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Theorem ramub 14615
Description: The Ramsey number is a lower bound on the set of all numbers with the Ramsey number property. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rami.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
rami.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
rami.r  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
rami.f  |-  ( ph  ->  F : R --> NN0 )
ramub.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
ramub.i  |-  ( (
ph  /\  ( N  <_  ( # `  s
)  /\  f :
( s C M ) --> R ) )  ->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )
Assertion
Ref Expression
ramub  |-  ( ph  ->  ( M Ramsey  F )  <_  N )
Distinct variable groups:    f, c,
s, x, C    ph, c,
f, s, x    F, c, f, s, x    a,
b, c, f, i, s, x, M    R, c, f, s, x    N, a, c, f, i, s, x    V, c, f, s, x
Allowed substitution hints:    ph( i, a, b)    C( i, a, b)    R( i, a, b)    F( i, a, b)    N( b)    V( i, a, b)

Proof of Theorem ramub
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rami.m . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
2 rami.r . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
3 rami.f . 2  |-  ( ph  ->  F : R --> NN0 )
4 ramub.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
5 elmapi 7433 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) )  ->  f : ( s C M ) --> R )
6 ramub.i . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( N  <_  ( # `  s
)  /\  f :
( s C M ) --> R ) )  ->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )
76ancom2s 800 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f : ( s C M ) --> R  /\  N  <_  ( # `  s
) ) )  ->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )
87expr 613 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  f :
( s C M ) --> R )  -> 
( N  <_  ( # `
 s )  ->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
95, 8sylan2 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) )  ->  ( N  <_  ( # `  s
)  ->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
109ralrimdva 2872 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) )
1110alrimiv 1724 . . 3  |-  ( ph  ->  A. s ( N  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
12 breq1 4442 . . . . . 6  |-  ( n  =  N  ->  (
n  <_  ( # `  s
)  <->  N  <_  ( # `  s ) ) )
1312imbi1d 315 . . . . 5  |-  ( n  =  N  ->  (
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) )  <->  ( N  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) ) )
1413albidv 1718 . . . 4  |-  ( n  =  N  ->  ( A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )  <->  A. s ( N  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) ) )
1514elrab 3254 . . 3  |-  ( N  e.  { n  e. 
NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) }  <-> 
( N  e.  NN0  /\ 
A. s ( N  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) ) )
164, 11, 15sylanbrc 662 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) } )
17 rami.c . . 3  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
18 eqid 2454 . . 3  |-  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) }  =  { n  e. 
NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) }
1917, 18ramtub 14614 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  N  e.  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) } )  ->  ( M Ramsey  F )  <_  N )
201, 2, 3, 16, 19syl31anc 1229 1  |-  ( ph  ->  ( M Ramsey  F )  <_  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367   A.wal 1396    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   ~Pcpw 3999   {csn 4016   class class class wbr 4439   `'ccnv 4987   "cima 4991   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272    ^m cmap 7412    <_ cle 9618   NN0cn0 10791   #chash 12387   Ramsey cram 14601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-ram 14603
This theorem is referenced by:  ramub2  14616  0ram  14622  ram0  14624  ramz2  14626
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