MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramtub Structured version   Unicode version

Theorem ramtub 14973
Description: The Ramsey number is a lower bound on the set of all numbers with the Ramsey number property. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ramval.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
ramval.t  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
ramtub  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  A  e.  T
)  ->  ( M Ramsey  F )  <_  A )
Distinct variable groups:    f, c, x, C    n, c, s, F, f, x    a,
b, c, f, i, n, s, x, M    A, a, i, x    R, c, f, n, s, x    V, c, f, n, s, x
Allowed substitution hints:    A( f, n, s, b, c)    C( i, n, s, a, b)    R( i, a, b)    T( x, f, i, n, s, a, b, c)    F( i, a, b)    V( i, a, b)

Proof of Theorem ramtub
StepHypRef Expression
1 ramval.c . . . 4  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
2 ramval.t . . . 4  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }
31, 2ramcl2lem 14967 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  =  if ( T  =  (/) , +oo , inf ( T ,  RR ,  <  ) ) )
4 n0i 3772 . . . 4  |-  ( A  e.  T  ->  -.  T  =  (/) )
54iffalsed 3928 . . 3  |-  ( A  e.  T  ->  if ( T  =  (/) , +oo , inf ( T ,  RR ,  <  ) )  = inf ( T ,  RR ,  <  ) )
63, 5sylan9eq 2484 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  A  e.  T
)  ->  ( M Ramsey  F )  = inf ( T ,  RR ,  <  ) )
7 ssrab2 3552 . . . . . 6  |-  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) } 
C_  NN0
82, 7eqsstri 3500 . . . . 5  |-  T  C_  NN0
9 nn0uz 11206 . . . . 5  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
108, 9sseqtri 3502 . . . 4  |-  T  C_  ( ZZ>= `  0 )
1110a1i 11 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  T  C_  ( ZZ>= ` 
0 ) )
12 infssuzle 11257 . . 3  |-  ( ( T  C_  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  A  e.  T )  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  <_  A )
1311, 12sylan 474 . 2  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  A  e.  T
)  -> inf ( T ,  RR ,  <  )  <_  A )
146, 13eqbrtrd 4450 1  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  A  e.  T
)  ->  ( M Ramsey  F )  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 983   A.wal 1436    = wceq 1438    e. wcel 1873   A.wral 2776   E.wrex 2777   {crab 2780   _Vcvv 3085    C_ wss 3442   (/)c0 3767   ifcif 3917   ~Pcpw 3987   {csn 4004   class class class wbr 4429   `'ccnv 4858   "cima 4862   -->wf 5603   ` cfv 5607  (class class class)co 6311    |-> cmpt2 6313    ^m cmap 7489  infcinf 7970   RRcr 9551   0cc0 9552   +oocpnf 9685    < clt 9688    <_ cle 9689   NN0cn0 10882   ZZ>=cuz 11172   #chash 12527   Ramsey cram 14954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1664  ax-4 1677  ax-5 1753  ax-6 1799  ax-7 1844  ax-8 1875  ax-9 1877  ax-10 1892  ax-11 1897  ax-12 1910  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4542  ax-sep 4552  ax-nul 4561  ax-pow 4608  ax-pr 4666  ax-un 6603  ax-cnex 9608  ax-resscn 9609  ax-1cn 9610  ax-icn 9611  ax-addcl 9612  ax-addrcl 9613  ax-mulcl 9614  ax-mulrcl 9615  ax-mulcom 9616  ax-addass 9617  ax-mulass 9618  ax-distr 9619  ax-i2m1 9620  ax-1ne0 9621  ax-1rid 9622  ax-rnegex 9623  ax-rrecex 9624  ax-cnre 9625  ax-pre-lttri 9626  ax-pre-lttrn 9627  ax-pre-ltadd 9628  ax-pre-mulgt0 9629
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1659  df-nf 1663  df-sb 1792  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3087  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3918  df-pw 3989  df-sn 4005  df-pr 4007  df-tp 4009  df-op 4011  df-uni 4226  df-iun 4307  df-br 4430  df-opab 4489  df-mpt 4490  df-tr 4525  df-eprel 4770  df-id 4774  df-po 4780  df-so 4781  df-fr 4818  df-we 4820  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-pred 5405  df-ord 5451  df-on 5452  df-lim 5453  df-suc 5454  df-iota 5571  df-fun 5609  df-fn 5610  df-f 5611  df-f1 5612  df-fo 5613  df-f1o 5614  df-fv 5615  df-riota 6273  df-ov 6314  df-oprab 6315  df-mpt2 6316  df-om 6713  df-1st 6813  df-2nd 6814  df-wrecs 7045  df-recs 7107  df-rdg 7145  df-er 7380  df-map 7491  df-en 7587  df-dom 7588  df-sdom 7589  df-sup 7971  df-inf 7972  df-pnf 9690  df-mnf 9691  df-xr 9692  df-ltxr 9693  df-le 9694  df-sub 9875  df-neg 9876  df-nn 10623  df-n0 10883  df-z 10951  df-uz 11173  df-ram 14957
This theorem is referenced by:  ramub  14975
  Copyright terms: Public domain W3C validator