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Theorem ramub1lem1 14977
Description: Lemma for ramub1 14979. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramub1.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
ramub1.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Fin )
ramub1.f  |-  ( ph  ->  F : R --> NN )
ramub1.g  |-  G  =  ( x  e.  R  |->  ( M Ramsey  ( y  e.  R  |->  if ( y  =  x ,  ( ( F `  x )  -  1 ) ,  ( F `
 y ) ) ) ) )
ramub1.1  |-  ( ph  ->  G : R --> NN0 )
ramub1.2  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 ) Ramsey  G )  e.  NN0 )
ramub1.3  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
ramub1.4  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
ramub1.5  |-  ( ph  ->  ( # `  S
)  =  ( ( ( M  -  1 ) Ramsey  G )  +  1 ) )
ramub1.6  |-  ( ph  ->  K : ( S C M ) --> R )
ramub1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
ramub1.h  |-  H  =  ( u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |->  ( K `  ( u  u.  { X } ) ) )
ramub1.d  |-  ( ph  ->  D  e.  R )
ramub1.w  |-  ( ph  ->  W  C_  ( S  \  { X } ) )
ramub1.7  |-  ( ph  ->  ( G `  D
)  <_  ( # `  W
) )
ramub1.8  |-  ( ph  ->  ( W C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { D }
) )
ramub1.e  |-  ( ph  ->  E  e.  R )
ramub1.v  |-  ( ph  ->  V  C_  W )
ramub1.9  |-  ( ph  ->  if ( E  =  D ,  ( ( F `  D )  -  1 ) ,  ( F `  E
) )  <_  ( # `
 V ) )
ramub1.s  |-  ( ph  ->  ( V C M )  C_  ( `' K " { E }
) )
Assertion
Ref Expression
ramub1lem1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 E )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
Distinct variable groups:    x, u, D    y, u, z, F, x    a, b, i, u, x, y, z, M    G, a, i, u, x, y, z    u, R, x, y, z    W, a, i, u    ph, u, x, y, z    S, a, i, u, x, y, z    V, a, i, x, z    u, C, x, y, z    u, H, x, y, z    u, K, x, y, z    x, E, z    X, a, i, u, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( i, a, b)    C( i, a, b)    D( y, z, i, a, b)    R( i, a, b)    S( b)    E( y, u, i, a, b)    F( i, a, b)    G( b)    H( i, a, b)    K( i, a, b)    V( y, u, b)    W( x, y, z, b)    X( b)

Proof of Theorem ramub1lem1
StepHypRef Expression
1 ramub1.v . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  C_  W )
2 ramub1.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  C_  ( S  \  { X } ) )
31, 2sstrd 3475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  C_  ( S  \  { X } ) )
43difss2d 3596 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  C_  S )
5 ramub1.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
65snssd 4143 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { X }  C_  S )
74, 6unssd 3643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( V  u.  { X } )  C_  S
)
8 ramub1.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
9 elpw2g 4585 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Fin  ->  (
( V  u.  { X } )  e.  ~P S 
<->  ( V  u.  { X } )  C_  S
) )
108, 9syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( V  u.  { X } )  e. 
~P S  <->  ( V  u.  { X } ) 
C_  S ) )
117, 10mpbird 236 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( V  u.  { X } )  e.  ~P S )
1211adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  ( V  u.  { X } )  e.  ~P S )
13 iftrue 3916 . . . . . . 7  |-  ( E  =  D  ->  if ( E  =  D ,  ( ( F `
 D )  - 
1 ) ,  ( F `  E ) )  =  ( ( F `  D )  -  1 ) )
1413adantl 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  if ( E  =  D ,  ( ( F `
 D )  - 
1 ) ,  ( F `  E ) )  =  ( ( F `  D )  -  1 ) )
15 ramub1.9 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( E  =  D ,  ( ( F `  D )  -  1 ) ,  ( F `  E
) )  <_  ( # `
 V ) )
1615adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  if ( E  =  D ,  ( ( F `
 D )  - 
1 ) ,  ( F `  E ) )  <_  ( # `  V
) )
1714, 16eqbrtrrd 4444 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  (
( F `  D
)  -  1 )  <_  ( # `  V
) )
18 ramub1.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : R --> NN )
19 ramub1.d . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  R )
2018, 19ffvelrnd 6036 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  D
)  e.  NN )
2120adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  ( F `  D )  e.  NN )
2221nnred 10626 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  ( F `  D )  e.  RR )
23 1red 9660 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  1  e.  RR )
24 ssfi 7796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  V  C_  S )  ->  V  e.  Fin )
258, 4, 24syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  e.  Fin )
26 hashcl 12539 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  Fin  ->  ( # `
 V )  e. 
NN0 )
27 nn0re 10880 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  V )  e.  NN0  ->  ( # `  V
)  e.  RR )
2825, 26, 273syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  V
)  e.  RR )
2928adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  ( # `
 V )  e.  RR )
3022, 23, 29lesubaddd 10212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  (
( ( F `  D )  -  1 )  <_  ( # `  V
)  <->  ( F `  D )  <_  (
( # `  V )  +  1 ) ) )
3117, 30mpbid 214 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  ( F `  D )  <_  ( ( # `  V
)  +  1 ) )
32 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( E  =  D  ->  ( F `  E )  =  ( F `  D ) )
33 snidg 4023 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  S  ->  X  e.  { X } )
345, 33syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  { X } )
353sseld 3464 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  e.  V  ->  X  e.  ( S 
\  { X }
) ) )
36 eldifn 3589 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ( S  \  { X } )  ->  -.  X  e.  { X } )
3735, 36syl6 35 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  e.  V  ->  -.  X  e.  { X } ) )
3834, 37mt2d 121 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  V
)
39 hashunsng 12572 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  S  ->  (
( V  e.  Fin  /\ 
-.  X  e.  V
)  ->  ( # `  ( V  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  V
)  +  1 ) ) )
405, 39syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( V  e. 
Fin  /\  -.  X  e.  V )  ->  ( # `
 ( V  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  V )  +  1 ) ) )
4125, 38, 40mp2and 684 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  ( V  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  V
)  +  1 ) )
4232, 41breqan12rd 4438 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  (
( F `  E
)  <_  ( # `  ( V  u.  { X } ) )  <->  ( F `  D )  <_  (
( # `  V )  +  1 ) ) )
4331, 42mpbird 236 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  ( F `  E )  <_  ( # `  ( V  u.  { X } ) ) )
44 snfi 7655 . . . . . . 7  |-  { X }  e.  Fin
45 unfi 7842 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  { X }  e.  Fin )  ->  ( V  u.  { X } )  e. 
Fin )
4625, 44, 45sylancl 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( V  u.  { X } )  e.  Fin )
47 ramub1.m . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
4847nnnn0d 10927 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
49 ramub1.3 . . . . . . 7  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
5049hashbcval 14947 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  u.  { X } )  e.  Fin  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( ( V  u.  { X } ) C M )  =  {
x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  |  (
# `  x )  =  M } )
5146, 48, 50syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( V  u.  { X } ) C M )  =  {
x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  |  (
# `  x )  =  M } )
5251adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  (
( V  u.  { X } ) C M )  =  { x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  |  ( # `  x
)  =  M }
)
53 simpl1l 1057 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  x  e.  ~P V )  ->  ph )
5449hashbcval 14947 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( V C M )  =  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  M } )
5525, 48, 54syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( V C M )  =  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  M } )
56 ramub1.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( V C M )  C_  ( `' K " { E }
) )
5755, 56eqsstr3d 3500 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  M }  C_  ( `' K " { E } ) )
5853, 57syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  x  e.  ~P V )  ->  { x  e.  ~P V  |  ( # `  x
)  =  M }  C_  ( `' K " { E } ) )
59 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  x  e.  ~P V )  ->  x  e.  ~P V
)
60 simpl3 1011 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  x  e.  ~P V )  -> 
( # `  x )  =  M )
61 rabid 3006 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  { x  e. 
~P V  |  (
# `  x )  =  M }  <->  ( x  e.  ~P V  /\  ( # `
 x )  =  M ) )
6259, 60, 61sylanbrc 669 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  x  e.  ~P V )  ->  x  e.  { x  e.  ~P V  |  (
# `  x )  =  M } )
6358, 62sseldd 3466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  x  e.  ~P V )  ->  x  e.  ( `' K " { E }
) )
64 simpl2 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  ~P ( V  u.  { X } ) )
6564elpwid 3990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  C_  ( V  u.  { X } ) )
66 simpl1l 1057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ph )
6766, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( V  u.  { X } ) 
C_  S )
6865, 67sstrd 3475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  C_  S
)
69 vex 3085 . . . . . . . . . . 11  |-  x  e. 
_V
7069elpw 3986 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ~P S  <->  x  C_  S
)
7168, 70sylibr 216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  ~P S )
72 simpl3 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( # `  x
)  =  M )
73 rabid 3006 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { x  e. 
~P S  |  (
# `  x )  =  M }  <->  ( x  e.  ~P S  /\  ( # `
 x )  =  M ) )
7471, 72, 73sylanbrc 669 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  { x  e.  ~P S  |  ( # `  x
)  =  M }
)
7549hashbcval 14947 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( S C M )  =  { x  e.  ~P S  |  (
# `  x )  =  M } )
768, 48, 75syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S C M )  =  { x  e.  ~P S  |  (
# `  x )  =  M } )
7766, 76syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( S C M )  =  {
x  e.  ~P S  |  ( # `  x
)  =  M }
)
7874, 77eleqtrrd 2514 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  ( S C M ) )
792difss2d 3596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  W  C_  S )
80 ssfi 7796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  W  C_  S )  ->  W  e.  Fin )
818, 79, 80syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
82 nnm1nn0 10913 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
8347, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
8449hashbcval 14947 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  Fin  /\  ( M  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( W C ( M  -  1 ) )  =  { u  e.  ~P W  |  (
# `  u )  =  ( M  - 
1 ) } )
8581, 83, 84syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( W C ( M  -  1 ) )  =  { u  e.  ~P W  |  (
# `  u )  =  ( M  - 
1 ) } )
86 ramub1.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( W C ( M  -  1 ) )  C_  ( `' H " { D }
) )
8785, 86eqsstr3d 3500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { u  e.  ~P W  |  ( # `  u
)  =  ( M  -  1 ) } 
C_  ( `' H " { D } ) )
8866, 87syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  { u  e.  ~P W  |  (
# `  u )  =  ( M  - 
1 ) }  C_  ( `' H " { D } ) )
89 uncom 3611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( V  u.  { X }
)  =  ( { X }  u.  V
)
9065, 89syl6sseq 3511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  C_  ( { X }  u.  V
) )
91 ssundif 3880 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x 
C_  ( { X }  u.  V )  <->  ( x  \  { X } )  C_  V
)
9290, 91sylib 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } ) 
C_  V )
9366, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  V  C_  W
)
9492, 93sstrd 3475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } ) 
C_  W )
95 difexg 4570 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  \  { X } )  e.  _V )
9669, 95ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
\  { X }
)  e.  _V
9796elpw 3986 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  \  { X } )  e.  ~P W 
<->  ( x  \  { X } )  C_  W
)
9894, 97sylibr 216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } )  e.  ~P W )
9966, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  S  e.  Fin )
100 ssfi 7796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  x  C_  S )  ->  x  e.  Fin )
10199, 68, 100syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  Fin )
102 diffi 7807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  Fin  ->  (
x  \  { X } )  e.  Fin )
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } )  e.  Fin )
104 hashcl 12539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  \  { X } )  e.  Fin  ->  ( # `  (
x  \  { X } ) )  e. 
NN0 )
105 nn0cn 10881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
# `  ( x  \  { X } ) )  e.  NN0  ->  (
# `  ( x  \  { X } ) )  e.  CC )
106103, 104, 1053syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( # `  (
x  \  { X } ) )  e.  CC )
107 ax-1cn 9599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
108 pncan 9883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( # `  (
x  \  { X } ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( # `  (
x  \  { X } ) )  +  1 )  -  1 )  =  ( # `  ( x  \  { X } ) ) )
109106, 107, 108sylancl 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( (
( # `  ( x 
\  { X }
) )  +  1 )  -  1 )  =  ( # `  (
x  \  { X } ) ) )
110 neldifsnd 4126 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  -.  X  e.  ( x  \  { X } ) )
111 hashunsng 12572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( X  e.  S  ->  (
( ( x  \  { X } )  e. 
Fin  /\  -.  X  e.  ( x  \  { X } ) )  -> 
( # `  ( ( x  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  (
x  \  { X } ) )  +  1 ) ) )
11266, 5, 1113syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( (
( x  \  { X } )  e.  Fin  /\ 
-.  X  e.  ( x  \  { X } ) )  -> 
( # `  ( ( x  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  (
x  \  { X } ) )  +  1 ) ) )
113103, 110, 112mp2and 684 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( # `  (
( x  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  ( ( # `  (
x  \  { X } ) )  +  1 ) )
114 undif1 3871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  \  { X } )  u.  { X } )  =  ( x  u.  { X } )
115 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  -.  x  e.  ~P V )
11664, 115eldifd 3448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  ( ~P ( V  u.  { X } )  \  ~P V ) )
117 elpwunsn 4038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ~P ( V  u.  { X } )  \  ~P V )  ->  X  e.  x )
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  X  e.  x )
119118snssd 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  { X }  C_  x )
120 ssequn2 3640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { X }  C_  x  <->  ( x  u.  { X } )  =  x )
121119, 120sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  u.  { X } )  =  x )
122114, 121syl5req 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  =  ( ( x  \  { X } )  u. 
{ X } ) )
123122fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( # `  x
)  =  ( # `  ( ( x  \  { X } )  u. 
{ X } ) ) )
124123, 72eqtr3d 2466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( # `  (
( x  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  M )
125113, 124eqtr3d 2466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( ( # `
 ( x  \  { X } ) )  +  1 )  =  M )
126125oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( (
( # `  ( x 
\  { X }
) )  +  1 )  -  1 )  =  ( M  - 
1 ) )
127109, 126eqtr3d 2466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( # `  (
x  \  { X } ) )  =  ( M  -  1 ) )
128 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( x  \  { X } )  -> 
( # `  u )  =  ( # `  (
x  \  { X } ) ) )
129128eqeq1d 2425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( x  \  { X } )  -> 
( ( # `  u
)  =  ( M  -  1 )  <->  ( # `  (
x  \  { X } ) )  =  ( M  -  1 ) ) )
130129elrab 3230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  \  { X } )  e.  {
u  e.  ~P W  |  ( # `  u
)  =  ( M  -  1 ) }  <-> 
( ( x  \  { X } )  e. 
~P W  /\  ( # `
 ( x  \  { X } ) )  =  ( M  - 
1 ) ) )
13198, 127, 130sylanbrc 669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } )  e.  { u  e. 
~P W  |  (
# `  u )  =  ( M  - 
1 ) } )
13288, 131sseldd 3466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } )  e.  ( `' H " { D } ) )
133 ramub1.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |->  ( K `  ( u  u.  { X } ) ) )
134133mptiniseg 5346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  R  ->  ( `' H " { D } )  =  {
u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |  ( K `
 ( u  u. 
{ X } ) )  =  D }
)
13566, 19, 1343syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( `' H " { D }
)  =  { u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |  ( K `  ( u  u.  { X }
) )  =  D } )
136132, 135eleqtrd 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  \  { X } )  e.  { u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |  ( K `  ( u  u.  { X }
) )  =  D } )
137 uneq1 3614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  ( x  \  { X } )  -> 
( u  u.  { X } )  =  ( ( x  \  { X } )  u.  { X } ) )
138137fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( x  \  { X } )  -> 
( K `  (
u  u.  { X } ) )  =  ( K `  (
( x  \  { X } )  u.  { X } ) ) )
139138eqeq1d 2425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( x  \  { X } )  -> 
( ( K `  ( u  u.  { X } ) )  =  D  <->  ( K `  ( ( x  \  { X } )  u. 
{ X } ) )  =  D ) )
140139elrab 3230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  \  { X } )  e.  {
u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |  ( K `
 ( u  u. 
{ X } ) )  =  D }  <->  ( ( x  \  { X } )  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  /\  ( K `
 ( ( x 
\  { X }
)  u.  { X } ) )  =  D ) )
141140simprbi 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  \  { X } )  e.  {
u  e.  ( ( S  \  { X } ) C ( M  -  1 ) )  |  ( K `
 ( u  u. 
{ X } ) )  =  D }  ->  ( K `  (
( x  \  { X } )  u.  { X } ) )  =  D )
142136, 141syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( K `  ( ( x  \  { X } )  u. 
{ X } ) )  =  D )
143122fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( K `  x )  =  ( K `  ( ( x  \  { X } )  u.  { X } ) ) )
144 simpl1r 1058 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  E  =  D )
145142, 143, 1443eqtr4d 2474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( K `  x )  =  E )
146 ramub1.6 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K : ( S C M ) --> R )
147 ffn 5744 . . . . . . . . 9  |-  ( K : ( S C M ) --> R  ->  K  Fn  ( S C M ) )
148146, 147syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  Fn  ( S C M ) )
149 fniniseg 6016 . . . . . . . 8  |-  ( K  Fn  ( S C M )  ->  (
x  e.  ( `' K " { E } )  <->  ( x  e.  ( S C M )  /\  ( K `
 x )  =  E ) ) )
15066, 148, 1493syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  ( x  e.  ( `' K " { E } )  <->  ( x  e.  ( S C M )  /\  ( K `
 x )  =  E ) ) )
15178, 145, 150mpbir2and 931 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `
 x )  =  M )  /\  -.  x  e.  ~P V
)  ->  x  e.  ( `' K " { E } ) )
15263, 151pm2.61dan 799 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  E  =  D )  /\  x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  /\  ( # `  x )  =  M )  ->  x  e.  ( `' K " { E }
) )
153152rabssdv 3542 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  { x  e.  ~P ( V  u.  { X } )  |  ( # `  x
)  =  M }  C_  ( `' K " { E } ) )
15452, 153eqsstrd 3499 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  (
( V  u.  { X } ) C M )  C_  ( `' K " { E }
) )
155 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( V  u.  { X } )  -> 
( # `  z )  =  ( # `  ( V  u.  { X } ) ) )
156155breq2d 4433 . . . . 5  |-  ( z  =  ( V  u.  { X } )  -> 
( ( F `  E )  <_  ( # `
 z )  <->  ( F `  E )  <_  ( # `
 ( V  u.  { X } ) ) ) )
157 oveq1 6310 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( V  u.  { X } )  -> 
( z C M )  =  ( ( V  u.  { X } ) C M ) )
158157sseq1d 3492 . . . . 5  |-  ( z  =  ( V  u.  { X } )  -> 
( ( z C M )  C_  ( `' K " { E } )  <->  ( ( V  u.  { X } ) C M )  C_  ( `' K " { E }
) ) )
159156, 158anbi12d 716 . . . 4  |-  ( z  =  ( V  u.  { X } )  -> 
( ( ( F `
 E )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) )  <->  ( ( F `  E )  <_  ( # `  ( V  u.  { X } ) )  /\  ( ( V  u.  { X } ) C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) ) )
160159rspcev 3183 . . 3  |-  ( ( ( V  u.  { X } )  e.  ~P S  /\  ( ( F `
 E )  <_ 
( # `  ( V  u.  { X }
) )  /\  (
( V  u.  { X } ) C M )  C_  ( `' K " { E }
) ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 E )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
16112, 43, 154, 160syl12anc 1263 . 2  |-  ( (
ph  /\  E  =  D )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `  E )  <_  ( # `  z
)  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
162 elpw2g 4585 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Fin  ->  ( V  e.  ~P S  <->  V 
C_  S ) )
1638, 162syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( V  e.  ~P S 
<->  V  C_  S )
)
1644, 163mpbird 236 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  e.  ~P S
)
165164adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  D )  ->  V  e.  ~P S )
166 ifnefalse 3922 . . . . 5  |-  ( E  =/=  D  ->  if ( E  =  D ,  ( ( F `
 D )  - 
1 ) ,  ( F `  E ) )  =  ( F `
 E ) )
167166adantl 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  D )  ->  if ( E  =  D , 
( ( F `  D )  -  1 ) ,  ( F `
 E ) )  =  ( F `  E ) )
16815adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  D )  ->  if ( E  =  D , 
( ( F `  D )  -  1 ) ,  ( F `
 E ) )  <_  ( # `  V
) )
169167, 168eqbrtrrd 4444 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  D )  ->  ( F `  E )  <_  ( # `
 V ) )
17056adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  D )  ->  ( V C M )  C_  ( `' K " { E } ) )
171 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( z  =  V  ->  ( # `
 z )  =  ( # `  V
) )
172171breq2d 4433 . . . . 5  |-  ( z  =  V  ->  (
( F `  E
)  <_  ( # `  z
)  <->  ( F `  E )  <_  ( # `
 V ) ) )
173 oveq1 6310 . . . . . 6  |-  ( z  =  V  ->  (
z C M )  =  ( V C M ) )
174173sseq1d 3492 . . . . 5  |-  ( z  =  V  ->  (
( z C M )  C_  ( `' K " { E }
)  <->  ( V C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
175172, 174anbi12d 716 . . . 4  |-  ( z  =  V  ->  (
( ( F `  E )  <_  ( # `
 z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E }
) )  <->  ( ( F `  E )  <_  ( # `  V
)  /\  ( V C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) ) )
176175rspcev 3183 . . 3  |-  ( ( V  e.  ~P S  /\  ( ( F `  E )  <_  ( # `
 V )  /\  ( V C M ) 
C_  ( `' K " { E } ) ) )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `  E )  <_  ( # `  z
)  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
177165, 169, 170, 176syl12anc 1263 . 2  |-  ( (
ph  /\  E  =/=  D )  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `  E )  <_  ( # `  z
)  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
178161, 177pm2.61dane 2743 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ~P  S ( ( F `
 E )  <_ 
( # `  z )  /\  ( z C M )  C_  ( `' K " { E } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   E.wrex 2777   {crab 2780   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    u. cun 3435    C_ wss 3437   ifcif 3910   ~Pcpw 3980   {csn 3997   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480   `'ccnv 4850   "cima 4854    Fn wfn 5594   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303    |-> cmpt2 6305   Fincfn 7575   CCcc 9539   RRcr 9540   1c1 9542    + caddc 9544    <_ cle 9678    - cmin 9862   NNcn 10611   NN0cn0 10871   #chash 12516   Ramsey cram 14942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-hash 12517
This theorem is referenced by:  ramub1lem2  14978
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