MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramtub Structured version   Unicode version

Theorem ramtub 14071
Description: The Ramsey number is a lower bound on the set of all numbers with the Ramsey number property. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramval.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
ramval.t  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
ramtub  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  A  e.  T
)  ->  ( M Ramsey  F )  <_  A )
Distinct variable groups:    f, c, x, C    n, c, s, F, f, x    a,
b, c, f, i, n, s, x, M    A, a, i, x    R, c, f, n, s, x    V, c, f, n, s, x
Allowed substitution hints:    A( f, n, s, b, c)    C( i, n, s, a, b)    R( i, a, b)    T( x, f, i, n, s, a, b, c)    F( i, a, b)    V( i, a, b)

Proof of Theorem ramtub
StepHypRef Expression
1 ramval.c . . . 4  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
2 ramval.t . . . 4  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }
31, 2ramcl2lem 14068 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  =  if ( T  =  (/) , +oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
4 n0i 3640 . . . 4  |-  ( A  e.  T  ->  -.  T  =  (/) )
5 iffalse 3797 . . . 4  |-  ( -.  T  =  (/)  ->  if ( T  =  (/) , +oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  T  ->  if ( T  =  (/) , +oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
73, 6sylan9eq 2493 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  A  e.  T
)  ->  ( M Ramsey  F )  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
8 ssrab2 3435 . . . . . 6  |-  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) } 
C_  NN0
92, 8eqsstri 3384 . . . . 5  |-  T  C_  NN0
10 nn0uz 10893 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
119, 10sseqtri 3386 . . . 4  |-  T  C_  ( ZZ>= `  0 )
1211a1i 11 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  T  C_  ( ZZ>= ` 
0 ) )
13 infmssuzle 10935 . . 3  |-  ( ( T  C_  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  A  e.  T )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
1412, 13sylan 471 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  A  e.  T
)  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  <_  A
)
157, 14eqbrtrd 4310 1  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  A  e.  T
)  ->  ( M Ramsey  F )  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970    C_ wss 3326   (/)c0 3635   ifcif 3789   ~Pcpw 3858   {csn 3875   class class class wbr 4290   `'ccnv 4837   "cima 4841   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089    e. cmpt2 6091    ^m cmap 7212   supcsup 7688   RRcr 9279   0cc0 9280   +oocpnf 9413    < clt 9416    <_ cle 9417   NN0cn0 10577   ZZ>=cuz 10859   #chash 12101   Ramsey cram 14058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-sup 7689  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-ram 14060
This theorem is referenced by:  ramub  14072
  Copyright terms: Public domain W3C validator