MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramtub Structured version   Unicode version

Theorem ramtub 14541
Description: The Ramsey number is a lower bound on the set of all numbers with the Ramsey number property. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramval.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
ramval.t  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
ramtub  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  A  e.  T
)  ->  ( M Ramsey  F )  <_  A )
Distinct variable groups:    f, c, x, C    n, c, s, F, f, x    a,
b, c, f, i, n, s, x, M    A, a, i, x    R, c, f, n, s, x    V, c, f, n, s, x
Allowed substitution hints:    A( f, n, s, b, c)    C( i, n, s, a, b)    R( i, a, b)    T( x, f, i, n, s, a, b, c)    F( i, a, b)    V( i, a, b)

Proof of Theorem ramtub
StepHypRef Expression
1 ramval.c . . . 4  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
2 ramval.t . . . 4  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }
31, 2ramcl2lem 14538 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  =  if ( T  =  (/) , +oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
4 n0i 3798 . . . 4  |-  ( A  e.  T  ->  -.  T  =  (/) )
54iffalsed 3955 . . 3  |-  ( A  e.  T  ->  if ( T  =  (/) , +oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
63, 5sylan9eq 2518 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  A  e.  T
)  ->  ( M Ramsey  F )  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
7 ssrab2 3581 . . . . . 6  |-  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) } 
C_  NN0
82, 7eqsstri 3529 . . . . 5  |-  T  C_  NN0
9 nn0uz 11140 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
108, 9sseqtri 3531 . . . 4  |-  T  C_  ( ZZ>= `  0 )
1110a1i 11 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  T  C_  ( ZZ>= ` 
0 ) )
12 infmssuzle 11189 . . 3  |-  ( ( T  C_  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  A  e.  T )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
1311, 12sylan 471 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  A  e.  T
)  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
146, 13eqbrtrd 4476 1  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  A  e.  T
)  ->  ( M Ramsey  F )  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1393    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ifcif 3944   ~Pcpw 4015   {csn 4032   class class class wbr 4456   `'ccnv 5007   "cima 5011   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298    ^m cmap 7438   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509   +oocpnf 9642    < clt 9645    <_ cle 9646   NN0cn0 10816   ZZ>=cuz 11106   #chash 12407   Ramsey cram 14528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-ram 14530
This theorem is referenced by:  ramub  14542
  Copyright terms: Public domain W3C validator