Theorem ramub1lem1 14977

Description: Lemma for ramub1 14979. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ramub1.m	|- ( ph -> M e. NN )
ramub1.r	|- ( ph -> R e. Fin )
ramub1.f	|- ( ph -> F : R --> NN )
ramub1.g	|- G = ( x e. R |-> ( M Ramsey ( y e. R |-> if ( y = x , ( ( F ` x ) - 1 ) , ( F ` y ) ) ) ) )
ramub1.1	|- ( ph -> G : R --> NN0 )
ramub1.2	|- ( ph -> ( ( M - 1 ) Ramsey G ) e. NN0 )
ramub1.3	|- C = ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } )
ramub1.4	|- ( ph -> S e. Fin )
ramub1.5	|- ( ph -> ( # ` S ) = ( ( ( M - 1 ) Ramsey G ) + 1 ) )
ramub1.6	|- ( ph -> K : ( S C M ) --> R )
ramub1.x	|- ( ph -> X e. S )
ramub1.h	|- H = ( u e. ( ( S \ { X } ) C ( M - 1 ) ) |-> ( K ` ( u u. { X } ) ) )
ramub1.d	|- ( ph -> D e. R )
ramub1.w	|- ( ph -> W C_ ( S \ { X } ) )
ramub1.7	|- ( ph -> ( G ` D ) <_ ( # ` W ) )
ramub1.8	|- ( ph -> ( W C ( M - 1 ) ) C_ ( `' H " { D } ) )
ramub1.e	|- ( ph -> E e. R )
ramub1.v	|- ( ph -> V C_ W )
ramub1.9	|- ( ph -> if ( E = D , ( ( F ` D ) - 1 ) , ( F ` E ) ) <_ ( # ` V ) )
ramub1.s	|- ( ph -> ( V C M ) C_ ( `' K " { E } ) )

Assertion

Ref	Expression
ramub1lem1	|- ( ph -> E. z e. ~P S ( ( F ` E ) <_ ( # ` z ) /\ ( z C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) )

Distinct variable groups:   x, u, D   y, u, z, F, x   a, b, i, u, x, y, z, M   G, a, i, u, x, y, z   u, R, x, y, z   W, a, i, u   ph, u, x, y, z   S, a, i, u, x, y, z   V, a, i, x, z   u, C, x, y, z   u, H, x, y, z   u, K, x, y, z   x, E, z   X, a, i, u, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( i, a, b)   C( i, a, b)   D( y, z, i, a, b)   R( i, a, b)   S( b)   E( y, u, i, a, b)   F( i, a, b)   G( b)   H( i, a, b)   K( i, a, b)   V( y, u, b)   W( x, y, z, b)   X( b)

Proof of Theorem ramub1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ramub1.v	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V C_ W )
2		ramub1.w	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W C_ ( S \ { X } ) )
3	1, 2	sstrd 3475	. . . . . . 7 |- ( ph -> V C_ ( S \ { X } ) )
4	3	difss2d 3596	. . . . . 6 |- ( ph -> V C_ S )
5		ramub1.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. S )
6	5	snssd 4143	. . . . . 6 |- ( ph -> { X } C_ S )
7	4, 6	unssd 3643	. . . . 5 |- ( ph -> ( V u. { X } ) C_ S )
8		ramub1.4	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. Fin )
9		elpw2g 4585	. . . . . 6 |- ( S e. Fin -> ( ( V u. { X } ) e. ~P S <-> ( V u. { X } ) C_ S ) )
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( V u. { X } ) e. ~P S <-> ( V u. { X } ) C_ S ) )
11	7, 10	mpbird 236	. . . 4 |- ( ph -> ( V u. { X } ) e. ~P S )
12	11	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ E = D ) -> ( V u. { X } ) e. ~P S )
13		iftrue 3916	. . . . . . 7 |- ( E = D -> if ( E = D , ( ( F ` D ) - 1 ) , ( F ` E ) ) = ( ( F ` D ) - 1 ) )
14	13	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = D ) -> if ( E = D , ( ( F ` D ) - 1 ) , ( F ` E ) ) = ( ( F ` D ) - 1 ) )
15		ramub1.9	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( E = D , ( ( F ` D ) - 1 ) , ( F ` E ) ) <_ ( # ` V ) )
16	15	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = D ) -> if ( E = D , ( ( F ` D ) - 1 ) , ( F ` E ) ) <_ ( # ` V ) )
17	14, 16	eqbrtrrd 4444	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = D ) -> ( ( F ` D ) - 1 ) <_ ( # ` V ) )
18		ramub1.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : R --> NN )
19		ramub1.d	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. R )
20	18, 19	ffvelrnd 6036	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` D ) e. NN )
21	20	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E = D ) -> ( F ` D ) e. NN )
22	21	nnred 10626	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = D ) -> ( F ` D ) e. RR )
23		1red 9660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = D ) -> 1 e. RR )
24		ssfi 7796	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Fin /\ V C_ S ) -> V e. Fin )
25	8, 4, 24	syl2anc 666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> V e. Fin )
26		hashcl 12539	. . . . . . . 8 |- ( V e. Fin -> ( # ` V ) e. NN0 )
27		nn0re 10880	. . . . . . . 8 |- ( ( # ` V ) e. NN0 -> ( # ` V ) e. RR )
28	25, 26, 27	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( # ` V ) e. RR )
29	28	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ E = D ) -> ( # ` V ) e. RR )
30	22, 23, 29	lesubaddd 10212	. . . . 5 |- ( ( ph /\ E = D ) -> ( ( ( F ` D ) - 1 ) <_ ( # ` V ) <-> ( F ` D ) <_ ( ( # ` V ) + 1 ) ) )
31	17, 30	mpbid 214	. . . 4 |- ( ( ph /\ E = D ) -> ( F ` D ) <_ ( ( # ` V ) + 1 ) )
32		fveq2 5879	. . . . 5 |- ( E = D -> ( F ` E ) = ( F ` D ) )
33		snidg 4023	. . . . . . . 8 |- ( X e. S -> X e. { X } )
34	5, 33	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. { X } )
35	3	sseld 3464	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( X e. V -> X e. ( S \ { X } ) ) )
36		eldifn 3589	. . . . . . . 8 |- ( X e. ( S \ { X } ) -> -. X e. { X } )
37	35, 36	syl6 35	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X e. V -> -. X e. { X } ) )
38	34, 37	mt2d 121	. . . . . 6 |- ( ph -> -. X e. V )
39		hashunsng 12572	. . . . . . 7 |- ( X e. S -> ( ( V e. Fin /\ -. X e. V ) -> ( # ` ( V u. { X } ) ) = ( ( # ` V ) + 1 ) ) )
40	5, 39	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( V e. Fin /\ -. X e. V ) -> ( # ` ( V u. { X } ) ) = ( ( # ` V ) + 1 ) ) )
41	25, 38, 40	mp2and 684	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` ( V u. { X } ) ) = ( ( # ` V ) + 1 ) )
42	32, 41	breqan12rd 4438	. . . 4 |- ( ( ph /\ E = D ) -> ( ( F ` E ) <_ ( # ` ( V u. { X } ) ) <-> ( F ` D ) <_ ( ( # ` V ) + 1 ) ) )
43	31, 42	mpbird 236	. . 3 |- ( ( ph /\ E = D ) -> ( F ` E ) <_ ( # ` ( V u. { X } ) ) )
44		snfi 7655	. . . . . . 7 |- { X } e. Fin
45		unfi 7842	. . . . . . 7 |- ( ( V e. Fin /\ { X } e. Fin ) -> ( V u. { X } ) e. Fin )
46	25, 44, 45	sylancl 667	. . . . . 6 |- ( ph -> ( V u. { X } ) e. Fin )
47		ramub1.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN )
48	47	nnnn0d 10927	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN0 )
49		ramub1.3	. . . . . . 7 |- C = ( a e. _V , i e. NN0 |-> { b e. ~P a | ( # ` b ) = i } )
50	49	hashbcval 14947	. . . . . 6 |- ( ( ( V u. { X } ) e. Fin /\ M e. NN0 ) -> ( ( V u. { X } ) C M ) = { x e. ~P ( V u. { X } ) | ( # ` x ) = M } )
51	46, 48, 50	syl2anc 666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( V u. { X } ) C M ) = { x e. ~P ( V u. { X } ) | ( # ` x ) = M } )
52	51	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ E = D ) -> ( ( V u. { X } ) C M ) = { x e. ~P ( V u. { X } ) | ( # ` x ) = M } )
53		simpl1l 1057	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ x e. ~P V ) -> ph )
54	49	hashbcval 14947	. . . . . . . . . 10 |- ( ( V e. Fin /\ M e. NN0 ) -> ( V C M ) = { x e. ~P V | ( # ` x ) = M } )
55	25, 48, 54	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( V C M ) = { x e. ~P V | ( # ` x ) = M } )
56		ramub1.s	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( V C M ) C_ ( `' K " { E } ) )
57	55, 56	eqsstr3d 3500	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x e. ~P V | ( # ` x ) = M } C_ ( `' K " { E } ) )
58	53, 57	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ x e. ~P V ) -> { x e. ~P V | ( # ` x ) = M } C_ ( `' K " { E } ) )
59		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ x e. ~P V ) -> x e. ~P V )
60		simpl3 1011	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ x e. ~P V ) -> ( # ` x ) = M )
61		rabid 3006	. . . . . . . 8 |- ( x e. { x e. ~P V | ( # ` x ) = M } <-> ( x e. ~P V /\ ( # ` x ) = M ) )
62	59, 60, 61	sylanbrc 669	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ x e. ~P V ) -> x e. { x e. ~P V | ( # ` x ) = M } )
63	58, 62	sseldd 3466	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ x e. ~P V ) -> x e. ( `' K " { E } ) )
64		simpl2 1010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> x e. ~P ( V u. { X } ) )
65	64	elpwid 3990	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> x C_ ( V u. { X } ) )
66		simpl1l 1057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ph )
67	66, 7	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( V u. { X } ) C_ S )
68	65, 67	sstrd 3475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> x C_ S )
69		vex 3085	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
70	69	elpw 3986	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ~P S <-> x C_ S )
71	68, 70	sylibr 216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> x e. ~P S )
72		simpl3 1011	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( # ` x ) = M )
73		rabid 3006	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { x e. ~P S | ( # ` x ) = M } <-> ( x e. ~P S /\ ( # ` x ) = M ) )
74	71, 72, 73	sylanbrc 669	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> x e. { x e. ~P S | ( # ` x ) = M } )
75	49	hashbcval 14947	. . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. Fin /\ M e. NN0 ) -> ( S C M ) = { x e. ~P S | ( # ` x ) = M } )
76	8, 48, 75	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( S C M ) = { x e. ~P S | ( # ` x ) = M } )
77	66, 76	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( S C M ) = { x e. ~P S | ( # ` x ) = M } )
78	74, 77	eleqtrrd 2514	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> x e. ( S C M ) )
79	2	difss2d 3596	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> W C_ S )
80		ssfi 7796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S e. Fin /\ W C_ S ) -> W e. Fin )
81	8, 79, 80	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> W e. Fin )
82		nnm1nn0 10913	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. NN -> ( M - 1 ) e. NN0 )
83	47, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M - 1 ) e. NN0 )
84	49	hashbcval 14947	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. Fin /\ ( M - 1 ) e. NN0 ) -> ( W C ( M - 1 ) ) = { u e. ~P W | ( # ` u ) = ( M - 1 ) } )
85	81, 83, 84	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( W C ( M - 1 ) ) = { u e. ~P W | ( # ` u ) = ( M - 1 ) } )
86		ramub1.8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( W C ( M - 1 ) ) C_ ( `' H " { D } ) )
87	85, 86	eqsstr3d 3500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { u e. ~P W | ( # ` u ) = ( M - 1 ) } C_ ( `' H " { D } ) )
88	66, 87	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> { u e. ~P W | ( # ` u ) = ( M - 1 ) } C_ ( `' H " { D } ) )
89		uncom 3611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( V u. { X } ) = ( { X } u. V )
90	65, 89	syl6sseq 3511	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> x C_ ( { X } u. V ) )
91		ssundif 3880	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x C_ ( { X } u. V ) <-> ( x \ { X } ) C_ V )
92	90, 91	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( x \ { X } ) C_ V )
93	66, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> V C_ W )
94	92, 93	sstrd 3475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( x \ { X } ) C_ W )
95		difexg 4570	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. _V -> ( x \ { X } ) e. _V )
96	69, 95	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x \ { X } ) e. _V
97	96	elpw 3986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x \ { X } ) e. ~P W <-> ( x \ { X } ) C_ W )
98	94, 97	sylibr 216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( x \ { X } ) e. ~P W )
99	66, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> S e. Fin )
100		ssfi 7796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S e. Fin /\ x C_ S ) -> x e. Fin )
101	99, 68, 100	syl2anc 666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> x e. Fin )
102		diffi 7807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. Fin -> ( x \ { X } ) e. Fin )
103	101, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( x \ { X } ) e. Fin )
104		hashcl 12539	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x \ { X } ) e. Fin -> ( # ` ( x \ { X } ) ) e. NN0 )
105		nn0cn 10881	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` ( x \ { X } ) ) e. NN0 -> ( # ` ( x \ { X } ) ) e. CC )
106	103, 104, 105	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( # ` ( x \ { X } ) ) e. CC )
107		ax-1cn 9599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
108		pncan 9883	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( # ` ( x \ { X } ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( # ` ( x \ { X } ) ) + 1 ) - 1 ) = ( # ` ( x \ { X } ) ) )
109	106, 107, 108	sylancl 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( ( ( # ` ( x \ { X } ) ) + 1 ) - 1 ) = ( # ` ( x \ { X } ) ) )
110		neldifsnd 4126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> -. X e. ( x \ { X } ) )
111		hashunsng 12572	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X e. S -> ( ( ( x \ { X } ) e. Fin /\ -. X e. ( x \ { X } ) ) -> ( # ` ( ( x \ { X } ) u. { X } ) ) = ( ( # ` ( x \ { X } ) ) + 1 ) ) )
112	66, 5, 111	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( ( ( x \ { X } ) e. Fin /\ -. X e. ( x \ { X } ) ) -> ( # ` ( ( x \ { X } ) u. { X } ) ) = ( ( # ` ( x \ { X } ) ) + 1 ) ) )
113	103, 110, 112	mp2and 684	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( # ` ( ( x \ { X } ) u. { X } ) ) = ( ( # ` ( x \ { X } ) ) + 1 ) )
114		undif1 3871	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x \ { X } ) u. { X } ) = ( x u. { X } )
115		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> -. x e. ~P V )
116	64, 115	eldifd 3448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> x e. ( ~P ( V u. { X } ) \ ~P V ) )
117		elpwunsn 4038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( ~P ( V u. { X } ) \ ~P V ) -> X e. x )
118	116, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> X e. x )
119	118	snssd 4143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> { X } C_ x )
120		ssequn2 3640	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( { X } C_ x <-> ( x u. { X } ) = x )
121	119, 120	sylib 200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( x u. { X } ) = x )
122	114, 121	syl5req 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> x = ( ( x \ { X } ) u. { X } ) )
123	122	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( # ` x ) = ( # ` ( ( x \ { X } ) u. { X } ) ) )
124	123, 72	eqtr3d 2466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( # ` ( ( x \ { X } ) u. { X } ) ) = M )
125	113, 124	eqtr3d 2466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( ( # ` ( x \ { X } ) ) + 1 ) = M )
126	125	oveq1d 6318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( ( ( # ` ( x \ { X } ) ) + 1 ) - 1 ) = ( M - 1 ) )
127	109, 126	eqtr3d 2466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( # ` ( x \ { X } ) ) = ( M - 1 ) )
128		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = ( x \ { X } ) -> ( # ` u ) = ( # ` ( x \ { X } ) ) )
129	128	eqeq1d 2425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( x \ { X } ) -> ( ( # ` u ) = ( M - 1 ) <-> ( # ` ( x \ { X } ) ) = ( M - 1 ) ) )
130	129	elrab 3230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x \ { X } ) e. { u e. ~P W | ( # ` u ) = ( M - 1 ) } <-> ( ( x \ { X } ) e. ~P W /\ ( # ` ( x \ { X } ) ) = ( M - 1 ) ) )
131	98, 127, 130	sylanbrc 669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( x \ { X } ) e. { u e. ~P W | ( # ` u ) = ( M - 1 ) } )
132	88, 131	sseldd 3466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( x \ { X } ) e. ( `' H " { D } ) )
133		ramub1.h	. . . . . . . . . . . 12 |- H = ( u e. ( ( S \ { X } ) C ( M - 1 ) ) |-> ( K ` ( u u. { X } ) ) )
134	133	mptiniseg 5346	. . . . . . . . . . 11 |- ( D e. R -> ( `' H " { D } ) = { u e. ( ( S \ { X } ) C ( M - 1 ) ) | ( K ` ( u u. { X } ) ) = D } )
135	66, 19, 134	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( `' H " { D } ) = { u e. ( ( S \ { X } ) C ( M - 1 ) ) | ( K ` ( u u. { X } ) ) = D } )
136	132, 135	eleqtrd 2513	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( x \ { X } ) e. { u e. ( ( S \ { X } ) C ( M - 1 ) ) | ( K ` ( u u. { X } ) ) = D } )
137		uneq1 3614	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = ( x \ { X } ) -> ( u u. { X } ) = ( ( x \ { X } ) u. { X } ) )
138	137	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = ( x \ { X } ) -> ( K ` ( u u. { X } ) ) = ( K ` ( ( x \ { X } ) u. { X } ) ) )
139	138	eqeq1d 2425	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( x \ { X } ) -> ( ( K ` ( u u. { X } ) ) = D <-> ( K ` ( ( x \ { X } ) u. { X } ) ) = D ) )
140	139	elrab 3230	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x \ { X } ) e. { u e. ( ( S \ { X } ) C ( M - 1 ) ) | ( K ` ( u u. { X } ) ) = D } <-> ( ( x \ { X } ) e. ( ( S \ { X } ) C ( M - 1 ) ) /\ ( K ` ( ( x \ { X } ) u. { X } ) ) = D ) )
141	140	simprbi 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( x \ { X } ) e. { u e. ( ( S \ { X } ) C ( M - 1 ) ) | ( K ` ( u u. { X } ) ) = D } -> ( K ` ( ( x \ { X } ) u. { X } ) ) = D )
142	136, 141	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( K ` ( ( x \ { X } ) u. { X } ) ) = D )
143	122	fveq2d 5883	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( K ` x ) = ( K ` ( ( x \ { X } ) u. { X } ) ) )
144		simpl1r 1058	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> E = D )
145	142, 143, 144	3eqtr4d 2474	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( K ` x ) = E )
146		ramub1.6	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K : ( S C M ) --> R )
147		ffn 5744	. . . . . . . . 9 |- ( K : ( S C M ) --> R -> K Fn ( S C M ) )
148	146, 147	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K Fn ( S C M ) )
149		fniniseg 6016	. . . . . . . 8 |- ( K Fn ( S C M ) -> ( x e. ( `' K " { E } ) <-> ( x e. ( S C M ) /\ ( K ` x ) = E ) ) )
150	66, 148, 149	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> ( x e. ( `' K " { E } ) <-> ( x e. ( S C M ) /\ ( K ` x ) = E ) ) )
151	78, 145, 150	mpbir2and 931	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) /\ -. x e. ~P V ) -> x e. ( `' K " { E } ) )
152	63, 151	pm2.61dan 799	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ E = D ) /\ x e. ~P ( V u. { X } ) /\ ( # ` x ) = M ) -> x e. ( `' K " { E } ) )
153	152	rabssdv 3542	. . . 4 |- ( ( ph /\ E = D ) -> { x e. ~P ( V u. { X } ) | ( # ` x ) = M } C_ ( `' K " { E } ) )
154	52, 153	eqsstrd 3499	. . 3 |- ( ( ph /\ E = D ) -> ( ( V u. { X } ) C M ) C_ ( `' K " { E } ) )
155		fveq2 5879	. . . . . 6 |- ( z = ( V u. { X } ) -> ( # ` z ) = ( # ` ( V u. { X } ) ) )
156	155	breq2d 4433	. . . . 5 |- ( z = ( V u. { X } ) -> ( ( F ` E ) <_ ( # ` z ) <-> ( F ` E ) <_ ( # ` ( V u. { X } ) ) ) )
157		oveq1 6310	. . . . . 6 |- ( z = ( V u. { X } ) -> ( z C M ) = ( ( V u. { X } ) C M ) )
158	157	sseq1d 3492	. . . . 5 |- ( z = ( V u. { X } ) -> ( ( z C M ) C_ ( `' K " { E } ) <-> ( ( V u. { X } ) C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) )
159	156, 158	anbi12d 716	. . . 4 |- ( z = ( V u. { X } ) -> ( ( ( F ` E ) <_ ( # ` z ) /\ ( z C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) <-> ( ( F ` E ) <_ ( # ` ( V u. { X } ) ) /\ ( ( V u. { X } ) C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) ) )
160	159	rspcev 3183	. . 3 |- ( ( ( V u. { X } ) e. ~P S /\ ( ( F ` E ) <_ ( # ` ( V u. { X } ) ) /\ ( ( V u. { X } ) C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) ) -> E. z e. ~P S ( ( F ` E ) <_ ( # ` z ) /\ ( z C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) )
161	12, 43, 154, 160	syl12anc 1263	. 2 |- ( ( ph /\ E = D ) -> E. z e. ~P S ( ( F ` E ) <_ ( # ` z ) /\ ( z C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) )
162		elpw2g 4585	. . . . . 6 |- ( S e. Fin -> ( V e. ~P S <-> V C_ S ) )
163	8, 162	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( V e. ~P S <-> V C_ S ) )
164	4, 163	mpbird 236	. . . 4 |- ( ph -> V e. ~P S )
165	164	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ E =/= D ) -> V e. ~P S )
166		ifnefalse 3922	. . . . 5 |- ( E =/= D -> if ( E = D , ( ( F ` D ) - 1 ) , ( F ` E ) ) = ( F ` E ) )
167	166	adantl 468	. . . 4 |- ( ( ph /\ E =/= D ) -> if ( E = D , ( ( F ` D ) - 1 ) , ( F ` E ) ) = ( F ` E ) )
168	15	adantr 467	. . . 4 |- ( ( ph /\ E =/= D ) -> if ( E = D , ( ( F ` D ) - 1 ) , ( F ` E ) ) <_ ( # ` V ) )
169	167, 168	eqbrtrrd 4444	. . 3 |- ( ( ph /\ E =/= D ) -> ( F ` E ) <_ ( # ` V ) )
170	56	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ E =/= D ) -> ( V C M ) C_ ( `' K " { E } ) )
171		fveq2 5879	. . . . . 6 |- ( z = V -> ( # ` z ) = ( # ` V ) )
172	171	breq2d 4433	. . . . 5 |- ( z = V -> ( ( F ` E ) <_ ( # ` z ) <-> ( F ` E ) <_ ( # ` V ) ) )
173		oveq1 6310	. . . . . 6 |- ( z = V -> ( z C M ) = ( V C M ) )
174	173	sseq1d 3492	. . . . 5 |- ( z = V -> ( ( z C M ) C_ ( `' K " { E } ) <-> ( V C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) )
175	172, 174	anbi12d 716	. . . 4 |- ( z = V -> ( ( ( F ` E ) <_ ( # ` z ) /\ ( z C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) <-> ( ( F ` E ) <_ ( # ` V ) /\ ( V C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) ) )
176	175	rspcev 3183	. . 3 |- ( ( V e. ~P S /\ ( ( F ` E ) <_ ( # ` V ) /\ ( V C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) ) -> E. z e. ~P S ( ( F ` E ) <_ ( # ` z ) /\ ( z C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) )
177	165, 169, 170, 176	syl12anc 1263	. 2 |- ( ( ph /\ E =/= D ) -> E. z e. ~P S ( ( F ` E ) <_ ( # ` z ) /\ ( z C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) )
178	161, 177	pm2.61dane 2743	1 |- ( ph -> E. z e. ~P S ( ( F ` E ) <_ ( # ` z ) /\ ( z C M ) C_ ( `' K " { E } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 983   = wceq 1438   e. wcel 1869   =/= wne 2619   E.wrex 2777   {crab 2780   _Vcvv 3082   \ cdif 3434   u. cun 3435   C_ wss 3437   ifcif 3910   ~Pcpw 3980   {csn 3997   class class class wbr 4421   |-> cmpt 4480   `'ccnv 4850   "cima 4854   Fn wfn 5594   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   |-> cmpt2 6305   Fincfn 7575   CCcc 9539   RRcr 9540   1c1 9542   + caddc 9544   <_ cle 9678   - cmin 9862   NNcn 10611   NN0cn0 10871   #chash 12516   Ramsey cram 14942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-hash 12517

This theorem is referenced by:  ramub1lem2  14978