Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramub1 Structured version   Unicode version

Theorem ramub1 14557
 Description: Inductive step for Ramsey's theorem, in the form of an explicit upper bound. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramub1.m
ramub1.r
ramub1.f
ramub1.g Ramsey
ramub1.1
ramub1.2 Ramsey
Assertion
Ref Expression
ramub1 Ramsey Ramsey
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem ramub1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . 2
2 ramub1.m . . 3
32nnnn0d 10873 . 2
4 ramub1.r . 2
5 ramub1.f . . 3
6 nnssnn0 10819 . . 3
7 fss 5745 . . 3
85, 6, 7sylancl 662 . 2
9 ramub1.2 . . 3 Ramsey
10 peano2nn0 10857 . . 3 Ramsey Ramsey
119, 10syl 16 . 2 Ramsey
12 simprl 756 . . . . . 6 Ramsey Ramsey
139adantr 465 . . . . . . 7 Ramsey Ramsey
14 nn0p1nn 10856 . . . . . . 7 Ramsey Ramsey
1513, 14syl 16 . . . . . 6 Ramsey Ramsey
1612, 15eqeltrd 2545 . . . . 5 Ramsey
1716nnnn0d 10873 . . . . . . 7 Ramsey
18 vex 3112 . . . . . . . 8
19 hashclb 12432 . . . . . . . 8
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7
2117, 20sylibr 212 . . . . . 6 Ramsey
22 hashnncl 12438 . . . . . 6
2321, 22syl 16 . . . . 5 Ramsey
2416, 23mpbid 210 . . . 4 Ramsey
25 n0 3803 . . . 4
2624, 25sylib 196 . . 3 Ramsey
272adantr 465 . . . . . 6 Ramsey
284adantr 465 . . . . . 6 Ramsey
295adantr 465 . . . . . 6 Ramsey
30 ramub1.g . . . . . 6 Ramsey
31 ramub1.1 . . . . . . 7
3231adantr 465 . . . . . 6 Ramsey
339adantr 465 . . . . . 6 Ramsey Ramsey
3421adantrr 716 . . . . . 6 Ramsey
35 simprll 763 . . . . . 6 Ramsey Ramsey
36 simprlr 764 . . . . . 6 Ramsey
37 simprr 757 . . . . . 6 Ramsey
38 uneq1 3647 . . . . . . . 8
3938fveq2d 5876 . . . . . . 7
4039cbvmptv 4548 . . . . . 6
4127, 28, 29, 30, 32, 33, 1, 34, 35, 36, 37, 40ramub1lem2 14556 . . . . 5 Ramsey
4241expr 615 . . . 4 Ramsey
4342exlimdv 1725 . . 3 Ramsey
4426, 43mpd 15 . 2 Ramsey
451, 3, 4, 8, 11, 44ramub2 14543 1 Ramsey Ramsey
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395  wex 1613   wcel 1819   wne 2652  wrex 2808  crab 2811  cvv 3109   cdif 3468   cun 3469   wss 3471  c0 3793  cif 3944  cpw 4015  csn 4032   class class class wbr 4456   cmpt 4515  ccnv 5007  cima 5011  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296   cmpt2 6298  cfn 7535  c1 9510   caddc 9512   cle 9646   cmin 9824  cn 10556  cn0 10816  chash 12407   Ramsey cram 14528 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-hash 12408  df-ram 14530 This theorem is referenced by:  ramcl  14558
 Copyright terms: Public domain W3C validator