - 1 ) , ( F ` E ) ) = ( F ` E ) )
168	167	adantl 453	. . . 4 |- ( ( ph /\ E =/= D ) -> if ( E = D , ( ( F ` D ) - 1 ) , ( F ` E ) ) = ( F ` E ) )
169	15	adantr 452	. . . 4 |- ( ( ph /\ E =/= D ) -> if ( E = D , ( ( F ` D ) - 1 ) , ( F ` E ) ) <_ ( # ` V ) )
170	168, 169	eqbrtrrd 4194	. . 3 |- ( ( ph /\ E =/= D ) -> ( F ` E ) <_ ( # ` V ) )
171	57	adantr 452	. . 3 |- ( ( ph /\ E =/= D ) -> ( V C M ) C_ ( `' K " { E } ) )
172		fveq2 5687	. . . . . 6 |- ( z = V -> ( # ` z ) = ( # ` V ) )
173	172	breq2d 4184	. . . . 5 |- ( z = V -> ( ( F ` E ) <_ ( # ` z ) <-> ( F ` E ) <_ ( # ` V ) ) )
174		oveq1 6047	. . . . . 6 |- ( z = V -> ( z C M ) = ( V C M ) )
175	174	sseq1d 3335	. . . . 5 |- ( z = V -> ( ( z C M ) C_ ( `' K " { E } ) <-> ( V C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) )
176	173, 175	anbi12d 692	. . . 4 |- ( z = V -> ( ( ( F ` E ) <_ ( # ` z ) /\ ( z C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) <-> ( ( F ` E ) <_ ( # ` V ) /\ ( V C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) ) )
177	176	rspcev 3012	. . 3 |- ( ( V e. ~P S /\ ( ( F ` E ) <_ ( # ` V ) /\ ( V C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) ) -> E. z e. ~P S ( ( F ` E ) <_ ( # ` z ) /\ ( z C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) )
178	166, 170, 171, 177	syl12anc 1182	. 2 |- ( ( ph /\ E =/= D ) -> E. z e. ~P S ( ( F ` E ) <_ ( # ` z ) /\ ( z C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) )
179	162, 178	pm2.61dane 2645	1 |- ( ph -> E. z e. ~P S ( ( F ` E ) <_ ( # ` z ) /\ ( z C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916   \ cdif 3277   u. cun 3278   C_ wss 3280   ifcif 3699   ~Pcpw 3759   {csn 3774   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   "cima 4840   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   e. cmpt2 6042   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   1c1 8947   + caddc 8949   <_ cle 9077   - cmin 9247   NNcn 9956   NN0cn0 10177   #chash 11573   Ramsey cram 13322

This theorem is referenced by:  ramub1lem2  13350

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-hash 11574