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Theorem ramub1lem1 13349
Description: Lemma for ramub1 13351. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramub1.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
ramub1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
ramub1.f  |-  ( ph  ->  F : R --> NN )
ramub1.g  |-  G  =  ( x  e.  R  |->  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  x ,  ( ( F `  x )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) ) )
ramub1.1  |-  ( ph  ->  G : R --> NN0 )
ramub1.2  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  e.  NN0 )
ramub1.3  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
ramub1.4  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
ramub1.5  |-  ( ph  ->  ( # `  S
)  =  ( ( ( M  -  1 ) Ramsey  G )  +  1 ) )
ramub1.6  |-  ( ph  ->  K : ( S C M ) --> R )
ramub1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
ramub1.h  |-  H  =  ( u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |->  ( K `  ( u  u.  { X } ) ) )
ramub1.d  |-  ( ph  ->  D  e.  R )
ramub1.w  |-  ( ph  ->  W  C_  ( S  \  { X } ) )
ramub1.7  |-  ( ph  ->  ( G `  D
)  <_  ( # `  W
) )
ramub1.8  |-  ( ph  ->  ( W C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { D }
) )
ramub1.e  |-  ( ph  ->  E  e.  R )
ramub1.v  |-  ( ph  ->  V  C_  W )
ramub1.9  |-  ( ph  ->  if ( E  =  D ,  ( ( F `  D )  -  1 ) ,  ( F `  E
) )  <_  ( # `
 V ) )
ramub1.s  |-  ( ph  ->  ( V C M )  C_  ( `' K " { E }
) )
Assertion
Ref Expression
ramub1lem1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 E )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
Distinct variable groups:    x, u, D    y, u, z, F, x    a, b, i, u, x, y, z, M    G, a, i, u, x, y, z    u, R, x, y, z    W, a, i, u    ph, u, x, y, z    S, a, i, u, x, y, z    V, a, i, x, z    u, C, x, y, z    u, H, x, y, z    u, K, x, y, z    x, E, z    X, a, i, u, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( i, a, b)    C( i, a, b)    D( y, z, i, a, b)    R( i, a, b)    S( b)    E( y, u, i, a, b)    F( i, a, b)    G( b)    H( i, a, b)    K( i, a, b)    V( y, u, b)    W( x, y, z, b)    X( b)

Proof of Theorem ramub1lem1
StepHypRef Expression
1 ramub1.v . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  C_  W )
2 ramub1.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  C_  ( S  \  { X } ) )
31, 2sstrd 3318 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  C_  ( S  \  { X } ) )
43difss2d 3437 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  C_  S )
5 ramub1.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
65snssd 3903 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { X }  C_  S )
74, 6unssd 3483 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( V  u.  { X } )  C_  S
)
8 ramub1.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
9 elpw2g 4323 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Fin  ->  (
( V  u.  { X } )  e.  ~P S 
<->  ( V  u.  { X } )  C_  S
) )
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( V  u.  { X } )  e. 
~P S  <->  ( V  u.  { X } ) 
C_  S ) )
117, 10mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( V  u.  { X } )  e.  ~P S )
1211adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  ( V  u.  { X } )  e.  ~P S )
13 iftrue 3705 . . . . . . 7  |-  ( E  =  D  ->  if ( E  =  D ,  ( ( F `
 D )  - 
1 ) ,  ( F `  E ) )  =  ( ( F `  D )  -  1 ) )
1413adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  if ( E  =  D ,  ( ( F `
 D )  - 
1 ) ,  ( F `  E ) )  =  ( ( F `  D )  -  1 ) )
15 ramub1.9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( E  =  D ,  ( ( F `  D )  -  1 ) ,  ( F `  E
) )  <_  ( # `
 V ) )
1615adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  if ( E  =  D ,  ( ( F `
 D )  - 
1 ) ,  ( F `  E ) )  <_  ( # `  V
) )
1714, 16eqbrtrrd 4194 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  (
( F `  D
)  -  1 )  <_  ( # `  V
) )
18 ramub1.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : R --> NN )
19 ramub1.d . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  R )
2018, 19ffvelrnd 5830 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  D
)  e.  NN )
2120adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  ( F `  D )  e.  NN )
2221nnred 9971 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  ( F `  D )  e.  RR )
23 1re 9046 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  1  e.  RR )
25 ssfi 7288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  V  C_  S )  ->  V  e.  Fin )
268, 4, 25syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  e.  Fin )
27 hashcl 11594 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 V )  e. 
NN0 )
28 nn0re 10186 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( # `  V
)  e.  RR )
2926, 27, 283syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  V
)  e.  RR )
3029adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  ( # `
 V )  e.  RR )
3122, 24, 30lesubaddd 9579 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  (
( ( F `  D )  -  1 )  <_  ( # `  V
)  <->  ( F `  D )  <_  (
( # `  V )  +  1 ) ) )
3217, 31mpbid 202 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  ( F `  D )  <_  ( ( # `  V
)  +  1 ) )
33 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( E  =  D  ->  ( F `  E )  =  ( F `  D ) )
34 snidg 3799 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  X  e.  { X } )
355, 34syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  { X } )
363sseld 3307 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  e.  V  ->  X  e.  ( S 
\  { X }
) ) )
37 eldifn 3430 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ( S  \  { X } )  ->  -.  X  e.  { X } )
3836, 37syl6 31 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  e.  V  ->  -.  X  e.  { X } ) )
3935, 38mt2d 111 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  V
)
40 hashunsng 11620 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  S  ->  (
( V  e.  Fin  /\ 
-.  X  e.  V
)  ->  ( # `  ( V  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  V
)  +  1 ) ) )
415, 40syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  -.  X  e.  V )  ->  ( # `
 ( V  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  V )  +  1 ) ) )
4226, 39, 41mp2and 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( V  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  V
)  +  1 ) )
4333, 42breqan12rd 4188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  (
( F `  E
)  <_  ( # `  ( V  u.  { X } ) )  <->  ( F `  D )  <_  (
( # `  V )  +  1 ) ) )
4432, 43mpbird 224 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  ( F `  E )  <_  ( # `  ( V  u.  { X } ) ) )
45 snfi 7146 . . . . . . 7  |-  { X }  e.  Fin
46 unfi 7333 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  { X }  e.  Fin )  ->  ( V  u.  { X } )  e. 
Fin )
4726, 45, 46sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( V  u.  { X } )  e.  Fin )
48 ramub1.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4948nnnn0d 10230 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
50 ramub1.3 . . . . . . 7  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
5150hashbcval 13325 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  u.  { X } )  e.  Fin  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( V  u.  { X } ) C M )  =  {
x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  |  (
# `  x )  =  M } )
5247, 49, 51syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( V  u.  { X } ) C M )  =  {
x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  |  (
# `  x )  =  M } )
5352adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  (
( V  u.  { X } ) C M )  =  { x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  |  ( # `  x
)  =  M }
)
54 simpl1l 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  x  e.  ~P V )  ->  ph )
5550hashbcval 13325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( V C M )  =  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  M } )
5626, 49, 55syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( V C M )  =  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  M } )
57 ramub1.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( V C M )  C_  ( `' K " { E }
) )
5856, 57eqsstr3d 3343 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  M }  C_  ( `' K " { E } ) )
5954, 58syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  x  e.  ~P V )  ->  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  M }  C_  ( `' K " { E } ) )
60 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  x  e.  ~P V )  ->  x  e.  ~P V
)
61 simpl3 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  x  e.  ~P V )  -> 
( # `  x )  =  M )
62 rabid 2844 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { x  e. 
~P V  |  (
# `  x )  =  M }  <->  ( x  e.  ~P V  /\  ( # `
 x )  =  M ) )
6360, 61, 62sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  x  e.  ~P V )  ->  x  e.  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  M } )
6459, 63sseldd 3309 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  x  e.  ~P V )  ->  x  e.  ( `' K " { E }
) )
65 simpl2 961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  ~P ( V  u.  { X } ) )
6665elpwid 3768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  C_  ( V  u.  { X } ) )
67 simpl1l 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ph )
6867, 7syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( V  u.  { X } ) 
C_  S )
6966, 68sstrd 3318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  C_  S
)
70 vex 2919 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
7170elpw 3765 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P S  <->  x  C_  S
)
7269, 71sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  ~P S )
73 simpl3 962 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( # `  x
)  =  M )
74 rabid 2844 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { x  e. 
~P S  |  (
# `  x )  =  M }  <->  ( x  e.  ~P S  /\  ( # `
 x )  =  M ) )
7572, 73, 74sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  { x  e.  ~P S  |  ( # `  x
)  =  M }
)
7650hashbcval 13325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( S C M )  =  { x  e.  ~P S  |  (
# `  x )  =  M } )
778, 49, 76syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S C M )  =  { x  e.  ~P S  |  (
# `  x )  =  M } )
7867, 77syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( S C M )  =  {
x  e.  ~P S  |  ( # `  x
)  =  M }
)
7975, 78eleqtrrd 2481 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  ( S C M ) )
802difss2d 3437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  W  C_  S )
81 ssfi 7288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  W  C_  S )  ->  W  e.  Fin )
828, 80, 81syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
83 nnm1nn0 10217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
8448, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
8550hashbcval 13325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  Fin  /\  ( M  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( W C ( M  -  1 ) )  =  { u  e.  ~P W  |  (
# `  u )  =  ( M  - 
1 ) } )
8682, 84, 85syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( W C ( M  -  1 ) )  =  { u  e.  ~P W  |  (
# `  u )  =  ( M  - 
1 ) } )
87 ramub1.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( W C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { D }
) )
8886, 87eqsstr3d 3343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { u  e.  ~P W  |  ( # `  u
)  =  ( M  -  1 ) } 
C_  ( `' H " { D } ) )
8967, 88syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  { u  e.  ~P W  |  (
# `  u )  =  ( M  - 
1 ) }  C_  ( `' H " { D } ) )
90 uncom 3451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( V  u.  { X }
)  =  ( { X }  u.  V
)
9166, 90syl6sseq 3354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  C_  ( { X }  u.  V
) )
92 ssundif 3671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x 
C_  ( { X }  u.  V )  <->  ( x  \  { X } )  C_  V
)
9391, 92sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } ) 
C_  V )
9467, 1syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  V  C_  W
)
9593, 94sstrd 3318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } ) 
C_  W )
96 difexg 4311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  \  { X } )  e.  _V )
9770, 96ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
\  { X }
)  e.  _V
9897elpw 3765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  \  { X } )  e.  ~P W 
<->  ( x  \  { X } )  C_  W
)
9995, 98sylibr 204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } )  e.  ~P W )
10067, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  S  e.  Fin )
101 ssfi 7288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  x  C_  S )  ->  x  e.  Fin )
102100, 69, 101syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  Fin )
103 diffi 7298 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
x  \  { X } )  e.  Fin )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } )  e.  Fin )
105 hashcl 11594 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  \  { X } )  e.  Fin  ->  ( # `  (
x  \  { X } ) )  e. 
NN0 )
106 nn0cn 10187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  ( x  \  { X } ) )  e.  NN0  ->  (
# `  ( x  \  { X } ) )  e.  CC )
107104, 105, 1063syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( # `  (
x  \  { X } ) )  e.  CC )
108 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
109 pncan 9267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  (
x  \  { X } ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( # `  (
x  \  { X } ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( # `  ( x  \  { X } ) ) )
110107, 108, 109sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( (
( # `  ( x 
\  { X }
) )  +  1 )  -  1 )  =  ( # `  (
x  \  { X } ) ) )
111 neldifsnd 3890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  -.  X  e.  ( x  \  { X } ) )
112 hashunsng 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  S  ->  (
( ( x  \  { X } )  e. 
Fin  /\  -.  X  e.  ( x  \  { X } ) )  -> 
( # `  ( ( x  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  (
x  \  { X } ) )  +  1 ) ) )
11367, 5, 1123syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( (
( x  \  { X } )  e.  Fin  /\ 
-.  X  e.  ( x  \  { X } ) )  -> 
( # `  ( ( x  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  (
x  \  { X } ) )  +  1 ) ) )
114104, 111, 113mp2and 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( # `  (
( x  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  (
x  \  { X } ) )  +  1 ) )
115 undif1 3663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  \  { X } )  u.  { X } )  =  ( x  u.  { X } )
116 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  -.  x  e.  ~P V )
11765, 116eldifd 3291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  ( ~P ( V  u.  { X } )  \  ~P V ) )
118 elpwunsn 4716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P ( V  u.  { X } )  \  ~P V )  ->  X  e.  x )
119117, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  X  e.  x )
120119snssd 3903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  { X }  C_  x )
121 ssequn2 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { X }  C_  x  <->  ( x  u.  { X } )  =  x )
122120, 121sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  u.  { X } )  =  x )
123115, 122syl5req 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  =  ( ( x  \  { X } )  u. 
{ X } ) )
124123fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( ( x  \  { X } )  u. 
{ X } ) ) )
125124, 73eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( # `  (
( x  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  M )
126114, 125eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( ( # `
 ( x  \  { X } ) )  +  1 )  =  M )
127126oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( (
( # `  ( x 
\  { X }
) )  +  1 )  -  1 )  =  ( M  - 
1 ) )
128110, 127eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( # `  (
x  \  { X } ) )  =  ( M  -  1 ) )
129 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( x  \  { X } )  -> 
( # `  u )  =  ( # `  (
x  \  { X } ) ) )
130129eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( x  \  { X } )  -> 
( ( # `  u
)  =  ( M  -  1 )  <->  ( # `  (
x  \  { X } ) )  =  ( M  -  1 ) ) )
131130elrab 3052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  \  { X } )  e.  {
u  e.  ~P W  |  ( # `  u
)  =  ( M  -  1 ) }  <-> 
( ( x  \  { X } )  e. 
~P W  /\  ( # `
 ( x  \  { X } ) )  =  ( M  - 
1 ) ) )
13299, 128, 131sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } )  e.  { u  e. 
~P W  |  (
# `  u )  =  ( M  - 
1 ) } )
13389, 132sseldd 3309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } )  e.  ( `' H " { D } ) )
134 ramub1.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |->  ( K `  ( u  u.  { X } ) ) )
135134mptiniseg 5323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  R  ->  ( `' H " { D } )  =  {
u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |  ( K `
 ( u  u. 
{ X } ) )  =  D }
)
13667, 19, 1353syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( `' H " { D }
)  =  { u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |  ( K `  ( u  u.  { X }
) )  =  D } )
137133, 136eleqtrd 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } )  e.  { u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |  ( K `  ( u  u.  { X }
) )  =  D } )
138 uneq1 3454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( x  \  { X } )  -> 
( u  u.  { X } )  =  ( ( x  \  { X } )  u.  { X } ) )
139138fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( x  \  { X } )  -> 
( K `  (
u  u.  { X } ) )  =  ( K `  (
( x  \  { X } )  u.  { X } ) ) )
140139eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( x  \  { X } )  -> 
( ( K `  ( u  u.  { X } ) )  =  D  <->  ( K `  ( ( x  \  { X } )  u. 
{ X } ) )  =  D ) )
141140elrab 3052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  \  { X } )  e.  {
u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |  ( K `
 ( u  u. 
{ X } ) )  =  D }  <->  ( ( x  \  { X } )  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  /\  ( K `
 ( ( x 
\  { X }
)  u.  { X } ) )  =  D ) )
142141simprbi 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  \  { X } )  e.  {
u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |  ( K `
 ( u  u. 
{ X } ) )  =  D }  ->  ( K `  (
( x  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  D )
143137, 142syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( K `  ( ( x  \  { X } )  u. 
{ X } ) )  =  D )
144123fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( K `  x )  =  ( K `  ( ( x  \  { X } )  u.  { X } ) ) )
145 simpl1r 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  E  =  D )
146143, 144, 1453eqtr4d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( K `  x )  =  E )
147 ramub1.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K : ( S C M ) --> R )
148 ffn 5550 . . . . . . . . 9  |-  ( K : ( S C M ) --> R  ->  K  Fn  ( S C M ) )
149147, 148syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  Fn  ( S C M ) )
150 fniniseg 5810 . . . . . . . 8  |-  ( K  Fn  ( S C M )  ->  (
x  e.  ( `' K " { E } )  <->  ( x  e.  ( S C M )  /\  ( K `
 x )  =  E ) ) )
15167, 149, 1503syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  e.  ( `' K " { E } )  <->  ( x  e.  ( S C M )  /\  ( K `
 x )  =  E ) ) )
15279, 146, 151mpbir2and 889 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  ( `' K " { E } ) )
15364, 152pm2.61dan 767 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `  x )  =  M )  ->  x  e.  ( `' K " { E }
) )
154153rabssdv 3383 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  { x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  |  ( # `  x
)  =  M }  C_  ( `' K " { E } ) )
15553, 154eqsstrd 3342 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  (
( V  u.  { X } ) C M )  C_  ( `' K " { E }
) )
156 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( V  u.  { X } )  -> 
( # `  z )  =  ( # `  ( V  u.  { X } ) ) )
157156breq2d 4184 . . . . 5  |-  ( z  =  ( V  u.  { X } )  -> 
( ( F `  E )  <_  ( # `
 z )  <->  ( F `  E )  <_  ( # `
 ( V  u.  { X } ) ) ) )
158 oveq1 6047 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( V  u.  { X } )  -> 
( z C M )  =  ( ( V  u.  { X } ) C M ) )
159158sseq1d 3335 . . . . 5  |-  ( z  =  ( V  u.  { X } )  -> 
( ( z C M )  C_  ( `' K " { E } )  <->  ( ( V  u.  { X } ) C M )  C_  ( `' K " { E }
) ) )
160157, 159anbi12d 692 . . . 4  |-  ( z  =  ( V  u.  { X } )  -> 
( ( ( F `
 E )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) )  <->  ( ( F `  E )  <_  ( # `  ( V  u.  { X } ) )  /\  ( ( V  u.  { X } ) C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) ) )
161160rspcev 3012 . . 3  |-  ( ( ( V  u.  { X } )  e.  ~P S  /\  ( ( F `
 E )  <_ 
( # `  ( V  u.  { X }
) )  /\  (
( V  u.  { X } ) C M )  C_  ( `' K " { E }
) ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 E )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
16212, 44, 155, 161syl12anc 1182 . 2  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `  E )  <_  ( # `  z
)  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
163 elpw2g 4323 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Fin  ->  ( V  e.  ~P S  <->  V 
C_  S ) )
1648, 163syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( V  e.  ~P S 
<->  V  C_  S )
)
1654, 164mpbird 224 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  e.  ~P S
)
166165adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  D )  ->  V  e.  ~P S )
167 ifnefalse 3707 . . . . 5  |-  ( E  =/=  D  ->  if ( E  =  D ,  ( ( F `
 D )  - 
1 ) ,  ( F `  E ) )  =  ( F `
 E ) )
168167adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  D )  ->  if ( E  =  D , 
( ( F `  D )  -  1 ) ,  ( F `
 E ) )  =  ( F `  E ) )
16915adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  D )  ->  if ( E  =  D , 
( ( F `  D )  -  1 ) ,  ( F `
 E ) )  <_  ( # `  V
) )
170168, 169eqbrtrrd 4194 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  D )  ->  ( F `  E )  <_  ( # `
 V ) )
17157adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  D )  ->  ( V C M )  C_  ( `' K " { E } ) )
172 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( z  =  V  ->  ( # `
 z )  =  ( # `  V
) )
173172breq2d 4184 . . . . 5  |-  ( z  =  V  ->  (
( F `  E
)  <_  ( # `  z
)  <->  ( F `  E )  <_  ( # `
 V ) ) )
174 oveq1 6047 . . . . . 6  |-  ( z  =  V  ->  (
z C M )  =  ( V C M ) )
175174sseq1d 3335 . . . . 5  |-  ( z  =  V  ->  (
( z C M )  C_  ( `' K " { E }
)  <->  ( V C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
176173, 175anbi12d 692 . . . 4  |-  ( z  =  V  ->  (
( ( F `  E )  <_  ( # `
 z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E }
) )  <->  ( ( F `  E )  <_  ( # `  V
)  /\  ( V C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) ) )
177176rspcev 3012 . . 3  |-  ( ( V  e.  ~P S  /\  ( ( F `  E )  <_  ( # `
 V )  /\  ( V C M ) 
C_  ( `' K " { E } ) ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `  E )  <_  ( # `  z
)  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
178166, 170, 171, 177syl12anc 1182 . 2  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  D )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `  E )  <_  ( # `  z
)  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
179162, 178pm2.61dane 2645 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 E )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    u. cun 3278    C_ wss 3280   ifcif 3699   ~Pcpw 3759   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   1c1 8947    + caddc 8949    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   NN0cn0 10177   #chash 11573   Ramsey cram 13322
This theorem is referenced by:  ramub1lem2  13350
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-hash 11574
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