MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramtclOLD Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ramtclOLD 15013
Description: The Ramsey number has the Ramsey number property if any number does. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) Obsolete version of ramtcl 15012 as of 14-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ramval.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
ramval.t  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
ramtclOLD  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  T  <->  T  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    f, c, x, C    n, c, s, F, f, x    a,
b, c, f, i, n, s, x, M    R, c, f, n, s, x    V, c, f, n, s, x
Allowed substitution hints:    C( i, n, s, a, b)    R( i, a, b)    T( x, f, i, n, s, a, b, c)    F( i, a, b)    V( i, a, b)

Proof of Theorem ramtclOLD
StepHypRef Expression
1 ne0i 3748 . 2  |-  ( ( M Ramsey  F )  e.  T  ->  T  =/=  (/) )
2 ramval.c . . . . . 6  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
3 ramval.t . . . . . 6  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }
42, 3ramcl2lemOLD 15011 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  =  if ( T  =  (/) , +oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
5 ifnefalse 3904 . . . . 5  |-  ( T  =/=  (/)  ->  if ( T  =  (/) , +oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
64, 5sylan9eq 2515 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  T  =/=  (/) )  -> 
( M Ramsey  F )  =  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )
7 ssrab2 3525 . . . . . . . 8  |-  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) } 
C_  NN0
83, 7eqsstri 3473 . . . . . . 7  |-  T  C_  NN0
9 nn0uz 11221 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
108, 9sseqtri 3475 . . . . . 6  |-  T  C_  ( ZZ>= `  0 )
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  T  C_  ( ZZ>= ` 
0 ) )
12 infmssuzclOLD 11275 . . . . 5  |-  ( ( T  C_  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  T  =/=  (/) )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  T
)
1311, 12sylan 478 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  T  =/=  (/) )  ->  sup ( T ,  RR ,  `'  <  )  e.  T )
146, 13eqeltrd 2539 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  /\  T  =/=  (/) )  -> 
( M Ramsey  F )  e.  T )
1514ex 440 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( T  =/=  (/)  ->  ( M Ramsey  F )  e.  T
) )
161, 15impbid2 209 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  T  <->  T  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    /\ w3a 991   A.wal 1452    = wceq 1454    e. wcel 1897    =/= wne 2632   A.wral 2748   E.wrex 2749   {crab 2752   _Vcvv 3056    C_ wss 3415   (/)c0 3742   ifcif 3892   ~Pcpw 3962   {csn 3979   class class class wbr 4415   `'ccnv 4851   "cima 4855   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314    |-> cmpt2 6316    ^m cmap 7497   supcsup 7979   RRcr 9563   0cc0 9564   +oocpnf 9697    < clt 9700    <_ cle 9701   NN0cn0 10897   ZZ>=cuz 11187   #chash 12546   Ramsey cramold 14998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-map 7499  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-sup 7981  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-ramOLD 15001
This theorem is referenced by:  ramtcl2OLD  15015
  Copyright terms: Public domain W3C validator